求f(x)=2X+1/X+1的单调性并证明

(1)
令x1,x2是f(x)定义域上的两个数,并且 x1>x2>1;
则 f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)+(1/x1)-(1/x2)
=2(x1-x2)+(x2-x1)/(x1x2)
=(x1-x2)[2-1/(x1x2)]
因为x1>x2>1,
所以 x1-x2>0;x1x2>1即2-1/(x1x2)》0；
故f(x1)>f(x2)
又因为x1>x2,所以函数 f(x) 在区间[1,+∞）是增函数
(2)
因为f(x) 在区间[1,+∞）是增函数,所以在区间[2,4]上的最大值为 f(4)=9.25,
最小值为 f(2)=5.5

（1）f(x)=(2x+1)/（x+1）=[2(x+1)-1]/(x-1)=2-1/(x+1)
在［1,+∞］上取x1

f(x)=2x+1/x+1=(2(x+1)-1)/(x+1)=2-1/(x+1)
1

(1)
令x1,x2是f(x)定义域上的两个数,并且 x1>x2>1;
则 f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)+(1/x1)-(1/x2)
=2(x1-x2)+(x2-x1)/(x1x2)
=(x1-x2)[2-1/(x1x2)]
因为x1>x2>1,
所以 x1-x2>0;x1x2>1即2-1/(x1x2)》0；
故f(x1)>f(x2)
又因为x1>x2,所以函数 f(x) 在区间[1,+∞）是增函数
(2)
因为f(x) 在区间[1,+∞）是增函数,所以在区间[2,4]上的最大值为 f(4)=9.25,
最小值为 f(2)=5.5
这样可以么?

1.设X1 X2∈[1,4],令X1>X2
然后用 FX1-FX2
然后将两式通分
将通分后的分子展开 就会发现了分子是大于0的 (因为分母是大于0的数,只要分子大于0就可证明 FX1-FX2>0 即为增函数)
2.函数在区间[1,4]上为增函数 即最小值为F1 最大值为F4

解题思路：根据同分母的分式的加法法则求即即可求得答案，注意约分化为最简分式或整式．

[2x+1/x+1−
x
x+1]=[2x+1−x/x+1]=[x+1/x+1]=1．
故答案为：1．

点评：
本题考点： 分式的加减法．

考点点评： 此题考查了分式的加法运算法则．解题时注意化简为最简分式．

奇函数2x
偶函数把函数1/x²+1

【(x三次方-x平方/x平方+x ）-（1-x²/x+1)】÷（2x+1/x+1）
={X^2(X-1)/［X(X+1)］-(1+X)(X-1)/(X+1)}×(X+1)/(2X+1)
={［X^2-X-1+X^2］/(X+1)}×(X+1)/(2X+1)
=(2X^2-X-1)/(2X+1)
=X-1.

y = (x^2-2x+1)/(x^2+1)
y' = [ (x^2+1)(2x-2)-2x(x^2-2x+1) ] /(x^2+1)^2
= (2x^2-2)/(x^2+1)^2
y' = 0
x= 1 (min) or -1 (max)
max y = y(-1)
=2
miny = y(1) =0
值域=[0,2]