- 真可
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(1)证明:因为 在直角三角形ABC中,角C=90度,角A=30度,
所以 角B=60度,
又因为 D是AB边的中点,
所以 CD=BD=AB/2,
所以 三角形BCD是等边三角形,
所以 角CDB=60度,
因为 DM垂直于CD于D,角MDC=90度,
所以 角MDA=30度,
所以 角A=角MDA,
所以 MA=MD,
因为 MG垂直于AB于G,
所以 AG=AD/2=AB/4,
因为 三角形BCD是等边三角形,CH垂直于AB于H,
所以 DH=BD/2=AB/4,
所以 AG=DH。
(2)旋转后,AG=DH 仍成立。
证明:在三角形AMG和三角形NBH中,
因为 角AGM=角NHB=90度,角AMG=角B=60度,
所以 三角形AMG相似于三角形NHB,
所以 HB/MG=NH/AG,即:MG乘NH=HB乘AG,
因为 DM垂直于DN于D,
所以 角MDN=90度,
所以 角MDG+角NDH=90度,
因为 NH垂直于AB于H,
所以 角DNH+角NDH=90度,
所以 角MDG=角DNH
在三角形MDG和三角形DNH中,
因为 角MDG=角DNH,角MGD=角DHN=90度,
所以 三角形MGD相似于三角形DHN,
所以 MG/DH=DG/NH 即:MG乘NH=DH乘DG,
所以 HB乘AG=DH乘DG,
因为 AD=BD=AB/2,
所以 HB=BD--DH=AB/2--DH,DG=AD--AG=AB/2--AG
所以 (AB/2--DH)乘AG=DH乘(AB/2--AG),
(AB乘AG)/2--DH乘AG=(DH乘AB)/2--DH乘AG,
所以 AG=DH。
- 马老四
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已知直角三角形ABC中,角C=90°,角A=30°,点D是AB边的中点,连接CD,过点D作DM垂直于CD,DM交AC于点M再分别过点M、点C作MG垂直于AB,CH垂直于AB
(1)求证:AG=DH
2)若将CD绕点D逆时针旋转X度(0°<X<30°)CD旋转后交CB于点N,过点D作DM垂直于CN,DM交AC于点M再分别过点M、点N作MG垂直于AB,NH垂直于AB,AG与DH是否相等,若相等请证明你的结论,若不相等,请说明理由。
(1)证明:因为 在直角三角形ABC中,角C=90度,角A=30度,
所以 角B=60度,
又因为 D是AB边的中点,
所以 CD=BD=AB/2,
所以 三角形BCD是等边三角形,
所以 角CDB=60度,
因为 DM垂直于CD于D,角MDC=90度,
所以 角MDA=30度,
所以 角A=角MDA,
所以 MA=MD,
因为 MG垂直于AB于G,
所以 AG=AD/2=AB/4,
因为 三角形BCD是等边三角形,CH垂直于AB于H,
所以 DH=BD/2=AB/4,
所以 AG=DH。
(2)旋转后,AG=DH 仍成立。
证明:在三角形AMG和三角形NBH中,
因为 角AGM=角NHB=90度,角AMG=角B=60度,
所以 三角形AMG相似于三角形NHB,
所以 HB/MG=NH/AG,即:MG乘NH=HB乘AG,
因为 DM垂直于DN于D,
所以 角MDN=90度,
所以 角MDG+角NDH=90度,
因为 NH垂直于AB于H,
所以 角DNH+角NDH=90度,
所以 角MDG=角DNH
在三角形MDG和三角形DNH中,
因为 角MDG=角DNH,角MGD=角DHN=90度,
所以 三角形MGD相似于三角形DHN,
所以 MG/DH=DG/NH 即:MG乘NH=DH乘DG,
所以 HB乘AG=DH乘DG,
因为 AD=BD=AB/2,
所以 HB=BD--DH=AB/2--DH,DG=AD--AG=AB/2--AG
所以 (AB/2--DH)乘AG=DH乘(AB/2--AG),
(AB乘AG)/2--DH乘AG=(DH乘AB)/2--DH乘AG,
所以 AG=DH。