α，β为N维非零列向量。α∧Tβ=5,A=αβ∧T

肥蛛蛛2022-10-04 11:39:541条回答

α，β为N维非零列向量。α∧Tβ=5,A=αβ∧T
求A的特征值与特征向量。

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zyp939 共回答了12个问题 | 采纳率75%: 解法：
因为α∧Tβ=5，将等式左乘α、右乘β，得E= 5αβ∧T，将5移到等式左边αβ∧T = 1/5E。
于是A=αβ∧T = 1/5E，可以视A=1/5E为AE=1/5E，根据特征值与特征向量的定义，知A的特征值为入 =1/5，特征向量为En。; 1年前

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所以 A有一个非零行,且其余行都是此行的倍数
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则 A =
k1b^T
...
b^T
knb^T
令 a = (k1,...,1,...,kn)^T
则 A=ab^T
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因为存在非零列向量a及非零行向量b^T,使A=ab^T
所以A≠0.所以 R(A)>=1.
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所以 a1,a2,a3 线性无关.[ 这是定理:A的属于不同特征值的特征向量线性无关]
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解题思路：n阶矩阵A与它的伴随矩阵的行列式和秩都存在很多联系．
Ax=0的基础解系只含有一个向量，所以矩阵A的秩为3，
∴A存在不为0的3阶子式，即A^*不为0
∴r（A^*）≥1
又因为，此时
.
A.=0，由AA^*=
.
A.E=0，知r（A）+r（A^*）≤4
∴r（A^*）≤1
∴r（A^*）=1
∴A^*x=0的基础解系含有三个向量
∴正确答案只可能是C或者D
∵（α₁，α₂，α₃，α₄）

1
0
−2
0=0
即α₁-2α₃=0
∴α₁与α₃线性相关
而方程组的基本解系必须是线性无关的向量
∴正确答案为D．

点评：
本题考点：基础解系、通解及解空间的概念．

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解题思路：n阶矩阵A与它的伴随矩阵的行列式和秩都存在很多联系．
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又因为，此时
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A.=0，由AA^*=
.
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∴r（A^*）≤1
∴r（A^*）=1
∴A^*x=0的基础解系含有三个向量
∴正确答案只可能是C或者D
∵（α₁，α₂，α₃，α₄）

1
0
−2
0=0
即α₁-2α₃=0
∴α₁与α₃线性相关
而方程组的基本解系必须是线性无关的向量
∴正确答案为D．

点评：
本题考点：基础解系、通解及解空间的概念．

考点点评：可以用排除法来帮助找到正确选项．

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证明：（1）由已知条件A=αβ^T,得到R（A）=1,又因为矩阵的迹等于特征值之和,故第一问得证.
（2）A=αβ^T,两边右乘以α,得到Aα=αβ^Tα,β^Tα是一个数,故上式可以写成Aα=β^Tα·α,故第二问得证
（3）根据A可相似对角化的条件,用反证法即可证出.

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A*A =AA* = |A|E
这个结论不依赖于A是否非奇异
至于证明, 直接把A*A和AA*的每个元素都按乘法的定义写出来看一下就知道了.

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所以A≠0.所以 R(A)>=1.
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是 A^T

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必要性的反例：
A = [0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 0],b = [1; 0; 1; 0],x = [0; 1; 0; 1]
2.分三种情况讨论
1) b=0
2) b≠0,c=0
3) bc≠0,d=0
自己分析
3.如果T是正交变换,那么S也是,N(T)=R(S)^⊥={0}
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所以 α^Tβ = (β^Tα)^T = 4.

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0
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所以第4个选项正确

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设A是3阶矩阵，α1，α2，α3都是3维非零列向量，满足 Aα1=2α1，Aα2=2α2-α1，Aα3=α3， 设A是3阶矩阵，α₁，α₂，α₃都是3维非零列向量，满足 Aα₁=2α₁，Aα₂=2α₂-α₁，Aα₃=α₃， （1）证明α₁，α₂，α₃线性无关． （2）记P=（α₁，α₂，α₃），构造矩阵B，使得AP=PB． （3）证明A不相似于对角矩阵． （4）求A的特征向量． xtempler1年前1: blueoyxl 共回答了17个问题 | 采纳率76.5%

