- 南yi
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设是一数列,如果存在常数a,当n无限增大时,an无限接近(或趋近)于a,则称数列收敛,a称为数列的极限,或称数列收敛于a,记为liman=a。或:an→a,当n→∞。
证明:
an=Sn-Sn-1
an=a/(1-a)*(1-an)-a/(1-a)*(1-an-1)
两边同乘(1-a)
(1-a)an=a(1-an)-a(1-an-1)
an-a*an=a-a*an-a+a*an-1
an=a*an-1
an:an-1=a
由于常数a!=1,所以{an}是等比数列。
函数
在其整个定义域内可能有许多极 大值或极小值,而且某个极大值不 一定大于某个极小值。函数的极值 通过其一阶和二阶导数来确定。对于一元可微函数f (x),它在某点x0有极值的充分必要条件是f(x)在x0的某邻域上一阶可导,在x0处二阶可导,且f"(X0)=0,f"(x0)≠0,那么:
1、若f"(x0)<0,则f在x0取得极大值;
2、若f"(x0)>0,则f在x0取得极小值。
以上内容参考:百度百科-极值
- 苏萦
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下面的回答来自http://baike.b***.com/view/17644.htm
在高等数学中,极限是一个重要的概念。
极限可分为数列极限和函数极限,分别定义如下。
首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆,在只知道直边形的面积计算方法的情况下,要计算其面积。为此,他先作圆的内接正六边形,其面积记为A1,再作内接正十二边形,其面积记为A2,内接二十四边形的面积记为A3,如此将边数加倍,当n无限增大时,An无限接近于圆面积,他计算到3072=6*2的9次方边形,利用不等式An+1<A<An+2[(An+1)-An] (n=1,2,3....)得到圆周率=3927/1250约等于3.1416
数列极限:
设是一数列,如果存在常数a,当n无限增大时,an无限接近(或趋近)于a,则称数列收敛,a称为数列的极限,或称数列收敛于a,记为liman=a。或:an→a,当n→∞。
数列极限的性质:
1.唯一性:若数列的极限存在,则极限值是唯一的;
2.改变数列的有限项,不改变数列的极限。
几个常用数列的极限:
an=c 常数列 极限为c
an=1/n 极限为0
an=x^n 绝对值x小于1 极限为0
函数极限的专业定义:
设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数δ ,使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时,对应的函数值f(x)都满足不等式:
|f(x)-A|<ε
那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。
函数极限的通俗定义:
1、设函数y=f(x)在(a,+∞)内有定义,如果当x→+∽时,函数f(x)无限接近一个确定的常数A,则称A为当x趋于+∞时函数f(x)的极限。记作lim f(x)=A ,x→+∞。
2、设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义,当x无限趋近a时(记作x→a),函数值无限接近一个确定的常数A,则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限。记作lim f(x)=A ,x→a。
函数的左右极限:
1:如果当x从点x=x0的左侧(即x〈x0)无限趋近于x0时,函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限,记作x→x0-limf(x)=a.
2:如果当x从点x=x0右侧(即x>x0)无限趋近于点x0时,函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限,记作x→x0+limf(x)=a.
注:若一个函数在x(0)上的左右极限不同则此函数在x(0)上不存在极限
函数极限的性质:
极限的运算法则(或称有关公式):
lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)
lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)
lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)
lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) ( limg(x)不等于0 )
lim(f(x))^n=(limf(x))^n
以上limf(x) limg(x)都存在时才成立
lim(1+1/x)^x =e
x→∞
lim(1+1/x)^x =e
x→0
无穷大与无穷小:
一个数列(极限)无限趋近于0,它就是一个无穷小数列(极限)。
无穷大数列和无穷小数列成倒数。
两个重要极限:
1、lim sin(x)/x =1 ,x→0
2、lim (1 + 1/x)^x =e ,x→0 (e≈2.7182818...,无理数)
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举两个例子说明一下
一、0.999999……=1?
谁都知道1/3=0.333333……,而两边同时乘以3就得到1=0.999999……,可就是看着别扭,因为左边是一个“有限”的数,右边是“无限”的数。
二、“无理数”算是什么数?
我们知道,形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的,它的每一位都只有在不停计算之后才能确定,且无穷无尽,这种没完没了的数,大大违背人们的思维习惯。
结合上面的一些困难,人们迫切需要一种思想方法,来界定和研究这种“没完没了”的数,这就产生了数列极限的思想。
类似的根源还在物理中(实际上,从科学发展的历程来看,哲学才是真正的发展动力,但物理起到了无比推动作用),比如瞬时速度的问题。我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示,若时间差趋于零,则此比值就是某时刻的瞬时速度,这就产生了一个问题:趋于无限小的时间差与位移差求比值,就是0÷0,这有意义吗(这个意义是指“分析”意义,因为几何意义颇为直观,就是该点切线斜率)?这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释,极限的思想呼之欲出。
真正现代意义上的极限定义,一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的,他当时是一位中学数学教师,这对我们今天中学教师界而言,不能不说是意味深长的。
几个常用数列的极限
an=c 常数列 极限为c
an=1/n 极限为0
an=x^n 绝对值x小于1 极限为0
- S笔记
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证明:
①
an = Sn - Sn-1
an = a/(1-a) * (1 - an ) - a/(1-a) * (1 - an-1)
两边同乘(1-a)
(1-a) an = a(1 - an ) - a(1 - an-1)
an - a * an = a - a * an - a + a * an-1
an = a * an-1
an:an-1=a
由于常数 a != 1,所以{an}是等比数列。
②
bn=an lg an
根据第一题的证明可知bn是:
(a lg a)、(a^2 lg a^2)...(a^n lg a^n)
根据题意:对于任何正整数n具有bn>=bm
所以:
(a^n lg a^n ) >= a^m lg a^m
即:
n*a^n log a >= m*a^m log a
由于log a = log √7/3 < 0
所以:
n a^n <= m a^m
由于a<1,所以 m<=n
所以:m只能取1
结论数m=1
(顺便提醒一下,原题a=-√7/3 应该是笔误吧,应该是+√7/3)