若ax2+bx+c=0的两个根为1,-1,则a与c的比为___?

∵x₁，x₂是方程的两个根，
∴x₁+x₂=-[b/a]，x₁•x₂=[c/a]，
∴[b/a]=-（x₁+x₂），[c/a]=x₁•x₂，
代入二次三项式有：
ax²+bx+c，
=a（x²+[b/a]x+[c/a]），
=a[x²-（x₁+x₂）x+x₁•x₂]，
=a（x-x₁）（x-x₂）．
故答案为是：a（x-x₁）（x-x₂）．

点评：
本题考点： 解一元二次方程-因式分解法；根与系数的关系．

考点点评： 本题考查的是一元二次方程的解，利用方程的解，根据一元二次方程的根与系数的关系，对二次三项式因式分解．

对于①，因为不知道a的符号，借助于y=ax²+bx+c（a≠0）的图象可知，当a＜0时，不等式ax²+bx+c＜0的解集为{x|x＜x₁或x＞x₂}，所以①为假命题，故排除D；
对于②，[x−1/x−2]≤0⇔

(x−1)(x−2)≤0
x−2≠0，故②是假命题，故排除A、B．故答案为C．
另外：对于③，对于原命题，当m＞2时，x²-2x+m=0的△=4-4m＜0，结合函数的图象可知，x²-2x+m＞0的解集是实数集R，故原命题为真，则逆否命题亦为真．故③为真；
由a+b≥0，得a≥-b，又函数f（x）在（-∞，+∞）上递增，所以f（a）≥f（-b），同理f（b）≥f（-a），所以f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．所以④为真．
故答案选C

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题借助于命题真假的判断，四种命题间的关系，考查一元二次不等式的解法，主要突出数形结合的思想应用，则①②③容易解决；同时命题④则深刻考查了函数的单调性定义．

利用交点式把二次函数关系式变为y=a（x+[1/2]）（x-2）
把点（-2，10）代入得：a=[5/3]
∴y=
5
3x2-
5
2x-
5
3．

点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点．

考点点评： 当出现一元二次方程的两根时，求二次函数解析式应设为交点式比较简便．

将x=1代入方程ax²+bx+c=0，
得：a+b+c=0；
又∵b=
a−2+
2−a-1，
∴a-2≥0，2-a≥0；
∴a=2，
∴b=-1；
则c=-a-b=-1，
∴此一元二次方程为：2x²-x-1=0．

点评：
本题考点： 一元二次方程的解；二次根式有意义的条件．

考点点评： 考查了一元二次方程的解，本题需注意当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

依题意得二次函数y=ax²+bx+c的部分图象的对称轴为x=-1，
而对称轴右侧图象与x轴交点与原点的距离，约为0.5，
∴x₁=0.5；
又∵对称轴为x=-1，
则
x1+x2
2=-1，
∴x₂=2×（-1）-0.5=-2.5．
故x₁≈-2.5，x₂≈0.5．
故选：B．

点评：
本题考点： 图象法求一元二次方程的近似根．

考点点评： 此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要估计图象估计出一个解，再根据对称性计算出另一个解，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，必须估计尽量准确．

当a=b时，[b/a+
a
b]=1+1=2；
当a≠b时，a与b为方程x²+3x-1=0的两个根，
∵a=1，b=3，c=-1，
∴b²-4ac=3²+4=13＞0，
由根与系数的关系得：a+b=-[3/1]=-3，ab=[−1/1]=-1，
∴[b/a+
a
b]=
a2+b2
ab＝
(a+b)2−2ab
ab＝
(−3)2+2
−1＝−11．
综上，[b/a+
a
b]的值为2或-11．

点评：
本题考点： 根与系数的关系．

考点点评： 此题考查了根与系数的关系，在运用根与系数关系时，先考虑一元二次方程中根的判别式大于等于0，即方程有解这个前提，然后利用通分、配方、提取公因式等方法把所求的式子变形为与两根之和及两根之积有关的式子，最后把求出的两根之和与两根之积整体代入即可求出值．本题分两种情况考虑：a与b相等；a与b不相等，学生做题时考虑问题要全面，不要遗漏解．

