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假设法解题(一)
一、知识要点
假设法解体的思考方法是先通过假设来改变题目的条件,然后再和已知条件配合推算。有些题目用假设法思考,能找到巧妙的解答思路。
运用假设法时,可以假设数量增加或减少,从而与已知条件产生联系;也可以假设某个量的分率与另一个量的分率一样,再根据乘法分配律求出这个分率对应的和,最后依据它与实际条件的矛盾求解。
二、精讲精练
【例题1】
甲、乙两数之和是185,已知甲数的1/4与乙数的1/5的和是42,求两数各是多少?
【思路导航】假设将题中“甲数的1/4”、“乙数的1/5”与“和为42”同时扩大4倍,则变成了“甲数与乙数的4/5的和为168”,再用185减去168就是乙数的1/5。
解: 乙:(185-42×4)÷(1-1/5×4)=85
答:甲数是100,乙数是85。
练习1:
1.甲、乙两人共有钱150元,甲的1/2与乙的1/10的钱数和是35元,求甲、乙两人各有多少元钱?
2.甲、乙两个消防队共有338人。抽调甲队人数的1/7,乙队人数的1/3,共抽调78人,甲、乙两个消防队原来各有多少人?
3.海洋化肥厂计划第二季度生产一批化肥,已知四月份完成总数的1/3多50吨,五月份完成总数的2/5少70吨,还有420吨没完成,第二季度原计划生产多少吨?
【例题2】
彩色电视机和黑白电视机共250台。如果彩色电视机卖出1/9,则比黑白电视机多5台。问:两种电视机原来各有多少台?
【思路导航】从图中可以看出:假设黑白电视机增加5台,就和彩色电视机卖出1/9后剩下的一样多。
黑白电视机增加5台后,相当于彩色电视机的(1-1/9)= 8/9。
(250+5)÷(1+1-1/9)=135(台)
250-125=115(台)
答:彩色电视机原有135台,黑白电视机原有115台。
练习2:
1.姐妹俩养兔120只,如果姐姐卖掉1/7,还比妹妹多10只,姐姐和妹妹各养了多少只兔?
2.学校有篮球和足球共21个,篮球借出1/3后,比足球少1个,原来篮球和足球各有多少个?
3.小明甲养的鸡和鸭共有100只,如果将鸡卖掉1/20,还比鸭多17只,小明家原来养的鸡和鸭各有多少只?
【例题3】师傅与徒弟两人共加工零件105个,已知师傅加工零件个数的3/8与徒弟加工零件个数的4/7的和为49个,师、徒各加工零件多少个?
【思路导航】假设师、徒两人都完成了4/7,一个能完成(105×4/7)=60个,和实际相差(60-49)=11个,这11个就是师傅完成将零件的3/8与完成加工零件的4/7相差的个数。这样就可以求出师傅加工了【11÷(4/7-3/8)】=56个。即:
师傅:(105×4/7-49)÷(4/7-3/8)=56(个)
徒弟:105-56=49(个)
答:师傅加工了56个,徒弟加工了49个。
练习3:
1.某商店有彩色电视机和黑白电视机共136台,卖出彩色电视机的2/5和黑白电视机的3/7,共卖出57台。问:原来彩色电视机和黑白电视机各有多少台?
2.甲、乙两个消防队共有336人,抽调甲队人数的5/7、乙队人数的3/7,共抽调188人参加灭火。问:甲、乙两个消防队原来各有多少人?
3.学校买来足球和排球共64个,从中借出排球个数的1/4和足球个数的1/3后,还剩下46个,买来排球和足球各是多少个?
【例题4】甲、乙两数的和是300,甲数的2/5比乙数的1/4多55,甲、乙两数各是多少?
【思路导航】甲数的2/5与乙数的2/5的和就是甲、乙两数的2/5,是300×2/5=120,因为甲数的2/5比乙数的1/4多55,所以从120中减去55所得的差就可以看成是乙数的1/4与乙数的2/5的和。
乙:(300×2/5-55)÷(2/5+1/4)=100
甲:300-100=200
答:甲数是200,乙数是100。
练习4:
1.畜牧场有绵羊、山羊共800只,山羊的2/5比绵羊的1/2多50只,这个畜牧场有山羊、绵羊各多少只?
