如何进行因式分解?

这是数学里对一种表达式的一种一个称谓因式的概念是多项式被另一个多项式整除，那么后面的就是前面的因式了，因式经常的使用在数学算法之中，因式的研究也让学生能够更好的掌握相关的数学知识，所以因式的使用是非常的重要的。数学里常见的是因式分解

多项式被另一多项式整除,后者即是前者的因式，如果多项式 f(x) 能够被整式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。如果多项式 f(x) 能够被整式 g(x)整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。一个数也可以看做一个因式。

因式,指的是一个代数式里与另一个式子或数相乘能得到原式的式子,与因数同理比如15,它有3这个因数,3能与5相乘得到15,所以3是它的因数(数字也是整式)再看一个代数式50x+50y=50(x+y)=2*25(x+y)可以看出,2(x+y)和25(x+y)都是它的因式,25(x+y)乘2就等于原式,这就是因式

学习是现在人们不可缺少的，不管何时何地都要进行相关的学习才能够帮助人们更好的提升自己的技能，而现在的学习方法更是非常的众多，这些学习方式的使用帮助了自己更好的掌握知识，因式是非常常见的一种学习利用方法，那么因式的概念是什么呢?因式是数学中经常被使用到的一种方程式，因式的熟练运用能够更好的帮助人们对于数学成绩的提升，因式计算的时候使用到的方法则非常的多，提公因式法、公式法、分组分解法以及应用因式分解等，人们面对不同的数学问题可以采用相关的因式算法或者组合算法进行问题的解决。因式的概念是多项式被另一个多项式整除，那么后面的就是前面的因式了，因式经常的使用在数学算法之中，因式的研究也让学生能够更好的掌握相关的数学知识，所以因式的使用是非常的重要的，因式的合理利用直接决定了学生的数学成绩好坏。

很多同学在学习数学的时候都弄不清楚因式的概念，以下是因式的相关信息，供大家参考。 因式概念 因式是指多项式被另一多项式整除,后者即是前者的因式，如果多项式f(x)能够被整式g(x)整除，即可以找出一个多项式q(x)，使得f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x)就叫做f(x)的一个因式。当然，这时q(x)也是f(x)的一个因式，并且q(x)、g(x)的次数都不会大于f(x)的次数。 因式分解方法 1.提公因式法 2.公式法 3.十字相乘法（双十字相乘法） 4.待定系数法 5.求根法 6.分组分解法 因式分解的技巧  1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。  2.分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式； ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；    ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；    ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

多项式被另一整式整除，后者即是前者的因式，如果多项式f（x）能够被整式g（x）整除，即可以找出一个多项式q（x），使得f（x）＝q（x）·g（x）；那么g（x）就叫做f（x）的一个因式。当然，这时q（x）也是f（x）的一个因式，并且q（x）、g（x）的次数都不会大于f（x）的次数。扩展资料把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式，又叫做因式分解。可以直接计算，或运用公式。常用的公式有：a＾2－b＾2＝（a＋b）（a－b）（a＋b）＾2＝a＾2＋2ab＋b＾2（a－b）＾2＝a＾2－2ab＋b＾2a＾3＋b＾3＝（a＋b）（a＾2－ab＋b＾2）．a＾3－b＾3＝（a－b）（a＾2＋ab＋b＾2）．注：通常情况下，分解因式要求分解彻底，即所有因式均无法再次分解因式。

多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式（common factor）.最大公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.公因式 希望能解决您的问题.

一、什么叫做因式？ 如果多项式f(x)能够被非零多项式g(x)整除，即可以找出一个多项式g(x)，使得f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x)就叫做f(x)的一个因式。当然，这时q(x)也是f(x)的一个因式，并且q(x)、g(x)的次数都不会大于...

因式分解（factorization） 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等． ⑴提公因式法 ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“－”号,使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)] a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数) ⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的,即分组后,可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意,必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分 x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac,n＝bd,且有ad＋bc＝m 时,那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a -----/b ac＝k bd＝n c /-----d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式； ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理：如果f（a）=0,则f（x）必含有因式（x-a）.如f（x）=x^2+5x+6,f（-2）=0,则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式. 经典例题： 1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2 原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2.证明：对于任何数x,y,下式的值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5 原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 当y=0时,原式=x^5不等于33；当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式. 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解. 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解. 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来. 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 令y= x +2x -5x-6 作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解. 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式. 例11、分解因式x +9x +23x+15 令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解. 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式. 设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

因式分解就是：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。如：a^2-b^2=(a+b)(a-b);x^2+2x+1=(x+1)^2

就是在一个式子中，有共有成分的每个数。记得提公因式吗？就是这样！因数：一个数与其它数的乘积构成另一个数，这些数成为构成数的因数

§5 因式分解定理 一、不可约多项式 . 定义8 数域 上次数 的多项式 称为域 上的不可约多项式(irreducible polynomical),如果它不能表成数域 上的两个次数比 的次数低的多项式的乘积. 根据定义,一次多项式总是不可约多项式. 一个多项式是否可约是依赖于系数域的. 显然,不可约多项式 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍 这两种,此外就没有了.反过来,具有这个性质的次数 的多项式一定是不可约的.由此可知,不可约多项式 与任一多项式 之间只可能有两种关系,或者 或者 . 定理5 如果 是不可约多项式,那么对于任意的两个多项式 ,由 一定推出 或者 . 推广：如果不可约多项式 整除一些多项式 的乘积 ,那么 一定整除这些多项式之中的一个. 二、因式分解定理 因式分解及唯一性定理 数域 上次数 的多项式 都可以唯一地分解成数域 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式 , 那么必有 ,并且适当排列因式的次序后有 . 其中 是一些非零常数. 应该指出,因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性,但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上,对于一般的情形,普遍可行的分解多项式的方法是不存在的. 在多项式 的分解式中,可以把每一个不可约因式的首项系数提出来,使它们成为首项系数为1的多项式,再把相同的不可约因式合并.于是 的分解式成为 , 其中 是 的首项系数, 是不同的首项系数为1的不可约多项式,而 是正整数.这种分解式称为标准分解式. 如果已经有了两个多项式的标准分解,就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式 与 的最大公因式 就是那些同时在 与 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带的方幂的指数等于它在 与 中所带的方幂中较小的一个. 由以上讨论可以看出,带余除法是一元多项式因式分解理论的基础. 若 与 的标准分解式中没有共同的不可约多项式,则 与 互素. 注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法,因为在一般情况下,没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法,即使要判断数域 上一个多项式是否可约一般都是很困难的. 例 在有理数域上分解多项式 为不可约多项式的乘积.

