范德蒙德行列式,不准复制别人的。帮我讲讲!
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电脑不卡 共回答了21个问题
|采纳率90.5%- 用数学归纳法.
如:当n=2时
范德蒙德行列式D2=x2-x1范德蒙德行列式成立
现假设范德蒙德行列式对n-1阶也成立,对于n阶有:
首先要把Dn降阶,从第n行起用后一行减去前一行的x1倍,然后按第一行进行展开,就有Dn=(x2-x1)(x3-x1)...(xn-x1)Dn-1于是就有Dn=||(xi-xj)(其中||表示连乘,i,j的取值为m>=i>j>=2),原命题得证. - 1年前
胡雁北渡 共回答了4个问题
|采纳率- 额 这玩意儿让人怎么讲……打出来都很费劲……(其实我不知道怎么打……)
好好看看书嘛~~~~ - 1年前
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|采纳率94.1%第2讲 范德蒙德行列式的几点应用
我们知道,n阶范德蒙德行列式
,
当这些 两两互异时, .这个事实有助于我们理解不少结果.
例1 证明一个n次多项式之多有n个互异根.
证 设 有 个互异的零点 ,则有
, .
即
这个关于 的齐次线性方程组的系数行列式
,
因此 .这个矛盾表明 至多有n个互异根.
例2 设 是n个两两互异的数.证明对任意n个数 ,存在惟一的次数小于n的多项式 :
,
使得 , .
证 从定义容易看出 的次数小于n,且 ,故只需证明唯一性即可.
设 满足
, ,
即
这个关于 的线性方程组的系数行列式
,
故 是唯一的,必须 .
这个例子就是有名的拉格朗日插值公式.
例3 设 是 个复系数多项式,满足
,
证明 .
证 设 ,取 ,分别以 代入,可得
这个关于 的齐次线性方程组的系数行列式
,
因此 .
例4 设n是奇数, 是 个复系数多项式,满足
,
证明 .
证 注意到当n是奇数时,
,
可按照例3的思路完成证明.
例5 设A是个n阶矩阵,证明A的属于不同特征值的特征向量线性无关.
证 设 是A的两两不同的r个特征值,非零向量 适合
, ,
假设
,
那么有
, .
即
,
注意到
,
必须 ,于是 ,这证明了 线性无关.
例6 计算行列式
,
其中 .
解 注意到下面的等式:
即得
.
例7 计算行列式
,
其中 .
解 直接利用例6可得
.
例8 设 是正整数,证明n阶行列式
能被 整除.
证 直接运用例6、例7可得
能被 整除.
例9 计算n阶范德蒙德行列式
,
其中 .
解 注意到 当且仅当 ,可得
,
由此 , 的模 .现在来确定 的幅角:令 , ,故
对于上面考虑的j和k,总有 ,这意味着 ,因此
,
由此可设 ,其中
这样就求得了 .
例10 证明缺项的n阶范德蒙德行列式
证 按 的第一行展开行列式,可得
例11 设有n个常数 ,n个两两不同的常数 以及由x的恒等式
定义的一个多项式 .对于一个已知多项式 ,定义另一个多项式 ,它为上面的恒等式中将 分别代之以 所得的x的恒等式所确定.证明用多项式 除以 所得的余式为 .
证 由于n阶范德蒙德行列式
,
按题设这里的行列式的最后一列展开,可知 是个次数小于n的多项式.从条件知对每个 ,
,
必须 , .由拉格朗日插值公式知
.
同理可求出由恒等式
所定义的多项式
.
设 ,其中 的次数小于n.为证 ,只需证明 时, 即可.事实上,对每个 , 是易见的,因此结论成立.
例12 设 在 上连续,在 内存在2阶导数,证明在 上有
,
这里 .
特别地,存在 ,使
.
证 在 上构造函数
,
则 在 上连续,在 内存在2阶导数.因 ,由中值定理存在 ,使 ,故再运用一次中值定理,存在 ,使 ,即
,
展开行列式即得
.
特别地,取 ,则有相应的 ,使上式成立,即
,
化简即得
.
例13 设 在 内存在 阶导数, .证明存在 ,使
.
证 在 上构造函数
,
在 内存在 阶导数.因 ,反复利用微分中值定理,存在 ,使 ,即
.
