设A为n阶实对称矩阵,且满足A^3-2A^2+4A-3E=O,证明A为正定矩阵
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烟花后的夜 共回答了13个问题
|采纳率92.3%- 设λ是A的特征值
则 λ^3-2λ^2+4λ-3 是 A^3-2A^2+4A-3E 的特征值
而 A^3-2A^2+4A-3E=0,零矩阵的特征值只能是0
所以 λ^3-2λ^2+4λ-3=0.
λ^3-2λ^2+4λ-3=(λ-1)(λ^2-λ+3)=0
而实对称矩阵的特征值是实数
所以A的特征值都是1.
所以A为正定矩阵. - 1年前
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boppio 共回答了14个问题
|采纳率78.6%可以用Gauss消去法证明可以合同对角化,然后只要加一句可逆变换不改变秩即可.
如果还不会看下面的提示:
取一个非零2阶主子式,若其对角元为0则用[1,1;-1,1]作用上去,这样它至少一个对角元非零.不妨设这个是整个矩阵的(1,1)元素(否则可用排列阵重排,PAP'),存在下三角阵L,使得LA的第一列只有第一个分量非零,则LAL'是分块对角阵,然后归纳即可.1年前查看全部
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我恨夜班 共回答了10个问题
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是么、还是实数什么的?blcu_ljh1年前1
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wanglong5270 共回答了25个问题
|采纳率100%实对称矩阵是指矩阵中元素均为实数的对称矩阵.即对于任意aij=aji,且aij为实数.
因此不是你说的那样;可以是零也可以不是,只要是实数即可.1年前查看全部
- 证明一个n阶正交实对称矩阵的aii(对角线上的元素)大于零
slm10311年前1
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奇兰格 共回答了11个问题
|采纳率100%这个命题不对吧,记A为n阶单位阵,
则-A是n阶正交实对称阵,但其对角元都为-11年前查看全部
- 刘老师,在实对称矩阵相似对角化程中,求得A的特征值及其对应的特征向量后,书上说有两种情形
刘老师,在实对称矩阵相似对角化程中,求得A的特征值及其对应的特征向量后,书上说有两种情形
若求可逆矩阵P,P-1AP为对角矩阵.
若求正交矩阵Q,.,将特征向量正交规范化,则Q为正交矩阵,
为什么要分两种情形?东方的海鸥1年前1
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全然的磨练 共回答了15个问题
|采纳率100%一般矩阵考虑的是相似对角化,
而实对称矩阵由于属于不同特征值的特征向量彼此正交,
所以实对称矩阵可考虑正交对角化1年前查看全部
- 实对称矩阵正交矩阵的关系请问这两矩阵有什么相互联系吗?各自的性质是什么呢?
原版正装1年前1
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bardianpig 共回答了20个问题
|采纳率80%实对称矩阵和实正交矩阵都是实正规阵,这个就是主要的共同点.
另外有一条联合的性质,就是任何实方阵都能写成一个实对称矩阵和一个实正交矩阵的乘积.
至于各自的性质,自己去看书,实对称矩阵的性质非常丰富,在这里说了也没什么用.1年前查看全部
- 为什么实对称矩阵的相似对角化要用正交矩阵?
为什么实对称矩阵的相似对角化要用正交矩阵?
一般矩阵的相似对角化用它的特征向量组成的矩阵就可以了,为什么实对称矩阵的相似对角化这么特殊呢,名称叫做正交矩阵化,求得特征向量矩阵后还要正交化和单位化使之成为正交矩阵呢?1150763801年前2
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如果我在 共回答了16个问题
|采纳率87.5%对称矩阵也可以用一般的由特征向量组成的非奇异阵做对角化,只不过它有特殊的性质(对称),因此我们就可以考虑特殊的对角化,也就是正交相似对角化.这么做有好处:正交矩阵的逆矩阵很容易求,就是它的转置,不像一般的可逆阵需要半天才能求出来.你想想,如果是一个1000*1000的矩阵求逆,那要多长时间才能做完?但正交矩阵就太容易了,只要转置一下就行了.1年前查看全部
- 线性代数 紧急!一、总结在利用正交矩阵将一个实对称矩阵(3阶方阵)对角化的过程中所包含的知识点,并就矩阵的特征值都是单根
线性代数 紧急!