一、 什么叫做因式？ 如果多项式 f(x) 能够被非零多项式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 g(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。 注意：g(x)≠0，但 q(x) 可以等于0（当 f(x)=0 时）。 例如，因为 (x+1)(x-1)=x2-1， 把左边、右边交换，得到 x2-1= (x+1)(x-1) ，所以 x+1，x-1 都是 x2-1 的因式。 由于任何一个多项式 f(x) 都可以写成一个非零数a及多项式 的积，即 f(x)=a· ，所以任何一个非零数a及多项式 也都可以看成 f(x) 的因式。我们把这种因式看作平凡因式，并规定在分解因式时都不予考虑。 例如，因为 可知1，x2-1，2，，，2x2-2 也都是 x2-1 的因式。这种因式都看作平凡因式，在分解因式时不予考虑。 这样，如果把 x2-1 因式分解，就只能得到唯一的结果 x2-1=(x+1)(x-1) （因为有乘法交换律，所以 x2-1=(x-1)(x+1) 与 x2-1=(x+1)(x-1) 是同样的结果），其中 x+1，x－1 都不是平凡因式。 在高等代数中可以证明，如果对平凡因式都不予以考虑，那么任何一个一元多项式在每个确定的数的范围内，其分解因式的结果是唯一的。二、 什么叫做多项式中各项的公因式？ 多项式的公因式是指这个多项式中各项都具有的公共因式。它可以是一个单项式，也可以是一个多项式，还可以是一个单项式与一个多项式的积（这里我们为了叙述上的方便，把单项式与多项式区别对待）。 如果公因式是单项式，那么公因式可能不止一个。当多项式中各项的系数是正整数时，在有理数范围内谈到它各项的公因式，是指寻找这样的公因式：它的系数必须是这个多项式中各项系数的最大公约数，它所具有的字母必须是这个多项式中各项都具有的公共字母，每个字母的指数必须是这个多项式中各项所含的同一字母的最低次幂的指数。一句话，就是各项系数的最大公约数与各项所含的相同字母的最低次幂的积。 如果公因式是多项式，那么这个多项式一定是原多项式中各项的一个公因式。这个多项式的项数、各项所含的字母及其指数、各项的系数等，在原多项式的各项中一定都是相同的，所以能够寻找出来。

因式意为：如果多项式 f(x) 能够被非零多项式 g(x) 整除,即可以找出一个多项式 q(x) ,使得 f(x)=q(x)·g(x),那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式. 而商的因式就明显出来了.

如果多项式 f(x) 能够被非零多项式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。 一整数被另一整数整除，后者即是前者的因数。

现出的：1. ax+by+ay+bx2. x^3+13. x^2+x^34. x^2+x^3-25. x^2-6x+86. x^2-12x+357. (x^3-1)+(x-1)(6x+11)8. x^4-19. x^4+410. b^2+ab+ac+bc11. x^3+y^3+z^3-3xyz12. x^6+8x^3+913. x^2-100x+9914. x^2-x-y^2-y15. 7x^2-19x-616. 8x^2-6x-917. x+1)(x+2)-1218. x^2+(p+q)x+pq19. 3x^3-6x^2+320. a^2(x－2a)^2－a(x－2a)^221. 25m^2－10mn＋n^222. x^2-3x-2823. y^4+2y^3-3y^224. (x－1)^2*(3x－2)＋(2－3x)25. (x－2)^2－x＋226. x^2-12x-2827. 12a^2*b(x－y)－4ab(y－x)28. a^2＋5a＋629. x^11-2x^10+x^930. x^2+x31. x^3+x32. x^4+x33. 100x^2+30xy+2y^234. 6y^2-16y+835. 6-7a-5a^236. 3x^2-17x+1037. 6a^2-11ab+3b^238. 2m^3+3m^2-5m39. (x+y)^2-2(x+y)-340. a^2-b^2+2ab-c^241. m^2+2mn+n^2-142. x^2-4y^2+4yz-z^243. 9x^2-4y^2-z^2+4yz44. -25+a^2+9b^2-6ab45. 2x^2-100x-10246. x^2*y^2-7xy+1047. x^2-x-248. -x^2*y+6xy-8y49. x^2-9y^2-x+3y50. x^2-7x-8出不动了。。。难度不随题号变化，解题方法不随题号变化，老少皆宜，童叟无欺。答案：1. (a+b)(x+y)2. (x+1)(x^2-x+1)3. x^2*(x+1)4. (x-1)(x^2-2x+2)5. (x-2)(x-4)6. (x-5)(x-7)7. (x-1)(x+3)(x+4)8. (x^2+1)(x-1)(x+1)9. (x^2-2x+2)(x^2+2x+x)10. (b+c)(b+a)11. (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)12. (x+1)(x^2-x+1)(x+2)(x^2-2x+4)13. (x-99)(x-1)14. (x+y)(x-y-1)15. (7x+2)(x-3)16. (2x-3)(4x+3)17. (x+5)(x-2)18. (x+p)(x+q)19. (x-1)(x^2-x-1)20. a(a-1)(x－2a)^221. (5m-n)^222. (x-7)(x+4)23. y^2(y-1)(y+3)24. x(x－2)(3x－2)25. (x-2)(x-3)26. (x-14)(x+2)27. 4ab(3a+1)(x-y)28. (a+2)(a+3)29. x^9*(x-1)^230. x(1+x)31. x(1+x^2)32. x(1+x)(1-x+x^2)33. 2(5x+y)(10x+y)34. 2(3y-2)(y-2)35. (3-5a)(a+2)36. (3x-2)(x-5)37. (2a-3b)(3a-b)38. m(m-1)(2m+5)39. (x+y-3)(x+y+1)40. (a+b-c)(a+b+c)41. (m+n+1)(m+n-1)42. (x+2y-z)(x-2y+z)43. (3x+2y-z)(3x-2y+z)44. (a-3b-5)(a-3b+5)45. 2(x-51)(x+1)46. (xy-5)(xy-2)47. (x-2)(x+1)48. -y(x-2)(x-4)49. (x-y)(x+3y-1)50. (x-8)(x+1)

