七维球上恰有 28 种微分流形结构,它们都可表成某个在 S^4 上的S^3-丛.S^4 和S^3-丛代表什么意思?

这是 Milnor 怪球的微分结构.S^4 上的 S^3-丛是一个纤维丛,底流形是 S^4,标准纤维是 S^3.这个纤维丛同胚于 S^7,但是不微分同胚于 S^7.这是同一个局部欧氏空间上可以存在不同微分结构的著名例子,或者说是拓扑结构不足以决定（如果容许的话）微分结构的例子.
如果一个拓扑空间是一个局部欧氏空间的话,就可以用局部坐标来分片刻画它,但是坐标变换只能是连续的,不一定可微.如果在所有这些坐标系中筛选一部分出来,使之能够覆盖整个空间,而相互之间的坐标变换又是光滑（或某个 k 阶连续）的,这就相当于在该空间上指定了一个微分结构（要求微分结构极大,即,不可再向其中添加新的坐标系使之满足相容性,这只是为了让这个极大集去代表这个微分结构而已）.Milnor 怪球的例子表明,在拓扑结构所容许的局部坐标系中挑选微分结构的时候,有可能选出不同的微分结构,所以,微分结构是拓扑结构之上的一个新的结构.
它不是球极投影的纤维丛.

S^n 是 n 维单位球面，代表 n + 1 维欧氏空间中和 0 的距离为 1 的那些点的集合。例如，S^0 只有 -1 和 1 两个数，S^1 是个圆，S^2 是个球面。