能为我讲讲芬氏几何起源发展

芬氏几何又叫芬斯勒几何。

1 历史沿革

1854年，黎曼著名演讲[1]发展了一类基于弧长元素ds=F(x1,…,xn,dx1，…，dxn)的度量几何（最初叫广义度量空间理论）.一个重要的特殊情形是F2(x,dx)=gij(x)dxidxj.由此确定的几何即是被后人命名的黎曼几何.黎曼在黎曼几何中引进了曲率概念，推广了高斯在二维曲面上的工作.对于一般的广义度量，黎曼给出了一个具体例子：

F(x,y)={(y1)4+…+(yn)4}1/4,y=dx.

黎曼断言基于这种广义度量的微分几何能够像黎曼几何一样得到发展，但他认为计算将非常复杂，因此很难对微分不变量赋予恰当的几何意义.最终黎曼只研究了具有二次型限制的度量，即黎曼度量.1900年，Hilbert在巴黎发表了关于23个数学问题的著名演讲，一般情形的广义度量空间理论包含在第23个问题“变分法”中.在随后的几年中，一些数学家从变分法的几何处理出发研究了广义度量.其中的主要代表人物就是G.Landsberg，他在1907年引入了后来被L.Berwald称为Landsberg曲率的几何量，这是芬斯勒几何中的第一个非黎曼几何量.

1918年，芬斯勒（Paul Finsler,1894-1970）在哥延根大学完成了他的博士论文.在论文中，芬斯勒研究了广义度量，引入了所谓的基本张量gij(x,y)=(2F2/yiyi)/2,和C-张量（我们现在称为Cartan张量）

Cijk(x,y)=(gij/yk)/2.在黎曼几何情形，gij(x,y)正是基本张量gij(x).Cartan张量是非常重要的，因为它刻划了一个芬斯勒流形偏离黎曼流形的程度.事实上，一分芬斯勒度量是黎曼度量的充分必要条件是Cartan张量恒为零.1927年，J.H.Taylor将广义度量空间的几何称为芬斯勒几何（现在人们也称其为黎曼-芬斯勒几何）.

对芬斯勒几何真正作出重要贡献的第一位数学家应该是Ludwig Berwald（1883-1942），他是第一个在芬斯勒空间中引入联络并将黎曼几何中的黎曼曲率推广到芬斯勒几何中的数学家[2,3].Berwald联络满足无挠（torsionfree）条件但并不与度量相容.Berwald的贡献还在于：（1）利用Berwald联络刻划了Landsberg曲率，定义了Landsberg空间[3].（2）引入了一类重要的、他称之为仿射连通空间的芬斯勒空间（1925年）（1938年，V.V.Wagner命名这类空间为Berwald空间）.黎曼空间和局部Minkowski空间均是特殊的Berwald空间.1981年，Szabó证明了：除黎曼空间和Minkowski空间外，恰好存在54类不可约和整体对称非黎曼Berwald空间，使得所有其它单连通和完备的Berwald空间都能整体地分解为上述56种空间的笛卡尔积[4].（3）研究和发展了二维芬斯勒空间理论（1927年，1941年）.（4）在他身后发表的论文（1947年）中，他定义和讨论了具有标量旗曲率和常数旗曲率的芬斯勒度量，开创了芬斯勒几何中的一个重要研究领域.

1933年，法国著名数学家Elie Cartan(1869-1951)发表了他的第一篇关于芬斯勒几何的论文，主题是关于芬斯勒度量的共形变换的若干注记，同时预告了他的确定一个芬斯勒空间联络的公理系统.1934年，Cartan发表了他关于芬斯勒几何的著名论文[5]，详细介绍了他的确定芬斯勒空间联络（我们称之为Cartan联络）的公理系统.Cartan引入了线性元（line element）空间（即射影化切丛PTM)概念，将他的欧氏联络理论推广到了芬斯勒空间.Cartan联络不满足无挠条件，但与芬斯勒度量是相容的.Cartan联络与Berwald联络及其相应的各类曲率张量对后来的芬斯勒几何研究产生了重要影响，并促进了芬斯勒几何在物理学、生物（态）学等领域中的应用研究.1941年，G.Randers从广义相对论的研究中引出了一个形如F(x,y)=α(x,y)+β(x,y)的芬斯勒度量，其中α(x,y)为一个黎曼度量，代表引力场；β(x,y)=bi(x)yi为一个1-形式，代表电磁场.Randers度量在电子显微镜及统一场论等领域的研究中有重要应用，在芬斯勒几何的研究中也扮演了一个非常重要的角色.