解题思路：（1）证明线性无关，只需要证明他们的线性和为0
（2）构造矩阵AP=PB，即寻找相似矩阵A=PBP^-1
（3）对角化，可根据相似矩阵能否对角化来判断
（4）特征向量在（3）的过程中就可以得出．
解（1）由Aα₁=2α₁，Aα₂=2α₂-α₁，Aα₃=α₃，得
（A-2E）α₁=0，（A-2E）α₂=-α₁，（A-E）α₃=0
设k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0
A-2E左乘上式得-k₂α₁-k₃α₃=0
用A-E左乘上式得 k₁α₁+k₂α₂=0
且α₁，α₂，α₃不为零向量，由Aα₁=2α₁，Aα₃=α₃，知 α₁，α₃为A的特征向量
∴α₁，α₃线性无关
∴上面的两个等式中，k₂=k₃=0，k₁α₁=0
∴k₁=0
∴α₁α₂α₃线性无关．
（2）∵AP=（2α₁，2α₂-α₁，α₃）=（α₁，α₂，α₃）

2−10
020
001
∴矩阵B可以是

2−10
020
001
（3）AP=PB
∴A=PBP^-1
且α₁α₂α₃线性无关
∴P为可逆矩阵
∴A相似与矩阵B
矩阵B不可逆，则A也不可逆
（4）∵A，B相似
∴它们有相同的特征值
即为2，2，1
由Aα₁=2α₁，Aα₂=2α₂-α₁，Aα₃=α₃，知
α₁，α₃为A的特征向量

点评：
本题考点：矩阵可相似对角化的充分必要条件；对角矩阵的概念及其性质；向量组线性无关的判定与证明．

考点点评：考察的点比较多，都是相关的，需要不断利用已知条件来得到新的结论．

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若a b都是n维非零列向量矩阵A=ab^T 则A的秩为? 色声香味触法1年前1: cardinal1 共回答了15个问题 | 采纳率73.3%

秩为1
乘积的秩不超过因子的秩啊

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列向量的秩指的是什么,是矩阵中的非零列还是线性无关组的个数,秩的定义是最简行列式中非零的一行 kangno1年前1: xxx5000 共回答了20个问题 | 采纳率75%

是最大线性无关组中向量的个数

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线性代数正交的运用“因为α,β均为三维列向量,故存在非零列向量x与α,β均正交”这句话的依据是什么? a625817691年前1: 追寻平淡共回答了24个问题 | 采纳率95.8%

关于正交,只要记住一句话,“正交”就是“内积为0”.两个表述是一样的,可以互相替换.
本题换一个表述:
因为α,β均为三维列向量,故存在非零列向量x,使得x与α的内积,x与β的内积都是0.即==0
对这句话的证明：
设α=（a1,a2,a3）,β=（b1,b2,b3）,x=（x1,x2,x3）
=a1x1+a1x2+a3x3=0
=b1x1+b2x2+b3x3=0
上面这个关于x1,x2,x3的其次线性方程组,系数矩阵是
a1 a2 a3
b1 b2 b3
秩最多是2,但是未知数个数有3个,所以必有非零解!
也就是说“必定能找到非零向量x,满足==0”,
也就是说“必定能找到非零向量x,和α,β均正交”!

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设a、b都是n维非零列向量,矩阵A=2E（N维）-abt（b的转置向量） 设a、b都是n维非零列向量,矩阵A=2E（N维）-abt（b的转置向量） 若A的平方=A+2E 则a的转置向量乘b等于多少 你要幸福哦1年前1: kid0228 共回答了18个问题 | 采纳率100%

经济数学团队为你解答,有不清楚请追问.请及时评价.

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设u是n阶方阵A的一个特征值,(uE-A)*是(uE-A)的伴随矩阵,试证(uE-A)*的非零列向量 设u是n阶方阵A的一个特征值,(uE-A)*是(uE-A)的伴随矩阵,试证(uE-A)*的非零列向量 接上, 是A的属于u的特征向量 温一壶酒1年前1: barride 共回答了22个问题 | 采纳率90.9%

由于u是n阶方阵A的一个特征值,
所以 |uE-A| = 0
所以 (uE-A)(uE-A)* = 0
所以对(uE-A)*的任一列向量b都有 (uE-A)b = 0
即有 Ab = ub
所以 (uE-A)* 的非零列向量是A的属于特征值u的特征向量

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对于列阶梯形矩阵能不能说它的秩等于非零列的列数? feelmanking16381年前1: 姑苏枯井共回答了28个问题 | 采纳率85.7%

完全可以.
因为矩阵的秩与它的行秩,还有列秩,三者是相等的.

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α，β为N维非零列向量。α∧Tβ=5,A=αβ∧T

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