也叫因子。如果一个多项式（或整式）能被另一个多项式（或整式）整除，则后者叫做前者的因式。如a+b和a-b都是a2-b2的因式。

因式就是f（x）能够被g（x）整除，f（x）就是g（x）的因式

多项式被另一多项式整除，后者即是前者的因式。如果多项式 f(x) 能够被整式g(x)整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。一个数也可以看做一个因式。注意：g(x)≠0，但 q(x) 可以等于0(当 f(x)=0 时)。提公因式法1、公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。2、提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.。例如：am+bm+cm=m(a+b+c)。3、具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。

增添、积累。例如《论语．先进》「千乘之国，摄乎大国之间，加之以师旅，因之以饥馑，由也为之，比及三年，可使有勇且知方也。」又例《史记．卷三○．平准书》「太仓之粟陈陈相因，充溢露积於外，至腐败不可食。」

多项式被另一多项式整除,后者即是前者的因式，如果多项式 f(x) 能够被整式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。

多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式（common factor）. 最大公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式. 公因式希望能解决您的问题。

就是乘法中相乘的数，因式*因式*...*因式=积

对于多项式A，如果存在两个多项式(或单项式)B和C，使得A=B·C则称B是A的因式。

多项式被另一多项式整除,后者即是前者的因式，如果多项式 f(x) 能够被整式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。注意，因式是一个式子，而2×3=6中的2、3不是式子，是数字，称为因数，而不是因式。

概念：因式是指多项式被另一多项式整除,后者即是前者的因式，如果多项式 f(x) 能够被整式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。分解因式：定义把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式，又叫做因式分解。常用的公式有：a^2-b^2=(a+b)(a-b)(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).分解因式的方法：⑴提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.。am+bm+cm=m（a+b+c）③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.⑵公式法①平方差公式：. a^2－b^2=(a+b)(a－b)②完全平方公式： a^2±2ab+b^2=(a±b)^2※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。③立方和公式：a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2)。立方差公式：a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2)。④完全立方公式： a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)⑶分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法。分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。⑷拆项、补项法拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形。⑸十字相乘法①x^2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）②kx^2+mx+n型的式子的因式分解如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．a -----/b ac=k bd=nc /-----d ad+bc=m※ 多项式因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。⑹应用因式定理如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。

就是在一个式子中，有共有成分的每个数。记得提公因式吗？就是这样！因数：一个数与其它数的乘积构成另一个数，这些数成为构成数的因数

多项式被另一多项式整除,后者即是前者的因式，如果多项式 f(x) 能够被整式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。

