几何不等式定理:三角形内任一点到两顶点距离之和,小于另一顶点到这两顶点距离之和．怎么证明阿?

huyanlin2022-10-04 11:39:541条回答

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每个人都成为天使共回答了22个问题 | 采纳率81.8%: 设P是三角形ABC内任意一点,延长BP交AC于D.
三角形两边之和大于第三边,
在ABD中,AB+AD>BP+PD,
在DPC中,PD+DC>PC,
两式相加即得,AB+AC>PB+PC.; 1年前

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以D为中心,做F的对称点K,则不论A或B是钝角锐角,K均落在角AED内.

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可以先证明个引理：
Ma+Mb+Mc>=2R(sinA^2+sinB^2+sinC^2) (1)
Ma+Mb+Mc>=(a^2+b^2+c^2)/(2R)
然后再证明sinA^2+sinB^2+sinC^2=2+2cosAcosBcosC>=2
取等条件是直角三角形,而(1)取等的条件是等边三角形,所以这个不等式不能取等
如果你需要(1)的证明,可以追问我,现在有点懒,不想打出来:D

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设AB＞AC≧BC
∵在三角形ABC中,AB是最长边,P是三角形内一点
∴PA+PB＞AB ＞ AC＞PC
∴PA+PB＞PC

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