对任意芬斯勒流形（M，F）在PTM上有一个整体定义的微分形式ω:=Fyidxi,称为Hilbert形式.（M，F）上曲线的长度恰由ω的积分给出.1943年，数学大师陈省身教授从Hilbert形式的外微分出发研究了芬斯勒空间中的欧氏联络，构造了我们现在称之为Chern联络的一类重要联络[6].Chern联络满足无挠条件且与度量几乎相容，这也使得它在芬斯勒几何的研究中具有独到的优势.1948年，陈省身教授解决了芬斯勒流形的局部等价性问题：怎样才能确定两个已知的芬斯勒度量结构只差一个坐标变换？这一问题的解决再次涉及到了芬斯勒空间中的欧氏联络及其曲率[7].利用Chern联络，人们已将黎曼几何中的许多重要定理推广到了芬斯勒空间，并从其结构方程出发得到了许多芬斯勒流形的非黎曼几何性质（如见[8]）.

在二十世纪五十年代至六十年代初，有两位数学家是值得一提的.一位是Herbert Busemann，他研究和讨论了芬斯勒空间的体积形式，为人们研究芬斯勒空间的体积比较定理、探讨芬斯勒流形的整体性质奠定了基础；他还强调了研究Minkowski何的重要性，扩展了人们对芬斯勒空间的认识.另一位是南非数学家Hanno Rund，他是这一时期在芬斯勒几何领域的一位代表人物.H.Rund的著作[9]曾激励了许多年轻数学家开始研究芬斯勒几何.在这一时期还崛起了两个重要的芬斯勒几何研究群体：以Berwald的学生O.Varga为代表的匈牙利研究群体和以T.Okada及M.Matsumoto为代表的日本研究群体，他们的研究工作对后来芬斯勒几何的发展产生了深刻影响.

当我们在回顾芬斯勒几何的发展历程时，也应该注意到这样一个事实：自芬斯勒几何在1918年诞生之后的近七十年间，芬斯勒几何没有得到像黎曼几何那样的繁荣和普及，许多重要内容并未得到人们的重视.一个主要原因是由于计算的相对复杂性，一个简单的公式往往会随着计算的深入很快变得非常复杂，客观上制约了芬斯勒几何的发展.另一个主要的原因是，当时的许多几何学家只是把芬斯勒空间片面地看作黎曼空间的推广而仅仅致力于将黎曼几何中的结果推广到芬斯勒几何，却对芬斯勒几何中的非黎曼几何量（即那些在黎曼流形上为零的几何量）认识不足，忽略了对芬斯勒几何中那些与黎曼几何不同的性质和结构的研究.幸运的是这种状况从上世纪九十年代初开始有了根本的变化.这首先要感谢数学大师陈省身先生的大力倡导和鼓励.凭着对芬斯勒几何的深刻理解和洞察力，陈先生与美籍华人数学家沈忠民及D.Bao等人在这一时期发表了一系列重要成果（如见[8,10]），将芬斯勒几何带入了一个真正繁荣的时期.同时，我们已处在一个科技时代，运用计算机进行符号计算和大规模计算已成为现实，这极大地促进了对芬斯勒几何的研究.如人们已构造出大量具有重要曲率性质的芬斯勒度量，为对芬斯勒度量进行深入研究提供了重要启示和支撑.近年来，芬斯勒几何得到快速而长足的发展.芬斯勒几何中的各种曲率（黎曼几何量与非黎曼几何量）已得到广泛关注和研究，它们对芬斯勒空间结构的影响也越来越为人们所理解（如见[11]）.与此同时，芬斯勒几何的理论与方法在数学及其它众多自然科学领域中的应用价值也日益突出（如见[12,13]）.芬斯勒几何已显现出充满勃勃生机的发展势头.

2 芬斯勒几何的若干重要进展

芬斯勒几何中的旗曲率（flag curvature）是黎曼几何中截面曲率的自然拓广.给定流形M上的一个芬斯勒度量F，旗曲率是切平面P和P中方向y的函数K=K(P，y).如果旗曲率只是切丛TM{0}上的标量函数K=K(x,y)，我们称F具有标量旗曲率（scalar flag curvagure）.特别地，若K=常数，我们称F具有常数旗曲率.芬斯勒几何中的一个重要问题是研究和刻划具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒度量，这也是芬斯勒几何学家十分关注的一个热点问题.芬斯勒几何中与此相关的另一重要问题是研究和刻划射影平坦芬斯勒度量，这是正则情形下的Hilbert第四问题.一个重要的基本事实是：射影平坦芬斯勒度量必然具有标量旗曲率.在黎曼几何情形，Beltrami证明了：一个黎曼度量是射影平坦的充分必要条件是它具有常曲率.然而，我们可以找到无穷多个具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒度量，它们是非射影平坦的.人们也已找到了许多具有标量旗曲率的芬斯勒度量，它们的旗曲率不是常数.这表明刻划和分类具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒度量的工作远比黎曼几何情形复杂，其内容也比黎曼几何情形要丰富得多.由于计算的相对复杂性，对特殊情形的研究和例子在芬斯勒几何中是非常重要的.芬斯勒几何学家首先对Randers度量作了大量深入研究.2003年，美籍华人数学家沈忠民（Z.Shen）首先完成了对射影平坦且具有常数旗曲率的Randers度量的分类；然后，他又分别利用Taylor展开式和代数方程刻划了射影平坦且具有常数旗曲率的芬斯勒度量的局部度量结构；在此基础上，沈忠民与D.Bao等人运用黎曼流形上的Zermelo导航术完成了对具有常数旗曲率的Randers度量的分类（见[11]）.日本数学家M.Matsumoto等人也对具有常数旗曲率的Randers度量的分类作了大量工作（如见[13]）.进一步，人们研究了一类比Randers度量更一般化且在生物（态）学、物理学等领域中有重要背景的芬斯勒度量——（α,β）-度量．（α,β）-度量是一类非常丰富的可计算的芬斯勒度量，它们在芬斯勒几何中扮演了一个非常重要的角色.近年来，人们之所以能对芬斯勒几何中的各种曲率展开研究并能更好地理解其几何意义，这要部分地归功于对（α,β）-度量的研究.人们目前已完全确定了某些重要而特殊的射影平坦且具有常数旗曲率的（α,β）-度量的局部结构，为确定一般的射影平坦且具有常数旗曲率的芬斯勒度量的局部结构提供了有力支撑，也丰富了这一领域的研究内容.

