a1=1 an+1=2an+n+1 bn=an+p*n+q 求 p q为何值时 {bn} 为等比数列

（1）由已知a₂=2a₁+2，a₃=2a₂+3=4a₁+7，
若{a_n}是等差数列，则2a₂=a₁+a₃，即4a₁+4=5a₁+7，
得a₁=-3，a₂=-4，故d=-1．
∴数列{a_n}的首项为-3，公差为-1；
（2）证明：假设数列{a_n}是等比数列，则有
a22＝a1a3，
即4(a1+1)2＝a1(4a1+7)，
解得a₁=-4，从而a₂=-6，a₃=-9，
又a₄=2a₃+4=-14．
数列a₁，a₂，a₃，a₄不成等比数列，与假设矛盾，
∴数列{a_n}不是等比数列；
（3）由题意，对任意n∈N^*，有
cn+1
cn＝q（q为定值且q≠0），
即
an+1+k(n+1)+b
an+kn+b＝q．
即
2an+n+1+k(n+1)+b
an+kn+b＝
2an+(k+1)n+k+b+1
an+kn+b＝q，
于是，2a_n+（k+1）n+k+b+1=qa_n+kqn+qb，
∴

q＝2
k+1＝kq
k+b+1＝qb ⇒

q＝2
k＝1
b＝2.
∴当k=1，b=2时，数列{c_n}为等比数列．
此数列的首项为a₁+1+2=2，公比为q=2，∴an+n+2＝2n

点评：
本题考点： 数列递推式；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了利用反证法证题，属有一定难度的题目．

（1）∵a_n+1=2a_n+n+1，∴a₂=2a₁+2，a₃=2a₂+3=4a₁+7，
∵{a_n}是等差数列，∴2a₂=a₁+a₃，∴2（2a₁+2）=a₁+（4a₁+7），∴a₁=-3，a₂=-4
∴d=a₂-a₁=-1；
（2）证明：假设{a_n}是等比数列，则a22＝a1a3
∴（2a₁+2）²=a₁（4a₁+7），∴a₁=-4，a₂=-6，a₃=-9，
∵a₄=2a₃+4=-14，∴a32≠a2a4与等比数列矛盾
∴假设不成立
∴{a_n}不可能是等比数列；
（3）假设存在，则有
an+1+k(n+1)+b
an+kn+b=
2an+(k+1)n+k+b+1
an+kn+b=常数
∴

k+1＝2k
k+b+1＝2b，∴

k＝1
b＝2
∴{a_n+n+2}是等比数列，首项为2，公比为2
∴a_n+n+2=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-n-2
∴{a_n}的前n项和为
2(1−2n)
1−2−
n(n+1)
2−2n=2n−
n2
2−
5n
2−1

点评：
本题考点： 反证法与放缩法；等差关系的确定；等比关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列递推式，考查反证法的运用，考查数列的求和，考查学生的计算能力，属于中档题．