角平分线性质定理△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若向量CB=向量a,向量CA=向量b,︳a︳=1,︳b︳=

证明：因为AD是斜边BC边上的高
所以角ADB=角ADC=90度
因为角ADB+角ABC+角BAD=180度
所以角ABD+角BAD=90度
因为三角形ABC是直角三角形
所以角BAC=角BAD+角CAD=90度
所以角ABD=角CAD
所以三角形ABD和三角形CAD相似（AA)
所以AB/BD=AC/AD
因为角ABC的平分线交AD于E
所以AE/DE=AB/BD
所以AE/DE=AC/AD
因为角DAC的平分线交CD于F
所以AC/AD=CF/DF
所以AE/DE=CF/DF
所以EF平行AC

已知：OP是角MON的角平分线,CA垂直OM于A ,CB垂直ON于N
求证：AC=BC
证明：因为OP是角MON的角平分线（已知）
所以角AOC=角BOC（角平分线定义）
因为CA垂直OM于M（已知）
所以角OAC=90度（垂直定义）
因为CB垂直ON于N（已知）
所以角OBC=90度（垂直定义）
所以角OAC=角OBC=90度（等量代换）
因为OC=OC（公共边）
所以三角形OAC和三角形OBC全等（AAS)
所以AC=BC（全等三角形对应边等）
所以角平分线上的点到这个角的两边距离相等（角平分线性质）
（2）已知：CA垂直OM于M ,CB垂直ON于N ,AC=BC
求证：点C在角MON的角平分线上
证明：因为CA垂直OM于M（已知）
所以角OAC=90度（垂直定义）
因为CB垂直ON于N（已知）
所以角OBC=90度（垂直定义）
所以角OAC=角OBC=90度（等量代换）
所以三角形OAC和三角形OBC是直角三角形
因为AC=BC（已知）
OC=OC（公共边）
所以直角三角形OAC和直角三角形OBC全等（HL)
所以角AOC=角BOC（全等三角形对应角等）
所以OC平分角MON（角平分线判定定理）
所以在角的内部到一个叫两边距离相等的点在这个角的平分线上

∵底边上面的中线将底边分为相等的两份,假设D为中点,则BD=DC
又∵三角形△ABC是等腰三角形,即AB=AC,∠ABC=∠ACB
∴△ABD=△ACD
∴∠CAD=∠BAD
即AD是∠BAC的角平分线
∵角平分线上的点到两边的距离相等（角平分线定理）
∴等腰三角形的边上的中线到两腰的距离相等

思路1：
CD/BD=△ACD面积/△ABD面积=(AC.AD.sin(180°-∠DAN))/(AB.AD.sin(∠DAM))
=AC/AB
思路2：
BF//AD交AC于F
则易证明AF=AB
而 AF/AC=BD/DC
思路3：
BE//AC
则易证明BE=AB
而 BE/AC=BD/DC

在任意三角形ABC中,BD为角B的平分线,则有：AB/AC=BD/CD

2,只使用角平分线性质定理即可.
因为PE和AB平行,知角1和角3相等,而PF和AC平行,知角2和角4相等,所以PD也是三角形PEF中角P的角平分线,故可得到结论：D到PE和PF的距离相等.

3、
因为ABC是等腰三角形,所以角B=角C
又因为AD和BC垂直,所以角ADB=角ADC,都是直角
三角形其他两个角都相等,所以角BAD=角CAD
根据“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”
两个三角形有一条边重合,且AB=AC,而且夹角相等,所以三角形全等
故BD=CD