(1)x2-6x-7 (2)x2+6x-7 (3)x2-8x+7 (4)x2+8x+7 (5)x2-5x+6 (6)x2-5x-6 (7)x2+5x-6 (8)x2+5x+6 解：(1)x2-6x-7=(x-7)(x+1) (2)x2+6x-7=(x+7)(x-1) (3)x2-8x+7=(x-7)(x-1) (4)x2+8x+7=(x+7)(x+1) (5)x2-5x+6=(x-2)(x-3) (6)x2-5x-6=(x-6)(x+1) (7)x2+5x-6=(x+6)(x-1) (8)x2+5x+6=(x+2)(x+3) 点评：此例中的题是易错的典型题，初学时难于避免，主要原因是对十字相乘的原则没有充分认识，即，两常数项的乘积是原多项式的常数项，它们的和是原一次项系数，因此单纯的凑数是不行的，一定注意分解后与原多项式相等.十字相乘法——借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，它是先将二次三项式 的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积（一般会有几种不同的分法） 然后按斜线交叉相乘、再相加，若有 ，则有 ，否则，需交换 的位置再试，若仍不行，再换另一组，用同样的方法试验，直到找到合适的为止。 3.因式分解的一般步骤 （1） 如果多项式的各项有公因式时，应先提取公因式； （2） 如果多项式的各项没有公因式，则考虑是否能用公式法来分解； （3） 对于二次三项式的因式分解，可考虑用十字相乘法分解； （4） 对于多于三项的多项式，一般应考虑使用分组分解法进行。 在进行因式分解时，要结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法。以上这四种方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式，要学会具体问题具体分析。 在我们做题时，可以参照下面的口诀： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 十字相乘试一试，分组分得要合适； 四种方法反复试，最后须是连乘式。参考资料：IMO1.因式分解 即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式，则结果唯一，因为：数域F上的次数大于零的多项式f(x),如果不计零次因式的差异，那么f(x)可以唯一的分解为以下形式： f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次项的系数，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可约多项式，并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。 （*）或叫做多项式f(x)的典型分解式。证明：可参见《高代》P52-53 初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等 要求为：要分到不能再分为止。 2.方法介绍 2.1提公因式法： 如果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，进行因式分解，注意要每项都必须有公因式。 例15x3+10x2+5x 解析显然每项均含有公因式5x故可考虑提取公因式5x，接下来剩下x2+2x+1仍可继续分解。 解：原式=5x(x2+2x+1) =5x(x+1)2 2.2公式法 即多项式如果满足特殊公式的结构特征，即可采用套公式法，进行多项式的因式分解，故对于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下： a2-b2=(a+b)(a-b) a2±2ab+b2=(a±b)2 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2 a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=(a1+a2+…+an)2 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…+bn-1)(n为奇数) 说明由因式定理，即对一元多项式f(x)，若f(b)=0，则一定含有一次因式x-b。可判断当n为偶数时，当a=b,a=-b时，均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b，a-b因式。 例2分解因式：①64x6-y12②1+x+x2+…+x15 解析各小题均可套用公式 解①64x6-y12=（8x3-y6）(8x3+y6) =(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4) ②1+x+x2+…+x15= =(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8) 注多项式分解时，先构造公式再分解。 2.3分组分解法 当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。当然可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。 例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1 解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1) =m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1) =(m3+1)(m12+m6++1) =(m3+1)[(m6+1)2-m6] =(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3) 例2分解因式：x4+5x3+15x-9 解析可根据系数特征进行分组 解原式=（x4-9）+5x3+15x =(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3) =(x2+3)(x2+5x-3) 2.4十字相乘法 对于形如ax2+bx+c结构特征的二次三项式可以考虑用十字相乘法, 即x2+(b+c)x+bc=(x+b)(x+c)当x2项系数不为1时，同样也可用十字相乘进行操作。 例3分解因式：①x2-x-6②6x2-x-12 解①1x2 1x-3 原式=（x+2）(x-3) ②2x-3 3x4 原式=（2x-3）(3x+4) 注：“ax4+bx2+c”型也可考虑此种方法。 2.5双十字相乘法 在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的基本方法，对于比较复杂的多项式，尤其是某些二次六项式，如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也可以运用十字相乘法分解因式，其具体步骤为： （1）用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图 （2）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个十字中交叉之积的和等于原式中含y的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含x的一次项 例5分解因式 ①4x2-4xy-3y2-4x+10y-3②x2-3xy-10y2+x+9y-2 ③ab+b2+a-b-2④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2 解①原式=（2x-3y+1）(2x+y-3) 2x-3y1 2xy-3 ②原式=（x-5y+2）(x+2y-1) x-5y2 x2y-1 ③原式=(b+1)(a+b-2) 0ab1 ab-2 ④原式=（2x-3y+z）(3x+y-2z) 2x-3yz 3x-y-2z 说明：③式补上oa2,可用双十字相乘法，当然此题也可用分组分解法。 如（ab+a）+(b2-b-2)=a(b+1)+(b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2) ④式三个字母满足二次六项式，把-2z2看作常数分解即可： 2.6拆法、添项法 对于一些多项式，如果不能直接因式分解时，可以将其中的某项拆成二项之差或之和。再应用分组法，公式法等进行分解因式，其中拆项、添项方法不是唯一，可解有许多不同途径，对题目一定要具体分析，选择简捷的分解方法。 例6分解因式：x3+3x2-4 解析法一：可将-4拆成-1，-3即（x3-1）+(3x2-3) 法二：添x4,再减x4,.即（x4+3x2-4）+(x3-x4) 法三：添4x,再减4x即，（x3+3x2-4x）+(4x-4) 法四：把3x2拆成4x2-x2,即（x3-x2）+(4x2-4) 法五：把x3拆为，4x2-3x3即(4x3-4)-(3x3-3x2)等 解（选择法四）原式=x3-x2+4x2-4 =x2(x-1)+4(x-1)(x+1) =(x-1)(x2+4x+4) =(x-1)(x+2)2 2．7换元法 换元法就是引入新的字母变量，将原式中的字母变量换掉化简式子。运用此 种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果。 例7分解因式： (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120 解析若将此展开，将十分繁琐，但我们注意到 (x+1)(x+4)=x2+5x+4 (x+2)(x+3)=x2+5x+6 故可用换元法分解此题 解原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120 令y=x2+5x+5则原式=(y-1)(y+1)-120 =y2-121 =(y+11)(y-11) =(x2+5x+16)(x2+5x-6) =(x+6)(x-1)(x2+5x+16) 注在此也可令x2+5x+4=y或x2+5x+6=y或x2+5x=y请认真比较体会哪种换法更简单？ 2．8待定系数法 待定系数法是解决代数式恒等变形中的重要方法,如果能确定代数式变形后的字母框架,只是字母的系数高不能确定,则可先用未知数表示字母系数,然后根据多项式的恒等性质列出n个含有特殊确定系数的方程(组)，解出这个方程(组)求出待定系数。待定系数法应用广泛,在此只研究它的因式分解中的一些应用。 例7分解因式：2a2+3ab-9b2+14a+3b+20 分析属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法 先分解2a2+3ab+9b2=(2a-3b)(a+3b) 解设可设原式=(2a-3b+m)(a+3b+n) =2a2+3ab-9b2+(m+2n)a+(3m-3n)b+mn…………… 比较两个多项式（即原式与*式）的系数 m+2n=14(1)m=4 3m-3n=-3(2)=> mn=20(3)n=5 ∴原式=（2x-3b+4）(a+3b+5) 注对于（*）式因为对a,b取任何值等式都成立，也可用令特殊值法，求m,n 令a=1,b=0,m+2n=14m=4 => 令a=0,b=1,m=n=-1n=5 2.9因式定理、综合除法分解因式 对于整系数一元多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 由因式定理可先判断它是否含有一次因式(x-)（其中p，q互质），p为首项系数an的约数，q为末项系数a0的约数 若f（）=0,则一定会有（x-）再用综合除法，将多项式分解 例8分解因式x3-4x2+6x-4 解这是一个整系数一元多项式，因为4的正约数为1、2、4 ∴可能出现的因式为x±1,x±2,x±4, ∵f(1)≠0,f(1)≠0 但f(2)=0,故(x-2)是这个多项式的因式，再用综合除法 21-46-4 2-44 1-220 所以原式=(x-2)(x2-2x+2) 当然此题也可拆项分解，如x3-4x2+4x+2x-4 =x(x-2)2+(x-2) =(x-2)(x2-2x+2) 分解因式的方法是多样的，且其方法之间相互联系，一道题很可能要同时运用多种方法才可能完成，故在知晓这些方法之后，一定要注意各种方法灵活运用，牢固掌握!

