- meira
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当三角形DEF在三角形ABC内时,结论成立;
当三角形DEF在三角形ABC外时,S三角形DEF-S三角形CEF=1/2S三角形ABC。若理解为三角形CEF三角形ABC外时,面积为负,则结论成立。
证明:
1.当E在AC上时
过D做AC、BC的垂线交AC、BC于E"、F"
因为AC垂直BC
所以E"D垂直F"D,F"D平行AC,E"D平行BC
因为D为AB边的中点,
所以E"为AC边的中点,F"为BC边的中点
因为AC=BC
所以CE"=CF"=1/2AC=1/2BC
所以四边形E"CF"D为正方形,S正方形E"CF"D=1/2S三角形ABC
角EDF"=角EDF+角FDF"=角E"DF"+角EDE"
角EDF=角E"DF"90度
所以角FDF"=角EDE"
因为E"CF"D为正方形
所以DE"=DF"
所以三角形EDE"与三角形FDF"为全等三角形
S三角形DEF+S三角形CEF=S正方形E"CF"D+S三角形EDE"-S三角形FDF"=S正方形E"CF"D=1/2S三角形ABC
2.当E在AC延长线上时
过D做AC、BC的垂线交AC、BC于E"、F"
四边形E"CF"D为正方形,S正方形E"CF"D=1/2S三角形ABC(证明同上)
角EDF"=角EDF+角FDF"=角E"DF"+角EDE"
角EDF=角E"DF"90度
所以角FDF"=角EDE"
因为E"CF"D为正方形
所以DE"=DF"
所以三角形EDE"与三角形FDF"为全等三角形
设DF与AC的交点为G,过A做AC的垂线交DE于H
因为E"为AC中点,且CE"=CF"
所以AE"=CE"=CF"
因为AH垂直AC
所以AH平行E"D
因为CG平行DF"
所以三角形FCG全等于三角形EAH,梯形CGDF"全等于梯形AHDE"
S三角形DEF-S三角形CEF+S三角形FCG=S三角形EDG
所以S三角形DEF-S三角形CEF=S三角形EDG-S三角形FCG=S三角形EDG-S三角形EAH=S梯形AHDE"+S三角形DE"G=S梯形CGDF"+S三角形DE"G=S正方形E"CF"D=1/2S三角形ABC
- okok云
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解:图2成立;图3不成立
证明图2:
过点D作DM⊥AC,DN⊥BC
则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°
再证∠MDE=∠NDF,DM=DN
有△DME≌△DNF,∴S△DME=S△DNF
∴S四边形DMCN=S四边形DECF-S△DEF+S△CEF
由信息可知S四边形DMCN=1/2S△ABC
∴S△DEF+S△CEF=1/2S△ABC
图3不成立,S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是:S△DEF-S △CE=1/2S△ ABC
- 黑桃云
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