一、总结在利用正交矩阵将一个实对称矩阵(3阶方阵)对角化的过程中所包含的知识点,并就矩阵的特征值都是单根和具有重根这两种情况,分别举出实例,并给出相应的解题过程.
1、行列式是《线性代数》课程中的重要工具,其
其应用贯穿课程整个内容,总结它在本课程一些知
识点中的应用(要求至少3种)并举出相应的实例.
2、矩阵的初等变换是《线性代数》课程中的重要
计算工具,通过初等行变换,矩阵可以化为行阶梯
形和行最简形,总结在哪些知识点上应用了初等行
变换(要求至少3种),同时指明矩阵的等价形式
是行阶梯形还是行最简形,并举出相应的实例.w90a1年前2
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果冻27 共回答了22个问题
|采纳率90.9%行列式:1.解齐次线性方程组 2.判断矩阵的奇异和非奇异性 3.求逆矩阵时放在分母上,是求逆矩阵公式的一部分
矩阵:1.判定正定二次型 2.解齐次和非齐次线性方程组 3.化简二次型
其实是很多的,你看书就可以了,书上写的很清楚.基本上就是矩阵和行列式1年前查看全部
- 设3阶实对称矩阵a有3个特征值3,3,-3,属于-3的特征向量为(1,-2,1),求A及其逆矩阵
蝳娃娃1年前1
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perfectlie 共回答了22个问题
|采纳率90.9%实对称矩阵可以正交对角化,并且属于不同特征值的特征向量是正交的
既然如此,3对应的两个特征向量都与(1,-2,1)正交,把它们求出来就可以还原出A了1年前查看全部
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实对称矩阵对角化问题
设A为3介实对称矩阵,可知存在正交阵P,使得P'-1AP=B,B为其特征值构成的对角矩阵,为什么求出了A的特征向量再施密特正交化最后还要单位话,个人感觉正交化就足够了,为什么还最后还要单位话
就是说由特征向量构成的矩阵不是正交矩阵,必须单位化后才是吧!blousea1年前1
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我是阿辉哥 共回答了18个问题
|采纳率94.4%必须单位化!
因为正交矩阵P是由A的特征向量构成的
而矩阵P是正交矩阵的充分必要条件是它的列(行)向量组是标准正交向量组,即两两正交且长度为1.
所以必须单位化.
不对.单位化后得到的P才是正交矩阵.
PS.用追问方式能使回答者快速收到你的疑问1年前查看全部
- 如果已知一个实对称矩阵,仅凭A²-A=0可以判断A的特征值就是1和0吗?
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敏哥哥1年前2
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Hermitbai 共回答了17个问题
|采纳率94.1%可以.
且A不必是实对称矩阵
设a是A的特征值,则 a^2-a 是 A^2-A 的特征值
而 A^2-A = 0
所以 a^2-a = 0
所以 a(a-1)=0
所以 a=0 或 a=1.1年前查看全部
- 设A实对称矩阵,第一行2 0 0 ,第二行0 3 2,第三行0 2 3,求正交矩阵P
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解得特征值为1,2,5.问题是当特征值为2时,特征向量的取值为什么是1 0 0?无悠1年前1
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昨夜西风凋敝树 共回答了22个问题
|采纳率86.4%当特征值为2时
A-2E =
0 0 0
0 1 2
0 2 1
初等行变换化成
0 1 0
0 0 1
0 0 0
自由未知量是x1,取1.x2=x3=0 即为(A-2E)X=0的一个基础解系.