2.师傅和徒弟共加工零件840个,师傅加工零件的个数的5/8比徒弟加工零件个数的2/3多60个,师傅和徒弟各加工零件多少个?
3.某校六年级甲、乙两个班共种100棵树,乙班种的1/10比甲班种的1/3少16棵,两个班各种多少棵?
【例题5】育红小学上学期共有学生750人,本学期男学生增加1/6,女学生减少1/5,共有710人,本学期男、女学生各有多少人?
【思路导航】假设本学期女学生不是减少1/5,而是增加1/6,半学期应该有750×(1+1/6)=875人,比实际多875-710=165人,这165人是假设女学生也增加1/6多出的人数,而实际女学生减少1/5,所以,这165人对应着女学生的(1/5+1/6)=11/30。
上学期女生:【750×(1+1/6)-710】÷(1/5+1/6)=450(人)
本学期女生:450×(1-1/5)=360(人)
本学期男生:710-360=350(人)
答:本学期男学生有350人,女学生有360人。
练习5:
1.金放在水里称,重量减轻1/19,银放在水里称,重量减少1/10,一块重770克的金银合金,放在水里称是720克,这块合金含金、银各多少克?
2.某中学去年共招新生475人,今年共招新生640人,其中初中招的新生比去年增加48%,高中招的新生比去年增加20%,今年初、高中各招收新生多少人?
3.袋子里原有红球和黄球共119个。将红球增加3/8,黄球减少2/5后,红球与黄球的总数变为121个。原来袋子里有红球和黄球各多少个?
假设法解题(二)
一、知识要点
已知甲是乙的几分之几,又知甲与乙各改变一定的数量后两者之间新的倍数关系,要求甲、乙两个数是多少,这样的应用题称为变倍问题。
应用题中的变倍问题,有两数同增、两数同减、一增一减等各种情况。虽然其中的数量关系比较复杂,但解答时的关键仍是确定哪个量为单位“1”,然后通过假设,找出变化前后的相差数相当于单位“1”的几分之几,从而求出单位“1”的量,其他要求的量就迎刃而解了。
二、精讲精练
【例题1】两根铁丝,第一根长度是第二根的3倍,两根各用去6米,第一根剩下的长度是第二根剩下的长度的5倍,第二根原来有多少米?
【思路导航】假设第一根用去6×3=18米,那么第一根剩下的长度仍是第二根剩下长度的3倍,而事实上第一根比假设的少用去(6×3-6)=12米,也就多剩下第二根剩下的长度的(5-3)=2倍。
(6×3-3)÷(5-3)+6=12(米)
答:第二根原来有12米。
练习1:
1.丁晓原有书的本数是陈阳的5倍,若两人同时各借出5本给其他同学,则丁晓书的本数是陈阳的10倍,两人原来各有书多少本?
2.在植树劳动中,光明中学植树的棵数是光明小学的3倍,如果中学增加450棵,小学增加400棵,则中学是小学的2倍。求中、小学原来各植树多少棵?
3.两堆煤,第一堆是第二堆的2倍,第一堆用去8吨,第二堆用去11吨,第一堆剩下的重量是第二堆的4倍。求第二堆煤原来是多少吨?
【例题2】王明平时积蓄下来的零花钱比陈刚的3倍多6.40元,若两个人各买了一本4.40元的故事书后,王明的钱就是陈刚的8倍,陈刚原来有零花钱多少元?
【思路导航】假设仍然保持王明的钱比陈刚的3倍多6.40元,则王明要相应地花去4.40×3 =13.20元,但王明只花去了4.40元,比13.20元少13.20-4.40=8.80元,那么王明买书后的钱比陈刚买书后的钱的.3倍多6.40+8.80=15.20元,而题中已告诉:买书后王明的钱是陈刚的8倍,所以,15.20元就对应着陈刚花钱后剩下钱的8-3=5倍。
【6.40+(4.40×3-4.40】÷(8-3)+4.40=7.44(元)
答:陈刚原来有零花钱7.44元。
练习2:
1.甲书架上的书比乙书架上的3倍多50本,若甲、乙两个书架上各增加150本,则甲书架上的书是乙书架上的2倍,甲、乙两个书架原来各有多少本书?
