塞瓦定理的解析证法
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hsuthen 共回答了21个问题
|采纳率95.2%- 塞瓦定理
设O是△ABC内任意一点,
AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
证法简介
(Ⅰ)本题可利用梅内劳斯定理证明:
∵△ADC被直线BOE所截,
∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①
而由△ABD被直线COF所截,∴ BC/CD*DO/OA*AF/DF=1②
①÷②:即得:BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
(Ⅱ)也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
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娇我爱你 共回答了696个问题
|采纳率- 偶当初就是用Menelaus定理证明的。
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由于CD/BD=S(△ACA')/S(△ABA')=(ab•sin∠ACA')/(ac•sin∠ABA')=b•sin(C+60°)/c•sin(B+60°)
同理,AE/CE=c•sin(A+60°)/a•sin(C+60°)
BF/AF=a•sin(B+60°)/b•sin(A+60°)
所以(CD/BD)•(AE/CE)•(BF/AF)=1
故AD、BE、CF三线共点,证毕.
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塞瓦定理
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AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
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②÷①:即得:BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
(Ⅱ)也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,
根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/
[(AE*ctgB)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点.
^@%$&*@!^#*&!@%#*&!%^*&@#^%!&*#^@*^*@^*@
并列关系并列关系并列关系并列关系1年前查看全部
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谁有一些初中奥数的几何定理啊
请注意,我要的是奥数的,也就是说书本上没有的.例如射影定理,圆幂定理,塞瓦定理之类的,或者是有关三角形边的比例关系的,比如三角形中作一角平分线将对边分成两部分,这两部分的比与这角的邻边的比例的关系等.想想_1231年前4
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asyen 共回答了20个问题
|采纳率80%初中几何比较有用的就是塞瓦定理和蝴蝶定理,其他都可以依照已有知识推出,建议还是买奥数书本学习吧,而且平面几何几乎是奥数里面最难的部分,和概率并称谁都不一定能做出的……1年前查看全部
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7329120 共回答了20个问题
|采纳率85%梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.它指出:如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1.
或:设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上,则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 .
逆定理:设D、E、F、分别是三角形ABC的三边AB、BC、CA、或其延长线上的点,若(BD/CD)*(CE/EA)*(AF/FB)=1.则D、E、F三点共线.梅涅劳斯逆定理常用来证明三点共线问题,如:笛沙格定理,帕斯卡定理,蝴蝶定理都可用梅涅劳斯定理来证明.
证明:过点C作CP∥DF交AB于P,则BD/DC=FB/PF,CE/EA=PF/AF
所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1
塞瓦定理
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∵△ADC被直线BOE所截,
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∴ (BC/CD)*(AF/FB)*(DO/OA)=1 ②
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∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
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BO延交AC于E,CO延交AB于F,则(AF/BF)•(BD/CD)•(CE/AE)=1,见图4。
证明:在△AOB中,OF分∠AOB,由《分角定理》→
AF/BF=(sin∠AOF/sin∠BOF)•(AO/BO),
同理,在△BOC,△COA中也有。∴
(AF/BF)•(BD/CD)•(CE/AE)= (sin∠AOF/sin∠BOF)•(AO/BO) •(sin∠BOD/sin∠COD)•(BO/CO)
•(sin∠COE/sin∠AOE)•(CO/AO)=1(由对顶角相等)。
不添线,只列一式。
B、《梅涅劳斯定理》:△ABC被一直线内分AB于F,内分BC于D,外分AC于E,则(AF/BF)•(BD/CD)•(CE/AE)=1,见图5。
证明:连AD,在△ADB中,DF内分∠ADB,由《分角定理》→
AF/BF=(sin∠ADF/sin∠BDF)•(AD/BD);在△ACD中,DE外分∠ADC,同理→
CE/AE=(sin∠CDE/sin∠ADE)•(CD/AD)。∴
(AF/BF)•(BD/CD)•(CE/AE)= (sin∠ADF/sin∠BDF)•(AD/BD)•(BD/CD)•
(sin∠CDE/sin∠ADE)•(CD/AD)=1。(由对顶角相等,辅角相等)
只添一线,只列一式。
这种不添线(或只添一线)的证明方法,在数学史上属首创。1年前查看全部
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|采纳率92.9%上面的网址有定理的内容和一些例题.初等几何的证明还是看竞赛书吧,几乎所有高中竞赛书都会有的.
上面有定理证明.
上面有前人收集的一些网页.不过我不大打得开,你可以试试.1年前查看全部
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(Ⅱ)也可以利用面积关系证明
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设有一个三角形ABC,而D、E 与 F 分别是三角形的三条边 BC、CA和AB上的点.如果设 BD = a、CE = b、AF = c,以及之比为xyz那么右图中红色的小三角形的面积占三角形ABC面积的比例设出来,中间小三角形的面积为0时就是塞瓦定理
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设X,Y,Z分别是△ABC的BC,CA,AB边或其延长线上的点,且有偶数个点在边的延长线上,且AX,BY,CZ三线共点或互相平行,证明(BX/XC)*(CY/YA)*(AZ/ZB)=1cocomeng1年前3
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|采纳率100%梅涅劳斯定理
证明一
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G, 则AF/FB=AG/BD ,CE/EA=DC/AG. 三式相乘得:(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1
证明二
过点C作CP∥DF交AB于P,则BD/DC=FB/PF,CE/EA=PF/AF 所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1 它的逆定理也成立:若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1,则F、D、E三点共线.利用这个逆定理,可以判断三点共线.