按第一行展开行列式得
,
左边按最后一列展开行列式,化简可得
.
例14 设 在 内存在n阶导数,这里 .证明存在 ,使
.
证 置 , ,则 .于是例14在本质上是例13的特殊情形.1年前查看全部
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第一行是四个一,第二行是1 2 3 4 ,第三行是1 4 9 16,第四行是1 8 27 64…………这题是多少angelinezheng1年前1
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|采纳率86.4%Vandermonde行列式是以下形式的,
1 1 .1
X1 X2 .XN
X1 ^ 2×2 ^ 2 .XN ^ 2
X1 ^(N-1)×2 ^(N-1).XN ^(N-1)
所有第一行的元素为1时,(可以理解为X1,X2,X3 .第零个)元件的
XN第二行是X1,X2,X3 .XN,(即X1,X2,X3 .XN一侧)
所以,
为元素的第n行X1 ^(N-1)×2 ^(N- 1).XN ^(N-1)(即X1,X2,X3 .XN第n-1次方)
这个值等于行列式(希-XJ)是相同的因素(N> = I> J> = 1),
都相同的因素是所有满足(N> = I> J> = 1)西XJ的所有产品必须考虑到,
例如X2-X1,X3,X1,X3-X2 .XN-XN-1
是一个乘法公式
所以在这里,你给行列式实际上是转置的Vandermonde行列式D ^当然T,的值是相同的
X1 = 1,X2 = 2,X 3 = 3,4 = 4因此
D =(X2-X1)*(X3-X1)*(X4-X1)*(X3-X2)*(X4-X2)*(X4-X3)
= 1 * 2 * 3 * 1 * 2 * 1
= 121年前查看全部
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1 1 1 我把第2列减第1列 第3列减第1列 得到的不和书上一样怎么回事
a b c
a2 b2 c2
得到1 0 0
a b-a c-a
a2 b2-a2 c2-a2 2表示平方
书上是按 -a倍减得到 1 1 1
0 b-a c-a
0 b(b-a) c(c-a) 书上按行我按列 得行列式不同布丁果果AI1年前2
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|采纳率100%你书上是吧第一行xa减到后两行.1年前查看全部
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hippomeng 的说法不太明白
怎样硬补成5*5的行列式?能再说说吗?
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这是范德蒙行列式的转置形式!
--注意第2行的元素是: 1,2,2^2,2^3
应该是下面的元素减上面的元素的乘积1年前查看全部
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【比如:10阶的《范德蒙德》,是缺0次方行,还是缺一次方行,还是.9次方行?】
见过的这类题通常是四阶的,有四次方行,缺三次方行,方法是构造一个辅助行列式——五阶的完整《范德蒙德》,结果为辅助行列式中辅助元素三次方项的系数行列式的相反数.1年前查看全部
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1 1 …… 1
x1 x2 …… xn
x1^2 x2^2 …… xn^2
……
x1^(n-1) x2^(n-1) …… xn^(n-1) =(Xi -Xj)的全体同类因子乘积(n>=i>j>=1)
全体同类因子就是说所有满足(n>=i>j>=1)的Xi -Xj都要乘进去,
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即化为范德蒙行列式1年前查看全部
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比如T是R^n上的一个线性变换,λ1,...,λk为其k个互不相等的特征值,
α1,...,αk为相应的特征向量,W为T的不变子空间,β=α1+...+αk为W中的向量,
证明W的维数不小于k
证明:
由于β∈W,故对β作用多少次T结果也还在W中,
故β,T(β),T^2(β),...,T^(k-1)(β)都在W中
只需证明β,T(β),T^2(β),...,T^(k-1)(β)线性无关
由于
β=α1+...+αk
Tβ=λ1α1+...+λkαk
.
T^(k-1)β=λ1^(n-1)α1+...+λk^(k-1)αk
若存在l1,...,lk使得∑[i=1,k]liT^(i-1)β=0
则V(l1,...,lk)'=0①
V为k阶范德蒙矩阵,且λ1,...,λk彼此不等,故V满秩
故①只有零解,即l1,...,lk全为零
故β,T(β),T^2(β),...,T^(k-1)(β)线性无关
故dim(W)≥k1年前查看全部
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将第n行依次与上一行交换,交换n-1次到第一行
同样,将新的第n行(原n-1行)依次与上一行交换,交换n-2次到第二行
...