不都是。x+5中x属于未知数，5属于因式，所以不都是因式。因式是数学中经常被使用到的一种方程式，因式的熟练运用能够更好的帮助人们对于数学成绩的提升。

因式定理：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。推广：“ax-b为f(x)的因式”等价于f（b/a）=0。 余式定理：当一个多项式f(x)除以(x–a)时，所得的余数等于f(a)。 例1：当除以(x–1)时，则余数等于。 整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则。 如果多项式r=0，那么多项式f(x)必定含有因式(x-a)。反过来，如果f(x)含有因式(x-a)，那么，r=0。 余式定理的推论 当一个多项式f(x)除以(mx–n)时，所得的余数等于f(n/m)。 例2：求当除以(3x+1)时所得的余数。 设f(x)=9x^2+6x–7，则余数f（-1/3）=1-2-7=-8。

理论：P(X)是F(X)的k重因式，P(X)是F"(X)的k-1重因式.反之，P(X)是F"(X)的k重因式，并且P(X)是F(X)的因式.则P(X)是F(X)的k+1重因式， F(X)没有重因式的充要条件是F(X)与F"(X)互素。F(X)与F"(X)的最大公因式就是重因式，确定重数需要手工操作，比如：综合除法例F(X)=x^5+x^4-2x^3-2x^2+x+1与F"(X)=5x^4+4x^3-6x^2-4x+1用辗转相除法求出F(X)与F"(X)的最大公因式x^3+x^2-x-1=(x-1)(x+1)^2(x-1),(x+1)都是F（X)的重因式

就是在加减乘除运算中,乘法中的式子 例如：XY+XZ 中 X、Y、Z都是因式 而X又是公因式.

1.提公因式AX+AY+AZ=A(X+Y+Z)2.公式法 X^2-Y^2=(X+Y)(X-Y) X^2+2XY+Y^2=(X+Y)^23.十字相乘法 X^2-5X+6=(X-2)(X-3)4.分组分解法 MN-MY+NX-XY=M(N-Y)+X(N-Y)=(N-Y)(M+X)5.换元法(M-N)^2-2（M-N）+1 设M-N=X 则原式为X^2-2X+1=(X-1)^2 即为(M-N-1)^26.求根公式法 X^2-X-1 设X^2-X-1=0 X=(1+√5)/2和X=(1-√5)/2 X^2-X-1=【X-(1+√5)/2】【X-(1-√5)/2】

亲爱的楼主： 重因式 编辑 定义 设p(x) 为不可约多项式.如果f(x)能被p(x) 的k次方整除而p（x）的k+1次方不能,则称p(x) 是 f(x)的k 重因式. 若k=0,则p(x) 不是f(x) 的因式. 若k=1,则称 p(x) 是f(x) 的单因式. 若k>1,则称 p(x) 是f(x) 的重因式. 也可以定义高阶微商的概念,一阶微商f"(x) 的微商称为f(x) 的二阶微商,记为f""(x).一般地,f(x) 的k 阶微商定义为f(x) 的k-1 阶微商的微商: 定理 如果不可约多项式p(x) 是f(x) 的k 重因式（k≥1),那么它是f"(x) 的k-1 重因式. 注意:该定理的逆定理一般不成立 推论 1 如果不可约多项式p(x) 是f(x) 的k (k≥1)重因式,那么p(x) 分别是f"(x),f""(x)...f(k-1)(x) 的 k-1,k-2,...,1 重因式,但不是f(k)（x） 的因式. 推论 2 不可约多项式p(x) 是f(x) 的重因式的充分必要条件是p(x) 为f(x) 与 f"(x)的公因式. 推论 3 多项式 f(x)没有重因式的充分必要条件是(f(x),f"(x))=1. g(x)=f(x)/(f(x),f"(x))是一个没有重因式的且与 f(x)具有完全相同的不可约因式的多项式,这种多项式很有用. 祝您步步高升

（x+1）（x²+2x+1-9）=（x+1）（x²+2x-8）=（x+1）（x-2）（x+4）

即为余式定理的推论之一： 如果多项式f(a)=0,那么多项式f(x)必定含有因式x-a. 反过来,如果f(x)含有因式x-a,那么,f(a)=0. 将因式定理与待定系数法配合使用往往可以更简便的进行因式分解.

