k^3+5k为什么能被6整除?n^3+5n为什么能被6整除

k3+5k=k3-k+6k,6k不看.k3-k=(k-1)k(k+1),即相邻三个连续整数之积是六的倍数,因为三个数中必有一个为三的倍数(注：除去包含零的)和一个偶数...:)

[(k+1)^3 + 5(k+1)] -[k^3 + 5k]
= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 5k + 5 - k^3 -5k
= 3k^2 +3k +6
= 3k(k+1) + 6
k和(k+1)中必然有一个是偶数
3k(k+1)必然能被6整除
而 k=1 时，k^3 + 5k = 6
随着k的增加，增加出来的部分依然是6的倍数
因此 k^3 + 5k 能被6 整除

用数学归纳法证明
证明：
（1）当k＝1时k^3+5k=6能被6整除
（2）设k＝n时n^3+5n能被6整除，则当k＝n+1时
(n+1)^3+5(n+1)=n^3+5n+3(n^2+n)+6
因为n^3+5n能被6整除 且6也被6整除
现在只要证明3(n^2+n)能被6整除即可
因为n为自然数 当n为偶数时n^2+n=偶数3* ...