n维非零向量a1,a2,……,am互不相同,证明该向量组线性无关的充要条件是其具有唯一的极大无关组
mytrain2022-10-04 11:39:541条回答
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- 天才航 共回答了13个问题
|采纳率100% - 必要性显然,唯一的极大无关组即向量组自身
充分性:反证.
假设a1,a2,...,am线性相关
则存在一个向量可由其余向量线性表示
不妨设a1可由其余向量线性表示为
a1=k2a2+k3a3+...+kmam
因为 a1≠0,所以 k2,k3,...,km 不全为0
不妨设a2≠0
则 a2 可由 a1,a3,...,am 线性表示
所以向量组 a1,a3,...,am 与 a2,a3,...,am 等价.
并且都与原向量组等价.
a1可扩充为a1,a3,...,am的一个极大无关组
a2可扩充为a2,a3,...,am的一个极大无关组
这与向量组有唯一的极大无关组矛盾
所以向量组线性无关. - 1年前
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