所以特征向量是 1,0,01年前查看全部
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chengzhi1943 共回答了15个问题
|采纳率86.7%实二次型可以经过非退化线性替换化为标准型,进而化为特殊标准型:各项系数绝对值为1(只需将刚才的变换矩阵再乘以一个对角阵).如果两个实二次型有相同的正负惯性指数,那么他们均可经过非退化线性变换化为相同的标准型.故矩阵A与B合同.可参考《高等代数》第三版,北大几何与代数教研室前代数小组编,高等教育出版社出版.P205,二次型一章……1年前查看全部
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请无视上面问题,写重了
求线性代数(刘建亚主编)习题的详细证明
16。A为m*n实矩阵,B=aE+A'A,证明a>0时B为正定阵姚少1年前1
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不要封llstrv95 共回答了12个问题
|采纳率83.3%对任一n维非零列向量x,总有 x'(A'A)x = (Ax)')(Ax) >= 0,且 x'x>0
所以当a>0时,有
x'Bx = ax'x + x'(A'A)x > 0
故 B 正定1年前查看全部
- 设A为实对称矩阵,证明存在实对称矩阵B使A=B³
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娜不是我黑的1年前0
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- 1.什么是方阵啊2.实对称矩阵和正交矩阵有什么关系啊3.什么是不同单位列向量啊麻烦分别举个例子吧
leemj_2261年前1
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清清蝶 共回答了14个问题
|采纳率92.9%1,行=列 如:M×M
2,是实矩阵都能化成对角化,正交矩阵[A,B]=0
如:实矩阵
1 -2 2
-2 -2 4
2 4 -2
正交矩阵:
A=(1 0 0 1),B=(0 1 1 0)
[A,B]=(1*0+0*1+0*1+1*0)=0
3,不同单位列向量?应该是两个不同矩阵的列向量,你也没说清楚,不太好理解,他是不是说,不同单位列向量做什么变换?1年前查看全部
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我们顽固到底地 共回答了23个问题
|采纳率87%因为A为半正定
所以对任意非零n维向量x,x'Ax >=0
而 x'(kI)x = kx'x
所以若 A+KI为正定,必有 x'(A+kI)x >0
即 kx'x>0
所以 k>0
你题目不对呀1年前查看全部
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B.PTα
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则:Aα=λα,(P-1AP)T=PTA(PT)-1,
等式两边同时乘以PTα,即:
(P-1AP)T(PTα)=PTA[(PT)-1PT]α=PTAα=λ(PTα),
故选:B.点评:
本题考点: 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.
考点点评: 本题主要考查矩阵的运算及矩阵的特征值与特征向量的定义,属于简单题,在做选择题及填空题时,要有意识地培养“只求目的,不择手段”.1年前查看全部
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①A,B等价,则λE-A与λE-B等价;
②A,B相似,则λE-A与λE-B相似;
③A,B合同,则λE-A与λE-B合同;
其中正确的个数为( )
A.0
B.1
C.2
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倘若取:A=E,B=-E,λ=1,则A,B等价,
但:E-A=O与E-B=2E不等价,
所以(1)不正确;
倘若取:A=E,B=2E,λ=1,则A,B合同,
但E-A=O与E-B=2E不合同,所以(3)不正确;
如果A,B相似,则存在可逆矩阵P,P-1AP=B,则P-1(λE-A)P=λE-B,故λE-A与λE-B相似,所以(2)正确;
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所以A有特征值0,对应的特征向量为,α1=[-1,2,-1]T和α2=[0,-1,1]T
(2)因为a1,a2,a3线性无关,故A可以对角化,将a1,a2,正交化,单位化,将a3单位化,
设得到的向量分别为b1,b2,b3,
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0 -4 2
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0 2 -1-x
= (2-x)[4+x)(1+x) - 4]
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所以 A 的特征值为 2,-5,0
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n阶实对称矩阵A正定==》
==》存在n阶可逆矩阵Q,使得A=Q^TQ
==》A=(Q^T, 0)(Q^T,0)^T=(Q\0)^T(Q\0)
==》有m*n列满秩矩阵P、使得A=P^TP
==》:
有m*n列满秩矩阵P、使得A=P^TP
==》对于任意的非零向量x,Px非零,且x^TAx=x^TP^TPx=(Px)^T(Px)>0
==》n阶实对称矩阵A正定1年前查看全部
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一天一夜1212 共回答了19个问题
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由α2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解,知α2是A的特征值-1的特征向量
∴α1=(a,-a,1)T与α2=(a,1,-a)T正交的
∴a2-2a=0
即a=0或2点评:
本题考点: 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质;正交向量组.
