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第08讲 计数问题第02讲 加法原理与乘法原理
1、如果两个四位数的差等于8921，那么就说这两个四位数组成一个数对，问这样的数对共有多少个？
分析：从两个极端来考虑这个问题： 为9999-1078=8921，最小为9921-1000=8921， 所以共有9999-9921+1=79个，或1078-1000+1=79个
2、一本书从第1页开始编排页码，共用数字2355个，那么这本书共有多少页？
分析：按数位分类： 一位数：1～9共用数字1*9=9个； 二位数：10～99共用数字2*90=180个；
三位数：100～999共用数字3*900=2700个， 所以所求页数不超过999页， 三位数共有：2355-9-180=2166，2166÷3=722个， 所以本书有722+99=821页。
3、上、下两册书的页码共有687个数字，且上册比下册多5页，问上册有多少页？
分析：一位数有9个数位，二位数有180个数位，所以上、下均过三位数， 利用和差问题解决：和为687，差为3*5=15，大数为：（687+15）÷2=351个 （351- 189）÷3=54，54+99=153页。
4、从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中，任取5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积。
分析：从整体考虑分两组和不变：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 从极端考虑分成最小和的两组为（1+2+3+4+5）+（6+7+8+9+10）=15+40=55 最接近的两组为27+28 所以共有27-15+1=13个不同的积。
另从15到27的任意一数是可以组合的。
5、将所有自然数，自1开始依次写下去得到：12345678910111213……，试确定第206788个位置上出现的数字。
分析：与前面的题目相似，同一个知识点： 一位数9个位置，二位数180个位置，三位数2700个位置，四位数36000个位置， 还剩：206788-9-180-2700-36000=167899，167899÷5=33579……4 所以答案为33579+100=33679的第4个数字7.
6、用1分、2分、5分的硬币凑成1元，共有多少种不同的凑法？
分析：分类再相加：只有一种硬币的组合有3种方法；1分和2分的组合：其中2分的从1枚到49枚均可，有49种方法；1分和5分的组合：其中5分的从1枚到19枚均可，有19种方法；2分和5分的组合：其中5分的有2、4、6、……、18共9种方法；1、2、5分的组合：因为5=1+2*2，10=2*5，15=1+2*7，20=2*10，……，95=1+2*47，共有2+4+7+9+12+14+17+19+22+24+27+29+32+34+37+39+42+44+47=461种方法，共有3+49+19+9+461=541种方法。
7、在图中，从“华”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“华罗庚学校”。那么共有多少种不同的读法？
分析：按最短路线方法，给每个字标上数字即可，最后求和。 所以共有1+4+6+4+1=16种不同的读法。
8、在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数共有多少个？
分析：十位是9的有9个，十位是8的有8个，……十位是1的有1个，共有：
1+2+3+……+9=45个。 或是在给定的两位数中，总是在9876543210中，所以有C(10、2)=45个。
9、按图中箭头所示的方向行走，从A点走到B点的不同路线共有多少条？
分析：同样用上题的方法，标上数字，有55条。
10、用红蓝两色来涂图中的小圆圈，要求关于中间那条竖线对称，问共有多少种不同的涂法？
分析：按题意可知，1、4对称，2、3对称，这样1、2、A、B、C、D、E均有两种选择，
2×2×2×2×2×2×2=128种。
11、如图，把A、B、C、D、E这五个部分用4种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色，那么，这幅图共有多少种不同的着色方法？
分析： C－A－B－D－E，根据乘法原理有： 4×3×2×2×2=96种。
12、如图是一个中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方法？
分析：根据乘法原理，第一个棋子有90种放法，第二个棋子有72种放法，共有： 90×72=6480种。
此主题相关图片如下：
13、在图中所示的阶梯形方格表的格子中放入5枚棋子，使得每行每列都只有1枚棋子，那么这样的放法有多少种？
分析：对于第1列必有1枚棋子，这有上下两行选择， 对于第2列必有1枚棋子，这有除第1枚外的两行选择， …… 对于第5枚棋子，只有选择， 所以共有2×2×2×2×1=16种。
此主题相关图片如下：
14、有一种用六位数表示日期的方法是：从左到右的第一、第二位数表示年，第三、第四位数表示月，第五、第六位数表示日，例如890817表示1989年8月17日。如果用这种方法表示1991年的日期，那么全年中有6个数都不同的日期共有多少天？
分析：因为有91，所以1、9、10、11、12不能出现，实际上9102XX也是不行的， 在剩下的6个月中，每个月都有5天，共5*6=30天， 例如：三月份：910324，910325，910326，910327，910328。
15、如果一个四位数与三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由7个不同数字组成的，那么这样的四位数最多有多少个？
分析：按题意给出这样一个算式： 由于1已定，相应的8也就不能用， 对于D来说，有2、3、4、5、6、7、9共7种选择，每一种选择都有相应的A, 对于E来说，在剩下的数中有6种选择，每一种选择都有相应的B,
对于F来说，在剩下的数中有4种选择，每一种选择都有相应的C, 根据乘法原理，共有7×6×4=168种。
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