因式，是一个多项式分解成的如 x²-4可以分解成 (x-2)(x+2)则 （x-2）和（x+2）就是 x²-4 的因式

多项式被另一多项式整除。因式是指多项式被另一多项式整除，后者即是前者的因式，如果多项式f(x)能够被整式g(x)整除，即可以找出一个多项式q(x)，使得f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x)就叫做f(x)的一个因式。多项式在数学中，几个单项式的和，叫做多项式

二次因式是指最高次项的次数是2的整式因式.一次因式是指最高次项的次数是1的整式因式.比如 a^3+b^3=(a+b)(a^-ab+b^)中,因式(a+b)是一次因式；因式(a^-ab+b^)就是二次因式.

就是在一个式子中，有共有成分的每个数。记得提公因式吗？就是这样！因数：一个数与其它数的乘积构成另一个数，这些数成为构成数的因数

比如 ab=c 那么c是积 ab是因式

因式分解(分解因式)Factorization，把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。在数学求根作图方面有很广泛的应用。1、 应用于多项式除法。 　　2、 应用于高次方程的求根。 　　3、 应用于分式的通分与约分 　　顺带一提，梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展：

§5 因式分解定理 一、不可约多项式 . 定义8 数域 上次数 的多项式 称为域 上的不可约多项式(irreducible polynomical),如果它不能表成数域 上的两个次数比 的次数低的多项式的乘积. 根据定义,一次多项式总是不可约多项式. 一个多项式是否可约是依赖于系数域的. 显然,不可约多项式 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍 这两种,此外就没有了.反过来,具有这个性质的次数 的多项式一定是不可约的.由此可知,不可约多项式 与任一多项式 之间只可能有两种关系,或者 或者 . 定理5 如果 是不可约多项式,那么对于任意的两个多项式 ,由 一定推出 或者 . 推广：如果不可约多项式 整除一些多项式 的乘积 ,那么 一定整除这些多项式之中的一个. 二、因式分解定理 因式分解及唯一性定理 数域 上次数 的多项式 都可以唯一地分解成数域 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式 , 那么必有 ,并且适当排列因式的次序后有 . 其中 是一些非零常数. 应该指出,因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性,但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上,对于一般的情形,普遍可行的分解多项式的方法是不存在的. 在多项式 的分解式中,可以把每一个不可约因式的首项系数提出来,使它们成为首项系数为1的多项式,再把相同的不可约因式合并.于是 的分解式成为 , 其中 是 的首项系数, 是不同的首项系数为1的不可约多项式,而 是正整数.这种分解式称为标准分解式. 如果已经有了两个多项式的标准分解,就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式 与 的最大公因式 就是那些同时在 与 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带的方幂的指数等于它在 与 中所带的方幂中较小的一个. 由以上讨论可以看出,带余除法是一元多项式因式分解理论的基础. 若 与 的标准分解式中没有共同的不可约多项式,则 与 互素. 注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法,因为在一般情况下,没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法,即使要判断数域 上一个多项式是否可约一般都是很困难的. 例 在有理数域上分解多项式 为不可约多项式的乘积.

3X/（X＋2）÷X－2/（2X－3）= 3X/（X＋2）·1/X－2/（2X－3）分式的分母不能为零即有意义所以x≠0； x+2≠0即x≠-2；2x-3≠0即x≠3/2时分式有意义

诗人久居山中,兴亡千古,都是繁华一梦.用倦字,恰如其分地表现了诗人的落寞情怀.他不知前路在何方,也不知未来会怎样,而只是希望以一种归隐的方式结束寥寥此生.所以,倦还带有倦怠、厌倦的意思,是很符合诗人气质的字眼.所以说用得好.