证明三
过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC', 所以AD:DB=AA':BB',BE:EC=BB':CC',CF:FA=CC':AA' 所以(AF/FC)×(BD/DA)×(CE/EB)=1
证明四
连接BF. (AD:DB)·(BE:EC)·(CF:FA) =(S△ADF:S△BDF)·(S△BEF:S△CEF)·(S△BCF:S△BAF) =(S△ADF:S△BDF)·(S△BDF:S△CDF)·(S△CDF:S△ADF) =11年前查看全部
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zxy1977 共回答了16个问题
|采纳率93.8%蝴蝶定理是平面几何的古典结果.
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题.由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶,便以此命名,定理内容:圆O中的弦PQ的中点M,任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点. 出现过许多优美奇特的解法,其中最早的,应首推霍纳在职815年所给出的证法.至于初等数学的证法,在国外资料中,一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的,它给予出的是面积证法,其中应用了面积公式:S=1/2 BCSINA. 这里介绍一种较为简便的初等数学证法. 证明:过圆心O作AD与B牟垂线,垂足为S、T,连接OX,OY,OM.SM.MT. ∵△SMD∽△CMB,且SD=1/2ADBT=1/2BC, ∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B ∴△MSD∽△MTB,∠MSD=∠MTB ∴∠MSX=∠MTY;又∵O,S,X,M与O,T.Y.M均是四点共圆, ∴∠XOM=∠YOM ∵OM⊥PQ∴XM=YM
梅涅劳斯(Menelaus)定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.它指出:如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1.
证明:
过点A作AG‖BC交DF的延长线于G
AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG
三式相乘得:
AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
它的逆定理也成立:若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1,则F、D、E三点共线.利用这个逆定理,可以判断三点共线.
塞瓦定理
设O是△ABC内任意一点,
AB、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
证法简介
(Ⅰ)本题可利用梅内劳斯定理证明:
∵△ADC被直线BOE所截,
∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①
而由△ABD被直线COF所截,∴ BC/CD*DO/OA*AF/DF=1②
①÷②:即得:BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
(Ⅱ)也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
一元三次方程是型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型
其解法如下
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型.
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式.归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即为两个开立方之和.归纳出了一元三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出开立方里面的内容,也就是用p和q表示A和B.方法如下:
(1)将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
(2)x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
(3)由于x=A^(1/3)+B^(1/3),所以(2)可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移项可得
(4)x^3-3(AB)^(1/3)x-(A+B)=0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较,可知
(5)-3(AB)^(1/3)=p,-(A+B)=q,化简得
(6)A+B=-q,AB=-(p/3)^3
(7)这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题,因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根,而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理,即
(8)y1+y2=-(b/a),y1*y2=c/a
(9)对比(6)和(8),可令A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1=-(b+(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)
y2=-(b-(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)
可化为
(11)y1=-(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2=-(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a代入(11)可得
(12)A=-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)
B=-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)
(13)将A,B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=(-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)
式 (14)只是一元三方程的一个实根解,按韦达定理一元三次方程应该有三个根,不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根,另两个根就容易求出了
数学:http://baike.baidu.com/search/cn=%CA%FD%D1%A7
定理:http://baike.baidu.com/search/cn=%B6%A8%C0%ED1年前查看全部
- 塞瓦定理 梅劳定理在三角形ABC中,角A=90,D在AC上,E在BD上,AE的延长线交BC于F,若BE\ED=2AC\D
塞瓦定理 梅劳定理
在三角形ABC中,角A=90,D在AC上,E在BD上,AE的延长线交BC于F,若BEED=2ACDC ,求证:角ADB=角FDC必杀将军1年前1
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Ryderatxian 共回答了17个问题
|采纳率82.4%连接CE交AB于G. 在三角形ABD中,点C在AD的延长线上由梅涅劳斯定理有AC/DC*DE/EB*BG/GA=1又有BE/ED=2AC/DC代入求得BG/GA=2 延长FD交BA延长线上于点H由梅涅劳斯定理有BH/AH*AD/DC*CF/BF=1(1).在三角形ABC中由塞瓦定理有BG/GA*AD/DC*CF/BF=1.(2) 由(1)和(2)可得BH/AH=BG/GA=2 所以A为BH的中点 又CA垂直AB所以∠HDA=∠ADB
又∠FDC=∠HDA 所以∠ADB=∠FDC.即证1年前查看全部
- 怎么用塞瓦定理,梅涅劳斯定理证三角形三条高,三条角平分线共点
jun520nic1年前2
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o苍狼o 共回答了13个问题
|采纳率92.3%有点难度三角平分线共点:设D,E,F分别是△ABC角平分线AD,BE,CF与边BC,CA,AB的交点则BD/DC=AB/AC,CE/EA=BC/AB,AF/FB=AC/BC三个式子相乘,得(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1由塞瓦定理,得AD,BE,CF共点 三高共点(图自己画一...1年前查看全部
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