考点点评: 此题考查实对称矩阵的特征值和特征向量的性质,以及特征值和特征向量的定义,是基础知识点.1年前查看全部
- 考研数学三阶非实对称矩阵的特征值
考研数学三阶非实对称矩阵的特征值
在求3阶矩阵A的特征值时,进行A-λE后,我们往往通过初等的行列变换,找出某一行、列的关于λ的一次多项式提出来,但是经过多次的做题发现,一般情况下这个一次多项式好碰出来,但还是比较担心,万一考试时碰不出来怎么办,所以我想知道能从根本上解决3阶矩阵特征值求法的方法,即直接计算得出λ的三次多项式后,如何配、凑,可得三个特征值 这里给老师找了一个例子,就以此为例吧,X的三次方+6*X的平方+11*X-6=0,不能用试出一个X=1,提出(X-1)这个方法哦~yangya12031年前1
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所以A的特征值为 5,-1,-1
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(A+E)X = 0 的基础解系为:a2 = (1,-1,0)',a3 = (1,0,-1)'
将 a2,a3 正交化得 b2 = (1,-1,0)',b3 = (1/2,1/2,-1)'
单位化得
c1 = (1/√3,1/√3,1/√3)',
c2 = (1/√2,-1/√2,0)',
c3 = (1/√6,1/√6,-2/√6)'
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liang8015 共回答了19个问题
|采纳率73.7%这是因为 "可对角化的矩阵的秩等于其非零特征值的个数"
A是实对称矩阵,A(A+2E)=0,故A的特征值只能是0,-2
由 r(A)=2 知 A 的特征值为 0,-2,-2.
所以 A^2+3E 的特征值为 (λ^2+3):3,7,7
所以 |A^2+3E| = 3*7*7 = 147.1年前查看全部
- 设V是由n阶实对称矩阵按通常的矩阵加法与数乘构成的线性空间,求V的维数和V的一组基,哪位大神帮帮忙
hahahe1231年前1
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游走在城市边缘1 共回答了14个问题
|采纳率85.7%记E(ij)是第i行第j列元素为1,其余元素是0的矩阵,
则E(ij)+E(ji),11年前查看全部
- 设三阶实对称矩阵A的特征值为1,1,-1且对应的特征值1的特征向量有(1,1,1),(2,2,1),求矩阵A
tt11le1年前1
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咖啡发夹 共回答了19个问题
|采纳率73.7%因为对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交
所以若设属于特征值 -1 的特征向量为 (x1,x2,x3)^T
则有 x1+x2+x3=0
2x1+2x2+x3=0
方程组的基础解系为 ζ3=(1,-1,0)^T
所以属于特征值 -1 的特征向量为 c(1,-1,0)^T,c为非零常数.
令P=
1 2 1
1 2 -1
1 1 0
则P可逆,且 P^-1AP=diag(1,1,-1)
所以有 A = Pdiag(1,1,-1)P^-1 =
0 1 0
1 0 0
0 0 1
注:为避免求P的逆,可将特征值1的特征向量正交化,之后将3个向量单位化1年前查看全部
- 设实对称矩阵A满足(A-E)(A²+E)=0证明A=E
设实对称矩阵A满足(A-E)(A²+E)=0证明A=E
音乐帅帅1年前1
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lcl19760318 共回答了14个问题
|采纳率85.7%因为 (A-E)(A²+E)=0
所以A的特征值a满足 (a-1)(a^2+1)=0
由于实对称矩阵的特征值都是实数
所以a=1
故A的特征值为1,1,.,1
又因为实对称矩阵可对角化
所以 A=Pdiag(1,1,...,1)P^-1 = PEP^-1 = E1年前查看全部
- 证明(A+B)的逆不等于A的逆 + B的逆 其中A,B为实对称矩阵,可交换,其中A,B,A+B都可逆
证明(A+B)的逆不等于A的逆 + B的逆 其中A,B为实对称矩阵,可交换,其中A,B,A+B都可逆
谢谢,我说的是对于一般性的证明,不是举例wangwentz8881年前1
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欣然而已123 共回答了10个问题
|采纳率100%A = E,B=E
则A,B,A+B 都可逆,它们的逆分别为 E,E,(1/2)E
且 A,B 是实对称矩阵,AB=BA.
