与x²/2+y²=1有相同的焦点,且经过(1,3/2) 求适合下列条件的椭圆的标准方程

算了： a^2=2,b^2=1,c^2=1 F(-1,0),O(0,0),准线方程为x=-2 设所求圆的圆心为(m,n),则m=-1/2 故(-2+1/2)^2=(-1/2)^2+n^2 n^2=2 n=sqrt(2)或n=-sqrt(2) 所求圆的半径为3/2 于是所求圆的方程为(x-m)^2+(y-n)^2=9/4 由m、n的取值,这样的圆有两个

x=y y^2+2y^2=2 3y2=2 y1=+√6/3 x1=+√6/3 y2=--√6/3 x2=--√6/3
AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=16/3 AB=4√3/3
设过C点且与AB平行的直线L 方程为 y=x+c L与AB距离就是C点到AB的距离,也就是三角形ABC的BC边上的高.只要L与椭圆相切,就可得L与AB最大距离,可得最大面积.
y^2--2cy+c^2+2y^2=2 3Y^2--2cy+c^2-2=0 判别式 4c^2--12(c^2--2)=0 c=-√3 c=+√3
结合图示.L与AB最大距离为 √3/√2=√6/2
三角形ABC最大面积：0.5*√6/2*4√3/3=√2

只需证向量AM与向量BM的内积为0就可以了
借助韦达定理展开 结论就出来了

将直线L：y=kx+b的方程代入椭圆x²/2+y²=1并消去y得：
x²/2+(kx+b) ²=1,
化简得：(1+2k²)x²+4kbx+2b²-2=0,
设P、Q两点坐标为(x1,y1),(x2,y2).
则x1+x2=-4kb/(1+2k²),x1x2=(2b²-2)/(1+2k²).……（*）
因为OP与OQ垂直,所以y1/x1•y2/x2=-1.
即x1x2+y1y2=0.
x1x2+(kx1+b) (kx2+b)=0.
(1+k²)x1x2+kb(x1+x2)+b²=0.
将（*）代入得：(1+k²)[(2b²-2)/(1+2k²)]+kb[-4kb/(1+2k²)]+b²=0.
两边同乘以(1+2k²)得：(1+k²)(2b²-2) -4k²b²+ b²(1+2k²)=0.
整理得：3b²-2-2 k²=0.b²=2(1+k²)/3.
直线L与原点的距离为|b|/√(1+k²)=√(2/3)=√6/3.

最常规的方法,联立方程组
y=x+1
x²+2y²=2
将直线方程代入椭圆方程
x²+2(x+1)²=2
所以 3x²+4x=0
x=0或x=-4/3
所以交点为（0,1）和（-4/3,-1/3)
利用中点坐标公式
AB 中点(-2/3,1/3)
另法：可以不求出交点
利用韦达定理 ,得到3x²+4x=0后
则 x1+x2=-4/3
y1+y2=x1+1+x2+1=-4/3+2=2/3
所以 AB中点坐标为(-2/3,1/3)

由题意,P点在椭圆内部
椭圆上的点有PF1+PF2=2a
所以PF1+PF2

应该有更好的办法,但是我还没想到 下面的计算稍显繁杂
设直线方程为y=kx+b与椭圆方程联立X²/2+Y²=1及AB弦长=2得到关系式
b²=(2k²+1)/2(k²+1)
O点到直线AB的距离d=|b|/√(k²+1)
S=AB*d/2=|b|/√(k²+1)
S²=b²/(k²+1)
∴S²=b²/(k²+1)=(2k²+1)/2(k²+1)²)=[2(k²+1)-1]/2(k²+1)²
令S²=t t≥0 k²+1=x x≥1
2tx²-2x+1=0
△=4-8t≥0
t≤1/2
S≤√2/2
此时x=1 k=0 即直线与x轴平行时,截距与高相等时候面积最大.
容易想到,当ABY与y轴平行时,面积最小,OAB成为一条直线,K此时为无穷大
S=0
综上S的取值范围
0≤S≤√2/2

这个题目实质上是二次函数求最值的问题.
设椭圆上任一点B坐标为(x,y)
AB^2 = (x-a)^2+y^2=x^2-2ax+a^2+1-x^2/2=x^2/2-2ax+a^2+1=1/2*(x^2-4ax+4a^2)+1-a^2
=1/2(x-2a)^2+1-a^2 此时 -√2≤x≤√2
1# -√2/2≤a≤√2/2 AB最小值 = f(a) =1-a^2
2# a>√2/2,此时,x=√2(y=0)时,AB最小.f(a)=(√2-a)^2
2# a