因为若抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，最小值为-2，所以此抛物线的顶点坐标为（2，-2）；关于x的方程ax²+bx+c=-2的根即y=-2时，x的取值，所以此时x=2．

点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点．

考点点评： 此题考查了二次函数的性质，考查了学生对函数图象上点的理解，特别是顶点坐标的求得．

∵一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根为-3和-1，
∴x₁+x₂=-[b/a]=-4．
∴对称轴为直线x=-[b/2a]=[1/2]×（-[b/a]）=[1/2]×（-4）=-2．
故选A．

点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点．

考点点评： 要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．

∵x₁，x₂是方程的两个根，
∴x₁+x₂=-[b/a]，x₁•x₂=[c/a]，
∴[b/a]=-（x₁+x₂），[c/a]=x₁•x₂，
代入二次三项式有：
ax²+bx+c，
=a（x²+[b/a]x+[c/a]），
=a[x²-（x₁+x₂）x+x₁•x₂]，
=a（x-x₁）（x-x₂）．
故答案为是：a（x-x₁）（x-x₂）．

点评：
本题考点： 解一元二次方程-因式分解法；根与系数的关系．

考点点评： 本题考查的是一元二次方程的解，利用方程的解，根据一元二次方程的根与系数的关系，对二次三项式因式分解．

证明：由于x₁与x₂分别是方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的根，
所以有

ax12+bx1+c＝0
−ax22+bx2+c＝0
设f（x）=[a/2]x²+bx+c，
则f（x₁）=[a/2]x₁²+bx₁+c=-[a/2]x₁²，
f（x₂）=[a/2]x₂²+bx₂+c=[3a/2]x₂²，
∴f（x₁）f（x₂）=-[3/4]a²x₁²x₂²
由于x₁≠x₂，x₁≠0，x₂≠0，
所以f（x₁）f（x₂）＜0，
因此方程[a/2]x²+bx+c=0有一个根介于x₁和x₂之间．

点评：
本题考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评： 本题考查一元二次方程根的分布问题．在解题过程中用到了零点存在性定理，若想说函数在某个区间上有零点，只要区间两端点值异号即可．

如图
由图象可以看出二次函数y=ax²+bx+c在区间（2.0，2.2）上可能与x轴有交点，即2.0＜x₁＜2.2．
∴故选C．

点评：
本题考点： 图象法求一元二次方程的近似根．

考点点评： 本题的考查的是二次函数与一元二次方程，在解题过程中，采取与二次函数图象相结合的方法来求得答案．

∵x₁、x₂为实系数一元二次方程ax²+bx+c=0的两个虚根，
∴x＝
−b±
4ac−b2i
2a，
不妨设x₁=m+ni（m，n∈R），则x₂=m-ni，
由

x21
x2=
x13
|x1|2，若

x21
x2∈R，则x13∈R，
即m³-3m²n+（3m²n-n³）i∈R，
∴3m²n=n³，
∵n≠0，
∴n²=3m²．
即4ac-b²=3b²，ac=b²．
∴x＝
−b±
3bi
2a，
若x1＝
−b+
3bi
2a，则x2＝
−b−
3bi
2a，
x1
x2＝−
1

点评：
本题考点： 复数代数形式的混合运算．

考点点评： 本题考查复数代数形式的混合运算，考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查了学生的计算能力，是中档题．

∵一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根为-3和-1，
∴x₁+x₂=-[b/a]=-4．
∴对称轴为直线x=-[b/2a]=[1/2]×（-[b/a]）=[1/2]×（-4）=-2．
故选A．

点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点．

考点点评： 要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．

∵一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根为-3和-1，
∴x₁+x₂=-[b/a]=-4．
∴对称轴为直线x=-[b/2a]=[1/2]×（-[b/a]）=[1/2]×（-4）=-2．
故选A．

点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点．

考点点评： 要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．

根据图象知该抛物线经过点（0，4），（1，0），（2，-2），
则

4＝c
0＝a+b+c
−2＝4a+2b+c，
解得，

a＝1
b＝−5
c＝4．
则该二次函数的解析式是：y=x²-5x+4．
令x²-5x+4=0，即（x-1）（x-4）=0，
解得，x=1或x=4，
故答案是：1，4．