但 A^-1+B^=1 = 2E ≠ (1/2)E = (A+B)^-1.
补充:说明一个命题不成立,给出反例就可以了,不必证明
上面就是一个反例!1年前查看全部
- 若实对称矩阵A~Λ,证明A^2~Λ^2.(Λ为一对角矩阵)
tthhee1年前0
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共回答了个问题
|采纳率
- 线性代数,那么问题来了。设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=1(二重),属于λ1的特征向量为a=(0,1,1)
线性代数,那么问题来了。
设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=1(二重),属于λ1的特征向量为a=(0,1,1).求A的属于λ2=1的特征向量。
woyaoqinghua1年前1
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花鸟字之光2 共回答了19个问题
|采纳率89.5%实对称矩阵不同特征值的特征向量正交1年前查看全部
- 线性代数,设A为3阶实对称矩阵,且满足R(A)=2,A2=A,求A的三个特征值.
线性代数,设A为3阶实对称矩阵,且满足R(A)=2,A2=A,求A的三个特征值.
2,我爱givenchy1年前3
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度是0805 共回答了19个问题
|采纳率94.7%A2=A是什么?打错了吧,麻烦修改一下.
如果是A^2=A
即A^2-A=0
写成特征值方程λ^2-λ=0
所以A可能的特征值是,0和1
因为A的秩是2,所以是1,1,0
方法总结一下就是
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用给的矩阵关系式,写出特征值方程,然后解出可能的特征值,这些特征值只是可能值,有几个 ,有没有都是不确定的
根据A的秩来最终确定特征值,比如此处A的秩是2,那么肯定有两个不是0的特征值,一个是0的特征值,所以是0,1,11年前查看全部
- 设三阶实对称矩阵A的个行元素之和均ĸ
设三阶实对称矩阵A的个行元素之和均ĸ
a2=(0,-1,1)T 是线性方程Ax=0的两个解…为什么我讲条件都列出求出A的每个元素都是一,可求A的特征值是300,但是得到特征向量却是(-1,1,0)~(-1,0,1)?
要是解出A来了,按照这个思路能解出ljzl1391年前1
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ribaiha 共回答了20个问题
|采纳率95%A的个行元素之和均ĸ
说明他有一个特征值k,对应的特征向量为a3=(1,1,1)^T
(因为Aa3=ka3)
a1=(-1,2,-1),a2=(0,-1,1)T 是线性方程Ax=0的两个解
说明有一个至少2重的特征值0,对应的特征向量是a1,a2
(因为Aai=0=0ai,i=1,2
不需要解出A1年前查看全部
- 设A为n阶实对称矩阵,B为n阶可逆阵,Q为n阶正交阵则B^-1Q^TAQB与A有相同的特征值
设A为n阶实对称矩阵,B为n阶可逆阵,Q为n阶正交阵则B^-1Q^TAQB与A有相同的特征值
B^{-1}Q^TAQB = (QB)^{-1} A (QB)
求证明及解释!
水星悠蓝1年前0
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共回答了个问题
|采纳率
- A是实对称矩阵,B=C^TAC,那么B一定是对角矩阵吗,可不可以是一个实对称矩阵(排除对角矩阵哦)
老俞1年前1
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northmansh 共回答了19个问题
|采纳率100%B 不一定是对角矩阵
但B一定是对称矩阵
这是因为 B^T=(C^TAC)^T=C^TA^TC=C^TAC=B.1年前查看全部
大家在问
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