在芬斯勒几何中存在若干重要的几何量（如（平均）Cartan张量、S曲率、（平均）Landsberg曲率、（平均）Berwald曲率等），它们在黎曼空间中是等于零的，因而被称为非黎曼几何量.我们说，黎曼几何量（如旗曲率，Ricci曲率等）刻划空间的形状，而非黎曼几何量则描述空间的“色彩”.已有的研究表明：芬斯勒度量的旗曲率与非黎曼几何量有密切联系.因此，在研究具有标量（常数）曲率的芬斯勒度量的结构和性质的时候，人们自然地要考虑度量所满足的某种非黎曼曲率（几何量）性质.华人数学家在这一领域的研究中得到了一系列重要结果：刻划了具有标量旗曲率且具有迷向S曲率的芬斯勒度量的旗曲率，并首先完成了对局部射影平坦且具有迷向S曲率的Randers度量的分类；更一般地，运用Zermelo导航术思想，完成了对具有标量旗曲率且具有迷向S曲率的Randers度量的分类；进而又完成了对局部射影平坦且具有迷向S曲率的芬斯勒度量的分类.人们也对具有其它非黎曼曲率性质（如具有相对迷向的（平均）Landsberg曲率）的芬斯勒度量作了大量研究，得到了一系列富有意义的成果.有关这方面的工作可参见[11,14,15].这一方向的研究正方兴未艾，对深入研究具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒度量的结构和性质有重要意义，对揭示这类度量的神秘面纱必将产生深远的影响.

芬斯勒几何学家在刻划芬斯勒度量局部结构方面取得的成果为研究芬斯勒度量的整体性质奠定了重要基础，为对芬斯勒度量作整体分析提供了大量例子.近十几年来，芬斯勒几何学家对芬斯勒度量的整体性质作了大量研究，并取得了一系列重要结果（参见[8,16,17]）.如关于常旗曲率芬斯勒空间的整体结构，法国籍伊朗裔数学家AkbarZadeh证明了：在紧致流形上，任何具有负常数旗曲率的芬斯勒度量一定是黎曼度量，任何旗曲率为0的芬斯勒度量一定是局部Minkowski度量.进一步，莫小欢与沈忠民证明了：在维数大于2的紧致芬斯勒流形上，若芬斯勒度量具有标量旗曲率且其旗曲率是负的，则芬斯勒度量一定是Randers度量[18]（这也说明了研究Randers度量的重要性）.另一方面，作为研究芬斯勒度量整体性质的重要基础，人们对芬斯勒几何中若干重要的比较定理作了深入研究.我们知道，在黎曼几何中，BishopGromov体积比较定理在黎曼流形的整体微分几何中扮演了一个非常重要的角色.1997年，沈忠民引入了S-曲率（即mean covariation）,建立了一个关于芬斯勒度量的体积比较定理，将黎曼几何中的BishopGromov体积比较定理推广到了芬斯勒流形，并得到了若干关于芬斯勒流形的准紧性（percompactness）和有限性（finiteness）定理.他还进一步研究了S曲率为0的完备芬斯勒流形的共轭半径的重要性质.另一方面，相对于芬斯勒度量的局部性质而言，目前人们对芬斯勒度量整体性质的研究仍远远不够，对芬斯勒度量整体性质的认识还不够丰富.可以肯定，芬斯勒度量的整体性质必将是几何学家们的新的研究热点.