点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点．

考点点评： 本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据抛物线与x轴的交点求出一元二次方程的两个根是解答此题的关键．

把x=-1代入方程，可得
a-b+c=0，
故答案为：0．

点评：
本题考点： 一元二次方程的解．

考点点评： 本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解根与方程的关系．

依题意得二次函数y=ax²+bx+c的部分图象的对称轴为x=3，
而对称轴左侧图象与x轴交点与原点的距离，约为1.6，
∴x₁=1.6；
又∵对称轴为x=3，
则
x1+x2
2=3，
∴x₂=2×3-1.6=4.4．

点评：
本题考点： 图象法求一元二次方程的近似根．

考点点评： 解答本题首先需要估计图象估计出一个解，再根据对称性计算出另一个解，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，必须估计尽量准确．

如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实根，且x₁＜x₂，那么当a＞0时，不等式ax²+bx+c＜0的解集为{x|x₁＜x＜x₂}，故①错误；
若
x−1
x−2≤0，则（x-1）（x-2）≤0且x-2≠0，故②错误；
∵若m＞2，则x²-2x+m＞0的解集是实数集R为真命题，∴“若m＞2，则x²-2x+m＞0的解集是实数集R”的逆否命题也为真命题；
∵定义在R的函数f（x），且对任意的x∈R都有：f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），则f（2+x）=f[（1+x）+1]=f[1-（1+x）=f（-x）=-f（x），
∴f（4+x）=-f（2+x）=f（x），即4是y=f（x）的一个周期．故④也为真命题
故答案为③④

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用；命题的否定；函数的周期性；一元二次不等式的解法．

考点点评： 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，命题的否定，函数的周期性及一元二次不等式的解法，直接考查了这些知识的基本应用，属于基础题．

有两个不相等的实数根

点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点．

考点点评： 主要考查了二次函数的图象与x轴交点个数与一元二次方程的解之间的联系，这些性质和规律要求掌握．

因为若抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，最小值为-2，所以此抛物线的顶点坐标为（2，-2）；关于x的方程ax²+bx+c=-2的根即y=-2时，x的取值，所以此时x=2．

点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点．

考点点评： 此题考查了二次函数的性质，考查了学生对函数图象上点的理解，特别是顶点坐标的求得．

证明：∵m，n是关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两个正实数根，
∴m+n=-[b/a]，mn=[c/a]，
∴以m+n为边长的正方形面积S_正方形=（m+n）²=(
b
a)2 ，a、c同号；
以m、n为边长的矩形面积S_矩形=mn=[c/a]，
∴S_正方形：S_矩形=b²：ac；
又关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两个正实数根，
∴b²-4ac≥0，即b²≥4ac，∴
b2
ac≥4，
即S_正方形：S_矩形=b²：ac≥4，
∴以m+n为边长的正方形面积与以m、n为边长的矩形面积之比不小于4．

点评：
本题考点： 根与系数的关系．

考点点评： 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．在根据一元二次方程的根的判别式求b2与ac的比值时，要注意需要讨论ac的符号．

根据题意把x=1代入方程ax²+bx+c=0得：a+b+c=0
故答案是0．

点评：
本题考点： 一元二次方程的解．

考点点评： 本题主要考查了方程的根即方程的解的定义，是需要熟记的内容．

∵一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根为-3和-1，
∴x₁+x₂=-[b/a]=-4．
∴对称轴为直线x=-[b/2a]=[1/2]×（-[b/a]）=[1/2]×（-4）=-2．
故选A．

点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点．

考点点评： 要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．

由图表中的数据知，点（1.1，24），（1.3，24）是关于抛物线上关于对称轴对称的两点，则该抛物线的对称轴直线是：x=[1.1+1.3/2]=1.2．
所以，方程ax²+bx+c=0的另一个解是：2×1.2-0.7=1.7．
故答案是：1.7．

点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点．

考点点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，利用了抛物线的对称性．