limx->无限 [x^2/(x^2+1)]^x=?

Unlimited vitality youth foreve

宇宙是有限的 从宇宙大爆炸开始宇宙碰撞形成了现在的程度 宇宙还会变得更大 最后达到极限后 开始缩小 最后变成宇宙大爆炸形成的时候 然后 呗一个巨大的黑洞吞掉 我这是电视里看的

首先,对于这个通项公式,n的阶次为偶数,所以只要求2倍正数项加〇项就好了,a0=1,剩下就按正常数列求和就好了.
4an=[1/（2n+1）-1/（2n-1）]²
=1/（2n+1）²+1/（2n-1）²-2/[（2n+1）（2n-1）]
=1/（2n+1）²+1/（2n-1）²-[1/(2n-1)-1/（2n+1）],n≥1
看前面两项,第一项是数列1/n²中除 去1之外的奇数项,第二项完全就是1/n²中的奇数项,当n取无穷求和时1/n²中的奇数项的和是偶数项的3倍,为整体和的3/4,只要把偶数项提取个1/4出来,就变成了1/n²的形式,所以只要求1/n²的求和就行了.后一项的话就最简单了,高中应该经常遇到这样的求和,因为中间的很多都消去了,只剩首尾.1/n²的无穷求和不用我说了吧,π²/6,那么第一项加第二项就是2倍的奇数项减去1,应该是π²/4-1,再加后一项的-1,就是π²/4-2.但这是4an求和的结果,所以还要除以4,即π²/16-1/2.
所以整个数列负整数项和正整数项的和为π²/8-1,〇项为1,最后结果是π²/8

将该极限化为重要极限lim（1+1/x）^x在x趋于无穷的形式,最终的形式是
lim【（1+2/x）^x/2】^1/x^2=1或者使用洛必达法则将([x+2]/x)^(1/2x)化成e^1/2x*ln([x+2]/x)的形式,对1/2x*ln([x+2]/x求极限可得是0,又因为e^0=1,所以最终极限为1