芬斯勒子流形几何是芬斯勒几何的重要组成部分，是芬斯勒几何学家长期关注的重点之一.人们一直在努力探求芬斯勒子流形的局部与整体结果，进而促使人们更好地理解芬斯勒流形的结构与性质，并已取得了一些重要成果.如沈忠民于1998年引入了芬斯勒子流形的平均曲率与法曲率概念，得到了关于Minkowski空间中子流形的若干的整体结果，并以n维欧氏空间为底流形构造出了一个芬斯勒度量，使得相应的芬斯勒流形不可能等距地嵌入到任何Minkowski空间中.同时，人们对Minkowski空间中子流形的若干其它重要问题也开展了卓有成效的研究工作.但就总体而言，对芬斯勒子流形几何的研究并没有与黎曼子流形几何同步，还有很多重要问题未得到应有的重视和研究，有待几何学家去探索和耕耘.

近几年来，中国数学家也在研究芬斯勒流形的调和映照方面取得了若干重要进展.同时，来自芬斯勒几何的整体（通常是非线性的）分析问题也在挑战着从事几何分析的数学家们.

3 展望

由于芬斯勒几何中相对复杂的计算，刻划具有标量旗曲率的芬斯勒度量的工作还远未彻底完成，很多具有标量旗曲率的芬斯勒度量的分类工作还没有做.即使对具有常数旗曲率的芬斯勒度量，人们也远未完成其分类的工作.因此，研究和刻划具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒度量的性质和结构仍然是芬斯勒几何发展中的一个重点.根据目前芬斯勒几何的发展趋势可以预计，人们将在不久的将来构造出更多的满足一定曲率条件的芬斯勒度量的例子，并完成对某些具有重要应用背景且具有特殊曲率性质的（α，β）-度量的分类.在此基础上，人们将逐步完成对具有标量旗曲率且具有某些特殊曲率性质的芬斯勒度量的分类，具有标量旗曲率的芬斯勒度量的神秘面纱将逐渐被人们揭开.

芬斯勒度量的整体几何与拓扑性质将是芬斯勒几何的另一个研究热点.这一方向的研究包括：进一步揭示非黎曼几何量对芬斯勒度量整体结构和旗曲率的影响，深入研究具有标量旗曲率的芬斯勒度量的整体结构，对芬斯勒度量作整体分析并研究芬斯勒度量的刚性，探究Ricci曲率与芬斯勒流形拓扑的关系，特别是研究和揭示Einstein度量空间的拓扑结构等.目前人们已知的芬斯勒度量的局部性质及大量具有重要价值的例子将为这一领域的研究提供强有力的支撑.我们可以期待在这一领域会有一系列重要进展.

芬斯勒子流形几何对丰富芬斯勒几何理论富有重要价值.这一领域的研究内容是令人向往的.如关于黎曼流形的切丛与单位切球丛的几何及黎曼流形上的极小或调和单位向量场已被广泛研究和讨论，并且仍是前沿研究的一个热点之一.但在芬斯勒几何情形，相应的内容还没有得到足够的重视，相关结果还很少.因此，芬斯勒几何学家将在未来的研究工作中深入研究芬斯勒流形的切丛与单切球丛的几何，并深入研究芬斯勒流形上的极小或调和单位向量场，探讨极小子流形与调和映照的联系以及它们的几何变分特征，在一定的曲率条件下讨论调和映照的稳定性.这些内容都是十分重要和有趣的课题.

当然，要对芬斯勒几何的未来作出一个准确、全面的预测是非常困难的.这里，我们不妨借用陈省身先生的一个观点来结束本文：“整体黎曼几何在二十世纪后半叶得到了巨大的发展.我相信，在二十一世纪，微分几何的主要部分应是黎曼-芬斯勒几何.”

参考文献

［1］B.Riemann,Uber die Hypothesen,welche der Geometrie zugrund liegen,1854.English trandlation from M.Spivak,A Comprehensive Introduction to Differential Geometiy(second edition),vol.2,135-153,Publish or Perish,1979.

［2］L.Berwald,Untersuchung der Krümmung allgemeiner metrischer Rume auf Grund des in ihnen herrschenden Parallelismus,Math.Z.25(1926),40-73.

［3］L.Berwald,Parallelübertragung in allgemeinen Rumen,Atti Congr.Intern.Mat.Bologna 4(1928),263-270.

［4］Z.I.Szabó,Positive definite Berwald spaces,Tensor,N.S.,35(1981),25-39.

［5］E.Cartan,Les espaces de Finsler,Actualités 79,Paris,1934.

［6］S.S.Chern,On the Euclidean connections in a Finsler space, Proceedings of the National Academy of Sciences, 29(1)(1943),33-37.

［7］S.S.Chern,Local equivalence and euclidean connections in Finsler spaces, Science Reports Tsing Hua Univ.5(1948),95-121.

［8］D.Bao,S.S.Chern and Z.Shen,An introduction to Riemann-Finsler geometry, pringer, Graduate Texts in Mathematics 200,2000.

［9］H.Rund,The differential geometry of Finsler spaces, Springer-Verlag,1959.