共交换 (n-1)+(n-2)+...+1 = n(n-1)/2 次.
所以行列式等于 (-1)^[n(n-1)/2] 乘原行列式.1年前查看全部
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原式从第三行展开=a^2(c-b)-b^2(c-a)+c^2(b-a)
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∴第三行可以提公因式a+b+c出来,变为1,1,1
交换第三行和第二行,再交换第二行和第一行,最后得到
1 1 1
a b c
a² b² c²
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1+a1 1+a2 1+a3 1+a4
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原式
=[a,b,c;a^2,b^2,c^2;b+c,c+a,a+b]
=[a,b,c;a^2,b^2,c^2;a+b+c,b+c+a,c+a+b]
=(a+b+c)*[a,b,c;a^2,b^2,c^2;1,1,1]
=(a+b+c)*[1,1,1;a,b,c;a^2,b^2,c^2](换行两次,不用变号)——范氏形成
=(a+b+c)*(c-b)(c-a)(b-a)
2)
原式
=[1,1,1,1; 1+a1,1+a2,1+a3,1+a4;a1+a1^2,a2+a2^2,a3+a3^2,a4+a4^2;a1^2+a1^3,a2^2+a2^3,a3^2+a3^3,a4^2+a4^3]
=[1,1,1,1; 1+a1,1+a2,1+a3,1+a4;(1+a1)+(a1+a1^2),(1+a2)+(a2+a2^2),(1+a3)+(a3+a3^2),(1+a4)+(a4+a4^2);a1^2+a1^3,a2^2+a2^3,a3^2+a3^3,a4^2+a4^3](第二行加到第三行)
=[1,1,1,1; 1+a1,1+a2,1+a3,1+a4;(1+a1)^2,(1+a2)^2,(1+a3)^2,(1+a4)^2;a1^2+a1^3,a2^2+a2^3,a3^2+a3^3,a4^2+a4^3]
=[1,1,1,1; 1+a1,1+a2,1+a3,1+a4;(1+a1)^2,(1+a2)^2,(1+a3)^2,(1+a4)^2;2+4a1+3a1^2+a1^3,2+4a2+3a2^2+a2^3,2+4a3+3a3^2+a3^3,2+4a4+3a4^2+a4^3](两倍第三行加到第四行)
=[1,1,1,1;1+a1,1+a2,1+a3,1+a4;(1+a1)^2,(1+a2)^2,(1+a3)^2,(1+a4)^2;(1+a1)^3,(1+a2)^3,(1+a3)^3,(1+a4)^3](第四行减第二行,a^3+3a^2+3a+1=(a+1)^3)——范式行列式形成
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(这里我展开,最好你用“∏”写出标准连乘答案)1年前查看全部
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an (a-1)n ...(a-n)n
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.
a a-1 .a-n
1 1 .1
总之就是把范德蒙德行列式上下颠倒了 怎么化
如果转置怎么变换?poonxy1年前1
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|采纳率88.2%上下翻转,要逐行处理
将最后一行与上n行由下至上逐行交换
再将最后一行与上n-1行由下至上逐行交换
...
共交换 n+(n-1)+...+1 = n(n+1)/2 次
以同样方式处理列,进行左右翻转,交换的次数与上相同
所以最后的结果是正负不变
原行列式 =
1 1 ...1
a-n a-n+1 ...a
.
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x1 x2 …… xn
x1^2 x2^2 …… xn^2
……
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其第一行的元素全部是1,(可以理解为x1,x2,x3……xn的零次方)
第二行的元素则为x1,x2,x3……xn,(即x1,x2,x3……xn的一次方)
以此类推,
第n行的元素为x1^(n-1) x2^(n-1) …… xn^(n-1) (即x1,x2,x3……xn的n-1次方)
这个行列式的值是等于(Xi -Xj)的全体同类因子乘积(n>=i>j>=1)
全体同类因子就是说所有满足(n>=i>j>=1)的Xi -Xj都要乘进去,
比如说X2 -X1、X3 -X1、X3 -X2……Xn -Xn-1
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x1 x2 ...xn-1 xn y
............
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x1^n-1 x2^n-1 ...xn-1^n-1 xn^n-1 y^n-1
x1^n x2^n ...xn-1^n x1^n y^n
则D1是Vandermonde行列式
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