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1、冬天，虽然没有春天迷人的鸟语花香，没有夏天壮观的闪电雷鸣，没有秋天诱人的丰硕果实，但它也有献给大自然的含蓄的美。 2、我爱白雪，我爱雪景，我更爱冬天。冬天是心灵的年轮。冬天，虽然十分寒冷，但是它有着无可比拟的温馨和希望。 3、傍晚，大片大片的雪花，从昏暗的天空中纷纷扬地飘落下来。霎时间，山川、田野、村庄，全都笼罩在白蒙蒙的大雪之中。 4、雪花依旧在天空飘呀，飘呀。我用画画，留下雪花。一笔，两笔，雪花被我放大了。呃，不够。我拿起相机拍下了雪花及雪的壮景。雪花像害羞了呢，随着风飘向了另一边。 5、我们的人生，不可能总如南方某省，我们的冬天也可能随时会降临。但我们只要记着，无论多么寒冷的冬天，勇敢面对，我们就可以看到白蝴蝶似的雪花任意飞舞。请你坚信着：冬天到了，雪花盛开！ 6、雪花很白很白，白得那么纯洁。它们把大地变得也很纯洁、很美丽。我有种这样的感觉：雪不仅仅使万物变得纯洁，也使人们的心灵变得像它一样美丽、纯洁。 7、我望着天空中飘飘荡荡的雪花，透过雪花，我好像看到一个粉妆玉砌的雪花世界。那个世界里，雪花是一个个可爱的小精灵，为雪花世界增添了华光异彩。 8、这场雪景十分美，小麦会获得丰收。大家的爱心一定会飘向四方，融化冰雪，使被围困的山区获得解救。只要多一些希望和勇气，就一定能再创美好幸福的家园。 9、人工湖结上了一层很厚的冰，一些调皮的小同学在湖上嬉戏打闹，从湖面上不时地传来阵阵欢声笑语。 10、下雪了，大地被铺上了一层白色的新衣，雪地是我们玩耍的天地。在众多雪景中，我最喜欢下雪时的景色。 11、冬天虽然很冷，但我认为冬天是最美好的季节，这里的景色令人陶醉，这里是我们玩耍的乐园。 12、早春二月的雪，虽然她的生命短暂，年华易逝，但她如一位善解人意的天使，以她的圣洁与纯真，无声无息，自由自在地与柔情翩翩起舞，共舞缤纷的相思。 13、松树苍翠地站在白皑皑的雪地里，随着凛冽的西北风，摇晃着身子，发出尖厉刺耳的呼啸，像是有意在蔑视冬天。 14、初下雪时，往往雪片并不大，也不太密，如柳絮随风轻飘，随着风越吹越猛，雪越下越密，雪花也越来越大，像织成了一面白网，丈把远就什么也看不见了。又像连绵不断的帏幕，往地上直落，同时返出回光。 15、雪终于停了，茫茫的田野一片雪白，房舍、群山披上了银装。雪，像一团团松软的鹅毛，把白日里被搅得一片混乱的沙滩，又铺得格外平展。 16、一片片小雪花像烟一样轻，玉一样纯，银一样白，飘飘洒洒，纷纷扬扬，从天而降，亲吻着久别的大地。 17、雪，洁白如玉，像是天宫派下的天将，像美丽的玉色蝴蝶，似舞如醉；像吹落的蒲公英，似飘如飞；像天使的赏赠的白色花朵；忽散忽聚，飘飘悠悠，轻盈无比，是大地的杰作！ 18、雪花落在树姑娘的身上，树姑娘好像披上了雪白雪的的婚纱。雪花落在屋顶上，屋顶好像带上了雪白雪的帽子。雪花落在大地上，大地好像盖上了雪白雪白的羊毛毯。 19、雪花像翩跹的粉蝶，欣喜地闪耀着她的“翅膀”好象把晶莹的絮片撒到大地上，让大地在柔软的床幔底下休息。孕育着新春的生长。 20、穿上衣服，来到客厅，通过玻璃看着那飘飘洒洒的雪花，可真是美哉啊！站在美丽的雪景面前我平时积累的关于写景的美词美句全都没有了印象，呆住了。只嫌自己不能像李白那样，出口成诗。 21、雪仙子在尽情地挥舞着衣袖；在飘飘洒洒的弹奏中，天、地、河、山，清纯洁净，没有泥潭。 22、雪花，令文人骚客灵感大发，浮想联翩。难怪诗仙李太白赞颂：瑶台雪花数千点，片片吹落春风香。雪花，不仅使人们看到白玉无瑕的新景，更能看到春天的曙光。 23、冬天，非常寒冷。说实话，我不希望它来临，可是它来临时，我却有异样的感觉。啊，我爱冬天，因为，冬天“疾风知劲草”，我爱它的品格。 24、又是一场大雪过后，天空一样蔚蓝，并且比海蓝得更晶莹剔透。千峰万岭，极目一望，尽是白色，闪耀着一片连接不断的银光。 25、窗外落着鹅毛大雪，雪花像蝴蝶似地扑向窗玻璃，在玻璃上撞了一下，又翩翩地飞向一旁。 26、雪，就像铺在地上的毛毯一般，盖住了枯萎的小草，盖住了黑色的土地，给大地披上了一件洁白的礼服。踩上去，像踩在白糖上一样，还发出“咯吱咯吱”的声音。 27、下雪了，大片大片的雪花，从彤云密布的天空中簌簌飘落下来。雪花像一个个顽皮的小精灵，有时落在鼻尖上，有时落在脖子里，可爱极了！ 28、雪花从空中缓缓落下来，好似一只只白蝴蝶飞舞。我最喜欢的就是吃雪了，我边走边张着嘴等待雪花飘进我嘴里，那种感觉别提多棒了！ 29、我凝望天空，闭上我的双眼，任雪花与我娇柔地缠绵，我仿佛听到了雪花在我的耳畔轻轻地吟唱，仿佛听到了遥远的天际里传来的琴音。 30、洁白无瑕的雪啊，总爱在寒冬落下。我也总爱停下洁白无瑕的雪啊，总爱在寒冬落下。我也总爱停下洁白无瑕的雪啊，总爱在。 31、雪，飘飘落落，降落在我的手上，依然还是那么白，雪，还告诉了我，我们要帮助别人，我更喜欢打雪仗。 32、我认出，那些雪地上凌乱闪烁的脚印，是诗；而被踩得黯淡板结的路，是散文。落在树上的雪，不是嫁接，而是塑造。披上雪纱的世界，终于出现了轮廓。 33、雪中的景色壮丽无比，天地之间浑然一色，只能看见一片银色，好象整个世界都是用银子来装饰而成的。 