［10］Z.Shen,Differential geometry of spary and Finsler spaces,Kluwer Academic ublishers, 2001.

［11］S.S.Chern and Z.Shen,Riemann-Finsler Geometry, Nankai Tracts in Mathematics, World Scientific,2005.

［12］Y.Y.Li and L.Nirenburg,The dustance function to the boundary, Finsler geometry and the singular set of viscosity solutions of some Hamilton-Jacobi equations, Comm.Pure Appl.Math.58(2005),85-146.

［13］P.L.Antonelli,R.S.Ingarden and M.Matsumoto,The theory of sprays and Finsler spaces with applications in physics and biology, Kluwer AcademicPublishers,1993.

［14］Xinyue Cheng, Xiaohuan Mo and Zhongmin Shen,On the flag curvature of Finsler metrics of scalar Curvature, J.London Math.Soc.68(2)(2003),762-780.

［15］Xinyue Cheng and Z.Shen,Randers metrics with special cruvature properties,Osaka J.of Mathematics, 40(2003),87—101.

［16］P.Foulon,Curvature and global rigidity in Finsler geometry, Houston J.Math.28(2002),263-292.

［17］Z.Shen.Lectures on Finsler geometry,Worl Scientific Publishers,2001.

［18］Mo Xianhuan and Z.Shen,On negatively curved Finsler manifolds of scalar curvature, Canadian Math. Bull.(to appear).

1 历史沿革

1854年，黎曼著名演讲[1]发展了一类基于弧长元素ds=F(x1,…,xn,dx1，…，dxn)的度量几何（最初叫广义度量空间理论）.一个重要的特殊情形是F2(x,dx)=gij(x)dxidxj.由此确定的几何即是被后人命名的黎曼几何.黎曼在黎曼几何中引进了曲率概念，推广了高斯在二维曲面上的工作.对于一般的广义度量，黎曼给出了一个具体例子：

F(x,y)={(y1)4+…+(yn)4}1/4,y=dx.

黎曼断言基于这种广义度量的微分几何能够像黎曼几何一样得到发展，但他认为计算将非常复杂，因此很难对微分不变量赋予恰当的几何意义.最终黎曼只研究了具有二次型限制的度量，即黎曼度量.1900年，Hilbert在巴黎发表了关于23个数学问题的著名演讲，一般情形的广义度量空间理论包含在第23个问题“变分法”中.在随后的几年中，一些数学家从变分法的几何处理出发研究了广义度量.其中的主要代表人物就是G.Landsberg，他在1907年引入了后来被L.Berwald称为Landsberg曲率的几何量，这是芬斯勒几何中的第一个非黎曼几何量.

1918年，芬斯勒（Paul Finsler,1894-1970）在哥延根大学完成了他的博士论文.在论文中，芬斯勒研究了广义度量，引入了所谓的基本张量gij(x,y)=(2F2/yiyi)/2,和C-张量（我们现在称为Cartan张量）

Cijk(x,y)=(gij/yk)/2.在黎曼几何情形，gij(x,y)正是基本张量gij(x).Cartan张量是非常重要的，因为它刻划了一个芬斯勒流形偏离黎曼流形的程度.事实上，一分芬斯勒度量是黎曼度量的充分必要条件是Cartan张量恒为零.1927年，J.H.Taylor将广义度量空间的几何称为芬斯勒几何（现在人们也称其为黎曼-芬斯勒几何）.

对芬斯勒几何真正作出重要贡献的第一位数学家应该是Ludwig Berwald（1883-1942），他是第一个在芬斯勒空间中引入联络并将黎曼几何中的黎曼曲率推广到芬斯勒几何中的数学家[2,3].Berwald联络满足无挠（torsionfree）条件但并不与度量相容.Berwald的贡献还在于：（1）利用Berwald联络刻划了Landsberg曲率，定义了Landsberg空间[3].（2）引入了一类重要的、他称之为仿射连通空间的芬斯勒空间（1925年）（1938年，V.V.Wagner命名这类空间为Berwald空间）.黎曼空间和局部Minkowski空间均是特殊的Berwald空间.1981年，Szabó证明了：除黎曼空间和Minkowski空间外，恰好存在54类不可约和整体对称非黎曼Berwald空间，使得所有其它单连通和完备的Berwald空间都能整体地分解为上述56种空间的笛卡尔积[4].（3）研究和发展了二维芬斯勒空间理论（1927年，1941年）.（4）在他身后发表的论文（1947年）中，他定义和讨论了具有标量旗曲率和常数旗曲率的芬斯勒度量，开创了芬斯勒几何中的一个重要研究领域.

