- CarieVinne
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解分式方程一般都要去分母化为整式方程,而整式方程只有:有解与无解二种情况.
当整式方程无解时,那么原来的分式方程也一定无解.
当整式方程有解时,原来的分式方程就不一定也有解,因为分式方程有产生增根的可能,
若整式方程的解代入原分式方程的所有分母中,只要有一个分母为0,
这个整式方程的解就不是原分式方程的根,它是一个增根.
若整式方程的解代入原分式方程的所有分母中全不为0,这个整式方程的解
才是原分式方程的解.
若整式方程的所有解都不是原分式方程的根(即都是增根),这时才能说
此分式方程无解.
无解与增根的关系不太大,有增根不一定无解,无解也不一定是因为有了增根才无解的.
这与解题毫无关系.方程是初中数学的重要内容,在初中数学中有关方程内容我们要学习一元一次方程,二元一次方程组,一元二次方程和分式方程,在方程的学习中首先就是解方程。
我们知道初中数学中所有的方程的解答都是以一元一次方程为基础,二元一次方程组在解答的过程中需要通过消元化为一元一次方程;一元二次方程需要通过降次化为一元一次方程;分式方程需要通过去分母化为整式方程来解答。
在这几类方程中,分式方程是最特殊的,一元一次方程,二元一次方程组,一元二次方程这三种整式方程在求出未知数的值后就完成了解答,但分式方程还需要有验根的过程,这是分式方程与整式方程最大的区别。
那么分式方程为什么需要在最后一步来验根呢?我们先来看看解分式方程的步骤:
①去分母,在分式的两边都同时乘最简公分母,把原方程转化为整式方程;
注:不含分母的项不要忘乘最简公分母。
②解这个整式方程,得到整式方程的解;
③验根,将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,那么整式方程的根是原分式方程的根;否则这个解不是原分式方程的根(即是原方程的增根)。
基本思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程,去分母的环节需要用到分式的基本性质,给分式的分子和分母同时乘以或除以一个相同的不为0的式子,分式的大小不变。
这一步是关键,同时乘以或除以的这个相同的式子必须要不为0,因为若乘以或除以的这个式子为0的话,分母就为0了,分式也就无意义了。
在去分母的时候,我们给分式方程中每一项度乘以的是最简公分母,那么根据分式的基本性质的要求,就必须要在这一步对分母的式子的取值进行讨论,即必须要满足最简公分母不为0,也就是要满足最简公分母的每个因式不为0,但在进行这一步运算的时候并没有进行讨论和运算,也就是说不能保证最简公分母就一定不为0,那么最终化为整式方程求出的最终的解就不一定能满足分式有意义的条件:分母不为0。因此在解完方程后就需要将求得的解代入原分式方程中去检验,也可直接代入最简公分母中去检验,看是否能满足分式有意义的条件,这有点类似“先斩后奏”,先假定满足条件,求出未知数的值,最后再带回去检验,满足就好,不满足就需要排除。