34、没过几分钟，地上便积了一层薄薄的雪，大地被这珊珊来迟的雪装点着、滋润着。雪以铺天卷地之势地下着，越下越猛、越下越大，看上去像一副雄伟壮阔的图画。 35、梅将雪共春，字里行间，能看到雪花的快乐以及诗人的快乐，令人羡慕！何时，我们也能够触摸到这样的快乐？即使雪花在掌心里化成了一滴水，也能留下纯净的记忆。 36、晚上的雪最优雅。晚上，人们都进入了梦乡。雪还在纷纷扬扬的下，月光下的雪，美丽无比。月光洒在雪上，梦幻般，可漂亮啦。 37、无声的雪，还在飘飘洒洒，却重重落在我的心里，唤起了我对冬天的使者——雪花的爱。雪花，并不只是寒冷，它有颗热忱温暖的心。它无私地在阳光的照耀下融化的自己，化做水分供给大地，滋润世间的万物。 38、下雪天，青蛙、蟒蛇、蚂蚁、刺猬、狗熊等都冬眠了，小朋友们穿着厚厚的棉衣，踩在雪地上咯吱咯吱响，人们说话时，嘴里会哈出热气，大地像盖上了厚厚的、棉花糖一样的被子。 39、转眼间，冷杉苍松都变成了琼枝玉珂。榆杨换去了穿了一秋的朴素的中山装，枫林则褪下了炫耀了小半年的火红的长裙。玉蝶儿样的雪花漫天飞舞，大地将刚披上的绫纱换成了毛衣。 40、我接住一片雪花，想数数它有几片花瓣，还没等我数完，它就变成了小水滴偷偷地从我的指缝间溜走了。 41、早上的雪最美啦。树木刚刚苏醒，就被披上啦银装。大地也被盖上啦厚厚的棉被。放眼望去，美丽极啦。 42、雪，你给人们带来了喜悦和希望。诗人，画家赞美你美丽和纯洁无暇。农民伯伯赞美你给他们带来丰收的希望。孩子们赞美你为他们创造了广阔的娱乐天地。 43、公路旁、人行道上的积雪已经融化，只有背阳的屋顶上还留有残雪，就像戴着顶白色的小帽子。 44、落光了叶子的柳树上，挂满了毛茸茸、亮晶晶的银条儿；冬夏常青的松树和柏树，堆满了蓬松松、沉甸甸的雪球。 45、初下雪时，往往雪片并不大，也不太密，如柳絮随风轻飘，随着风越吹越猛，雪越下越密，雪花也越来越大，像织成了一面白网，丈把远就什么也看不见了。 46、雪，盖满了屋顶，马路，压断了树枝，隐没了种种物体的外表，阻塞了道路与交通，漫天飞舞的雪片，使天地溶成了白色的一体。 47、一夜大雪，城市的房顶上积起了一层厚雪，站在高楼的平顶上望出去，就像连绵起伏的雪山。 48、窗外飞舞着雪花，像千百只蝴蝶似的扑向窗玻璃，在玻璃上调皮地撞一下，又翩翩地飞向一旁。 49、只见天地之间白茫茫的一片，雪花纷纷扬扬的从天上飘落下来，四周像拉起了白色的帐篷，大地立刻变得银装素裹。我不禁想起一句诗“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”真美呀！ 50、雪花纷飞，代表冬天快过了。我看着那雪白的雪花，我心里会想：新的一年来了，我又大一岁了，我要懂事了。 51、冬天来了，小草没有了，草地上铺了条白白的雪被子。树光秃秃的，只有松树仍然是绿绿的，还披着一件白色的雪外衣。河里冻上了冰。远处的山和山上的小亭子也都盖上了厚厚的雪被子。 52、大雪随着寒冬来了，街道仿佛是银子铸成的，那么亮，那么有光辉，长长的冰柱像水晶的短剑挂在檐前，行人的呼吸也化作了一股股白烟。 53、冬雪的歌是那么美妙，动听。每一年冬天它都在反复地演唱着纯之歌，淡之音，严之律。我想，这首雪之歌不应该只是冬天特有的乐曲，它应该是每个人的人生之歌。 54、置身在漫天飞舞的雪花中，在白色的琼楼玉宇间，仰望着天空飘落的雪花，手伸出来，接住落下的雪花，我仔细地观察了雪花的样子，整朵雪花呈六边形，它的花纹伸展得非常整齐，像树杈分开的样子。 55、早上，我推开窗户，到处都是白茫茫的一片，仿佛是雪的海洋，就连光秃秃的树枝上也都压满了厚厚的积雪，一颗棵像雪松一样，耸立在雪地里，漂亮极了！ 56、山上的雪被风吹着，像要埋蔽这傍山的小房似的。大树号叫，风雪向小房遮蒙下来。一株山边斜歪着的大树，倒折下来。寒月怕被一切声音扑碎似的，退缩到天边去了！ 57、窗外，一朵一朵的雪花，旖旎美态，精灵般飞舞，晶莹剔透，温婉如玉。我眸子里多了醉意，缀在眼角淡淡的惊喜，雪花无声的飘落，冰姿柔骨，凌波轻舞，我倚窗静立，遥听片片飞雪呢喃絮语。 58、大雪纷纷扬扬落下，那一片雪花在空中舞动着各种姿势，或飞翔，或盘旋，或直直地快速坠落，铺落在地上。 59、雪后，那绵绵的白雪装饰着世界，琼枝玉叶，粉装玉砌，皓然一色，真是一派瑞雪丰年的喜人景象。 60、雪让人的感觉只有一个字——冷。大地一片银白，一片洁净，而雪花仍如柳絮，如棉花，如鹅毛从天空飘飘洒洒。 61、雪，盖满了屋顶，马路，压断了树枝，隐没了种种物体的外表，阻塞了道路与交通，漫天飞舞的雪片，使天地溶成了白色的一体。你要是在路上行走，不一会儿，就会成为一个活雪人。 62、春雪——这北国之春的使者，你委实太美丽了，虽说冬雪洁白可爱，但哪抵得春雪的潇洒自然？冬雪太庄严了，是沉静的，又哪有春雪的体柔骨净呢？ 63、风雨刚刚送走了硕果累累，落叶飘飞的冬天，飞舞的雪花又在迎接北风呼啸，大雪纷飞的冬天。冬天很美，但冬天的雪景更美。 64、雪，真大啊！地面上是白茫茫的一片，可雪还在不停的下着，好像仙女散花一般。你看那雪花，像白云，像棉花。它是那样的洁白，那样的耀眼。

倦[juàn] : 疲～。～怠。～意。～容。～色。厌～。～飞。～游

大于等于在数轴上面用一个实心的圆点表示起点，向右的一个曲线表示方向，大于则是一个空心点表示起点。