1933年，法国著名数学家Elie Cartan(1869-1951)发表了他的第一篇关于芬斯勒几何的论文，主题是关于芬斯勒度量的共形变换的若干注记，同时预告了他的确定一个芬斯勒空间联络的公理系统.1934年，Cartan发表了他关于芬斯勒几何的著名论文[5]，详细介绍了他的确定芬斯勒空间联络（我们称之为Cartan联络）的公理系统.Cartan引入了线性元（line element）空间（即射影化切丛PTM)概念，将他的欧氏联络理论推广到了芬斯勒空间.Cartan联络不满足无挠条件，但与芬斯勒度量是相容的.Cartan联络与Berwald联络及其相应的各类曲率张量对后来的芬斯勒几何研究产生了重要影响，并促进了芬斯勒几何在物理学、生物（态）学等领域中的应用研究.1941年，G.Randers从广义相对论的研究中引出了一个形如F(x,y)=α(x,y)+β(x,y)的芬斯勒度量，其中α(x,y)为一个黎曼度量，代表引力场；β(x,y)=bi(x)yi为一个1-形式，代表电磁场.Randers度量在电子显微镜及统一场论等领域的研究中有重要应用，在芬斯勒几何的研究中也扮演了一个非常重要的角色.

对任意芬斯勒流形（M，F）在PTM上有一个整体定义的微分形式ω:=Fyidxi,称为Hilbert形式.（M，F）上曲线的长度恰由ω的积分给出.1943年，数学大师陈省身教授从Hilbert形式的外微分出发研究了芬斯勒空间中的欧氏联络，构造了我们现在称之为Chern联络的一类重要联络[6].Chern联络满足无挠条件且与度量几乎相容，这也使得它在芬斯勒几何的研究中具有独到的优势.1948年，陈省身教授解决了芬斯勒流形的局部等价性问题：怎样才能确定两个已知的芬斯勒度量结构只差一个坐标变换？这一问题的解决再次涉及到了芬斯勒空间中的欧氏联络及其曲率[7].利用Chern联络，人们已将黎曼几何中的许多重要定理推广到了芬斯勒空间，并从其结构方程出发得到了许多芬斯勒流形的非黎曼几何性质（如见[8]）.

在二十世纪五十年代至六十年代初，有两位数学家是值得一提的.一位是Herbert Busemann，他研究和讨论了芬斯勒空间的体积形式，为人们研究芬斯勒空间的体积比较定理、探讨芬斯勒流形的整体性质奠定了基础；他还强调了研究Minkowski何的重要性，扩展了人们对芬斯勒空间的认识.另一位是南非数学家Hanno Rund，他是这一时期在芬斯勒几何领域的一位代表人物.H.Rund的著作[9]曾激励了许多年轻数学家开始研究芬斯勒几何.在这一时期还崛起了两个重要的芬斯勒几何研究群体：以Berwald的学生O.Varga为代表的匈牙利研究群体和以T.Okada及M.Matsumoto为代表的日本研究群体，他们的研究工作对后来芬斯勒几何的发展产生了深刻影响.

当我们在回顾芬斯勒几何的发展历程时，也应该注意到这样一个事实：自芬斯勒几何在1918年诞生之后的近七十年间，芬斯勒几何没有得到像黎曼几何那样的繁荣和普及，许多重要内容并未得到人们的重视.一个主要原因是由于计算的相对复杂性，一个简单的公式往往会随着计算的深入很快变得非常复杂，客观上制约了芬斯勒几何的发展.另一个主要的原因是，当时的许多几何学家只是把芬斯勒空间片面地看作黎曼空间的推广而仅仅致力于将黎曼几何中的结果推广到芬斯勒几何，却对芬斯勒几何中的非黎曼几何量（即那些在黎曼流形上为零的几何量）认识不足，忽略了对芬斯勒几何中那些与黎曼几何不同的性质和结构的研究.幸运的是这种状况从上世纪九十年代初开始有了根本的变化.这首先要感谢数学大师陈省身先生的大力倡导和鼓励.凭着对芬斯勒几何的深刻理解和洞察力，陈先生与美籍华人数学家沈忠民及D.Bao等人在这一时期发表了一系列重要成果（如见[8,10]），将芬斯勒几何带入了一个真正繁荣的时期.同时，我们已处在一个科技时代，运用计算机进行符号计算和大规模计算已成为现实，这极大地促进了对芬斯勒几何的研究.如人们已构造出大量具有重要曲率性质的芬斯勒度量，为对芬斯勒度量进行深入研究提供了重要启示和支撑.近年来，芬斯勒几何得到快速而长足的发展.芬斯勒几何中的各种曲率（黎曼几何量与非黎曼几何量）已得到广泛关注和研究，它们对芬斯勒空间结构的影响也越来越为人们所理解（如见[11]）.与此同时，芬斯勒几何的理论与方法在数学及其它众多自然科学领域中的应用价值也日益突出（如见[12,13]）.芬斯勒几何已显现出充满勃勃生机的发展势头.