2.上学年,马村中学的学生比牛庄小学的学生的2倍多54人,本学年马村中学增加了20人,牛庄小学减少了8人,则马村中学的学生比牛庄小学的学生的4倍少26人,上学年马村中学和牛庄小学各有学生多少人?
3.箱子里有红、白两种玻璃球,红球比白球的3倍多2粒,每次从箱子里取出7粒白球和15粒红球,若干次后,箱子里剩下3粒白球和53粒红球,那么,箱子里白球原有多少粒?
【例题3】小红的彩笔枝数是小刚的1/2,两人各买5枝后,小红的彩笔枝数是小刚的2/3,两人原来各有彩笔多少枝?
【思路导航】假设小刚买了5枝后,小红的彩笔仍为小刚的1/2,则小红只需买(5×1/2)=2又1/2枝,但实际上小红买了5枝,多买了5-2又1/2=2又1/2 枝。将小刚买了5枝后的枝数看作“1”,小红多买了2又1/2 ,相当于(2/3-1/2)=1/6。
小刚原来:(5-5×1/2)÷(2/3-1/2)-5=10(枝)
小红原来:10×1/2=5(枝)
答:小刚原来有彩笔10枝,小红原来有彩笔5枝。
练习3:
1.小华今年的年龄是爸爸年龄的1/6,四年后小华的年龄是爸爸的1/4,求小华和爸爸今年的年龄各是多少岁?
2.小红今年的年龄是妈妈的3/8,10年后小红的年龄是妈妈的1/2,小红今年多少岁?
3.甲书架上的书是乙书架上的5/7,甲、乙两个书架上各增加90本后,甲书架上的书是乙书架上的4/5,甲、乙两各书架原来各有多少本书?
【例题4】王芳原有的图书本数是李卫的4/5,两人各捐给“希望工程”10本后,则王芳的图书的本数是李卫的7/10,两人原来各有图书多少本?
【思路导航】假设李卫捐了10本后,王芳的图书仍是李卫的4/5,则王芳只需捐10×4/5=8本,实际王芳捐了10本,多捐了10-8=2本,将李卫捐书后剩下的图书看作“1”,着2本书相当于4/5-7/10=1/10。
(10-10×4/5)÷(4/5-710)=30(本)
30×4/5=24(本)
答:李卫原有图书30本,王芳原有图书24本。
练习4:
1.甲书架上的书是乙书架上的4/5,从这两个书架上各借出112本后,甲书架上的书是乙书架上的4/7,原来甲、乙两个书架上各有多少本书?
2.小明今年的年龄是爸爸的6/11,10年前小明的年龄是爸爸的4/9,小明和爸爸今年各多少岁?
3.甲车间的工人是乙车间的1/4,从甲、乙两个车间各抽出30人后,甲车间的工人只占乙车间的1/6,甲、乙两个车间原来各有多少名工人?
【例题5】某校六年级男生人数是女生的23,后来转进2名男生,转走3名女生,这时男生人数是女生的3/4,现在男、女生各有多少人?
【思路导航】假设转走3名女生后,男生人数仍是女生的2/3,则男生应转走3×2/3=2人,实际上男生却转进2人,与应转走2人相差2+2=4人。将转走3名女生后的女生人数看作“1”,则相差的4人相当于现在女生的3/4-2/3。
(2+3×2/3)÷(3/4-2/3)=48(人)
48×3/4=36(人)
答:现在男生有36人,女生有48人。
练习5:
1.甲车间的工人是乙车间的2/5,后来甲车间增加20人,乙车间减少35人,这样甲车间的人数是乙车间的7/9,现在甲、乙两个车间各有多少人?
2.有一堆棋子,黑子是白子的2/3,现在取走12粒黑子,添上18粒白子后,黑子是白子的5/12,现在白子、黑子各有多少粒?
3.爱华小学和曙光小学的同学参加小学数学竞赛,去年的比赛中,爱华小学得一等奖的人数是曙光小学的2.5倍。今年的比赛中,爱华小学得一等奖的人数减少了1人,曙光小学增加了6人,这时曙光小学得一等奖的人数是爱华小学的2倍。两校去年的一等奖的同学各有多少人?