正三梭柱ABC—A1B1C1中,D是BC的中点,DE垂直AC于E,AB=4,AA1=根号7,求AD与平面A1DE成的角?

几何法:
由正三棱柱的性质得AA1⊥面ABC,即A1E在面ABC上的射影是AE
∵DE⊥AE,∴DE⊥A1E
∴∠A1EA是二面角A1-DE-A的平面角
∵∠ACB=60°,∴CE=CD*cos60°=CD/2=BC/4=AB/4=1
∴AE=3
∵AA1=√7,∴A1E=4,∴sinA1EA=√7/4
又易得∠ADE=60°,∴sinADE=√3/2
设AD与面A1DE所成角为θ,由三正弦定理得
sinθ=sinADE*sinA1DA=√21/8
θ=arcsin√21/8
向量法:
由三线合一性质可知DA⊥BC,过D在面BC1上作任意一条直线l⊥BC
∵面BC1⊥面ABC,∴l⊥面ABC,∴l⊥DA
以D为原点,BC,DA,l为坐标轴建系
∵AB=4,同几何法求出AD=2√3,DE=CDsin60°=√3
∴A(0,2√3,0),E(3/2,√3/2,0),A1(0,2√3,√7)
DE→=(3/2,√3/2,0),DA1→=(0,2√3,√7),DA→=(0,2√3,0)
面A1DE的法向量n→=DA1→×DE→=(√21/2,-3√7/2,3√3)
设AD与面A1DE所成角为θ,则
sinθ=|cos|=|-3√21/√576|=√21/8
∴θ=arcsin√21/8