2 芬斯勒几何的若干重要进展

芬斯勒几何中的旗曲率（flag curvature）是黎曼几何中截面曲率的自然拓广.给定流形M上的一个芬斯勒度量F，旗曲率是切平面P和P中方向y的函数K=K(P，y).如果旗曲率只是切丛TM{0}上的标量函数K=K(x,y)，我们称F具有标量旗曲率（scalar flag curvagure）.特别地，若K=常数，我们称F具有常数旗曲率.芬斯勒几何中的一个重要问题是研究和刻划具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒度量，这也是芬斯勒几何学家十分关注的一个热点问题.芬斯勒几何中与此相关的另一重要问题是研究和刻划射影平坦芬斯勒度量，这是正则情形下的Hilbert第四问题.一个重要的基本事实是：射影平坦芬斯勒度量必然具有标量旗曲率.在黎曼几何情形，Beltrami证明了：一个黎曼度量是射影平坦的充分必要条件是它具有常曲率.然而，我们可以找到无穷多个具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒度量，它们是非射影平坦的.人们也已找到了许多具有标量旗曲率的芬斯勒度量，它们的旗曲率不是常数.这表明刻划和分类具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒度量的工作远比黎曼几何情形复杂，其内容也比黎曼几何情形要丰富得多.由于计算的相对复杂性，对特殊情形的研究和例子在芬斯勒几何中是非常重要的.芬斯勒几何学家首先对Randers度量作了大量深入研究.2003年，美籍华人数学家沈忠民（Z.Shen）首先完成了对射影平坦且具有常数旗曲率的Randers度量的分类；然后，他又分别利用Taylor展开式和代数方程刻划了射影平坦且具有常数旗曲率的芬斯勒度量的局部度量结构；在此基础上，沈忠民与D.Bao等人运用黎曼流形上的Zermelo导航术完成了对具有常数旗曲率的Randers度量的分类（见[11]）.日本数学家M.Matsumoto等人也对具有常数旗曲率的Randers度量的分类作了大量工作（如见[13]）.进一步，人们研究了一类比Randers度量更一般化且在生物（态）学、物理学等领域中有重要背景的芬斯勒度量——（α,β）-度量．（α,β）-度量是一类非常丰富的可计算的芬斯勒度量，它们在芬斯勒几何中扮演了一个非常重要的角色.近年来，人们之所以能对芬斯勒几何中的各种曲率展开研究并能更好地理解其几何意义，这要部分地归功于对（α,β）-度量的研究.人们目前已完全确定了某些重要而特殊的射影平坦且具有常数旗曲率的（α,β）-度量的局部结构，为确定一般的射影平坦且具有常数旗曲率的芬斯勒度量的局部结构提供了有力支撑，也丰富了这一领域的研究内容.

在芬斯勒几何中存在若干重要的几何量（如（平均）Cartan张量、S曲率、（平均）Landsberg曲率、（平均）Berwald曲率等），它们在黎曼空间中是等于零的，因而被称为非黎曼几何量.我们说，黎曼几何量（如旗曲率，Ricci曲率等）刻划空间的形状，而非黎曼几何量则描述空间的“色彩”.已有的研究表明：芬斯勒度量的旗曲率与非黎曼几何量有密切联系.因此，在研究具有标量（常数）曲率的芬斯勒度量的结构和性质的时候，人们自然地要考虑度量所满足的某种非黎曼曲率（几何量）性质.华人数学家在这一领域的研究中得到了一系列重要结果：刻划了具有标量旗曲率且具有迷向S曲率的芬斯勒度量的旗曲率，并首先完成了对局部射影平坦且具有迷向S曲率的Randers度量的分类；更一般地，运用Zermelo导航术思想，完成了对具有标量旗曲率且具有迷向S曲率的Randers度量的分类；进而又完成了对局部射影平坦且具有迷向S曲率的芬斯勒度量的分类.人们也对具有其它非黎曼曲率性质（如具有相对迷向的（平均）Landsberg曲率）的芬斯勒度量作了大量研究，得到了一系列富有意义的成果.有关这方面的工作可参见[11,14,15].这一方向的研究正方兴未艾，对深入研究具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒度量的结构和性质有重要意义，对揭示这类度量的神秘面纱必将产生深远的影响.

芬斯勒几何学家在刻划芬斯勒度量局部结构方面取得的成果为研究芬斯勒度量的整体性质奠定了重要基础，为对芬斯勒度量作整体分析提供了大量例子.近十几年来，芬斯勒几何学家对芬斯勒度量的整体性质作了大量研究，并取得了一系列重要结果（参见[8,16,17]）.如关于常旗曲率芬斯勒空间的整体结构，法国籍伊朗裔数学家AkbarZadeh证明了：在紧致流形上，任何具有负常数旗曲率的芬斯勒度量一定是黎曼度量，任何旗曲率为0的芬斯勒度量一定是局部Minkowski度量.进一步，莫小欢与沈忠民证明了：在维数大于2的紧致芬斯勒流形上，若芬斯勒度量具有标量旗曲率且其旗曲率是负的，则芬斯勒度量一定是Randers度量[18]（这也说明了研究Randers度量的重要性）.另一方面，作为研究芬斯勒度量整体性质的重要基础，人们对芬斯勒几何中若干重要的比较定理作了深入研究.我们知道，在黎曼几何中，BishopGromov体积比较定理在黎曼流形的整体微分几何中扮演了一个非常重要的角色.1997年，沈忠民引入了S-曲率（即mean covariation）,建立了一个关于芬斯勒度量的体积比较定理，将黎曼几何中的BishopGromov体积比较定理推广到了芬斯勒流形，并得到了若干关于芬斯勒流形的准紧性（percompactness）和有限性（finiteness）定理.他还进一步研究了S曲率为0的完备芬斯勒流形的共轭半径的重要性质.另一方面，相对于芬斯勒度量的局部性质而言，目前人们对芬斯勒度量整体性质的研究仍远远不够，对芬斯勒度量整体性质的认识还不够丰富.可以肯定，芬斯勒度量的整体性质必将是几何学家们的新的研究热点.

芬斯勒子流形几何是芬斯勒几何的重要组成部分，是芬斯勒几何学家长期关注的重点之一.人们一直在努力探求芬斯勒子流形的局部与整体结果，进而促使人们更好地理解芬斯勒流形的结构与性质，并已取得了一些重要成果.如沈忠民于1998年引入了芬斯勒子流形的平均曲率与法曲率概念，得到了关于Minkowski空间中子流形的若干的整体结果，并以n维欧氏空间为底流形构造出了一个芬斯勒度量，使得相应的芬斯勒流形不可能等距地嵌入到任何Minkowski空间中.同时，人们对Minkowski空间中子流形的若干其它重要问题也开展了卓有成效的研究工作.但就总体而言，对芬斯勒子流形几何的研究并没有与黎曼子流形几何同步，还有很多重要问题未得到应有的重视和研究，有待几何学家去探索和耕耘.

近几年来，中国数学家也在研究芬斯勒流形的调和映照方面取得了若干重要进展.同时，来自芬斯勒几何的整体（通常是非线性的）分析问题也在挑战着从事几何分析的数学家们.

3 展望

由于芬斯勒几何中相对复杂的计算，刻划具有标量旗曲率的芬斯勒度量的工作还远未彻底完成，很多具有标量旗曲率的芬斯勒度量的分类工作还没有做.即使对具有常数旗曲率的芬斯勒度量，人们也远未完成其分类的工作.因此，研究和刻划具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒度量的性质和结构仍然是芬斯勒几何发展中的一个重点.根据目前芬斯勒几何的发展趋势可以预计，人们将在不久的将来构造出更多的满足一定曲率条件的芬斯勒度量的例子，并完成对某些具有重要应用背景且具有特殊曲率性质的（α，β）-度量的分类.在此基础上，人们将逐步完成对具有标量旗曲率且具有某些特殊曲率性质的芬斯勒度量的分类，具有标量旗曲率的芬斯勒度量的神秘面纱将逐渐被人们揭开.

芬斯勒度量的整体几何与拓扑性质将是芬斯勒几何的另一个研究热点.这一方向的研究包括：进一步揭示非黎曼几何量对芬斯勒度量整体结构和旗曲率的影响，深入研究具有标量旗曲率的芬斯勒度量的整体结构，对芬斯勒度量作整体分析并研究芬斯勒度量的刚性，探究Ricci曲率与芬斯勒流形拓扑的关系，特别是研究和揭示Einstein度量空间的拓扑结构等.目前人们已知的芬斯勒度量的局部性质及大量具有重要价值的例子将为这一领域的研究提供强有力的支撑.我们可以期待在这一领域会有一系列重要进展.

芬斯勒子流形几何对丰富芬斯勒几何理论富有重要价值.这一领域的研究内容是令人向往的.如关于黎曼流形的切丛与单位切球丛的几何及黎曼流形上的极小或调和单位向量场已被广泛研究和讨论，并且仍是前沿研究的一个热点之一.但在芬斯勒几何情形，相应的内容还没有得到足够的重视，相关结果还很少.因此，芬斯勒几何学家将在未来的研究工作中深入研究芬斯勒流形的切丛与单切球丛的几何，并深入研究芬斯勒流形上的极小或调和单位向量场，探讨极小子流形与调和映照的联系以及它们的几何变分特征，在一定的曲率条件下讨论调和映照的稳定性.这些内容都是十分重要和有趣的课题.

当然，要对芬斯勒几何的未来作出一个准确、全面的预测是非常困难的.这里，我们不妨借用陈省身先生的一个观点来结束本文：“整体黎曼几何在二十世纪后半叶得到了巨大的发展.我相信，在二十一世纪，微分几何的主要部分应是黎曼-芬斯勒几何.”

有罗氏几何，欧式几何，