实变函数求助证明图中等式成立,是在通过积分和的方式下来定义L-积分时的情况下那个,“根据Lebesgue积分的定义”,这
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实变函数求助
证明图中等式成立,是在通过积分和的方式下来定义L-积分时的情况下
证明图中等式成立,是在通过积分和的方式下来定义L-积分时的情况下
那个,“根据Lebesgue积分的定义”,这里的定义是哪种定义?简单函数逼近方式还是积分和方式?
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SPICE666 共回答了18个问题
|采纳率94.4%- 只需要证明n=2的情况,再根据归纳法可得.
n=2时,根据Lebesgue积分的定义,当振幅delta足够小时
左边=c1*m(E1E2)+c2*m(E2E1)+(c1+c2)*m(E1∩E2)
=c1*(m(E1E2)+m(E1∩E2))+c2*(m(E2E1)+m(E1∩E2))
=c1*m(E1)+c2*m(E2)=右边
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就勒贝格测度而言,基本空间是R^n,全体开集和闭集形成的代数就是Borel代数,其中的元素叫Borel集合.勒贝格可测集包含全部Borel集,亦即Borel代数是勒贝格可测集类的子集.开集和闭集是Borel集形成的基础.根据后续对勒贝格可测集的讨论,一个勒贝格可测集可以用一个开集从“外部”任意程度逼近,也可以用闭集从“内部”任意程度逼近,而且还可以拆成一个Borel集和一个勒贝格零测集的并或者差.
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以实数作为自变量的函数就做实变函数,以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论.它是微积分学的进一步发展,它的基础是点集论.什么是点集论呢?点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论.也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的.比如,点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等.实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题.
实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等.这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍.
实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则.由于积分归根到底是数的运算,所以在进行积分的时候,必须给各种点集以一个数量的概念,这个概念叫做测度.
什么实测度呢?简单地说,一条线段的长度就是它的测度.测度的概念对于实变函数论十分重要.集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的.
为了推广积分概念,1893年,约当在他所写的《分析教程》中,提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分.1898年,法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进,并把它叫做测度.波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文,提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念.勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中,证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集,这就完全解决了黎曼可积性的问题.
勒贝格积分可以推广到无界函数的情形,这个时候所得积分是绝对收敛的,后来由推广到积分可以不是绝对收敛的.从这些就可以看出,勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了.也可以看出,实变函数论所研究的是更为广泛的函数类.
自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数,人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来,连续函数也必定可以用多项式来逼近.这样,在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论.
什么是逼近理论呢?举例来说,如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限,就说 A类函数能以 B类函数来逼近.如果已经掌握了 B类函数的某些性质,那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质.逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况.
和逼近理论密切相关的有正交级数理论,三角级数就是一种正交级数.和逼近理论相关的还有一种理论,就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论,这种理论叫做函数构造论.
总之,实变函数论和古典数学分析不同,它是一种比较高深精细的理论,是数学的一个重要分支,它的应用广泛,它在数学各个分支的应用是现代数学的特征.
实变函数论不仅应用广泛,是某些数学分支的基本工具,而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用,对形成近代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要的影响.
泛函分析的产生
十九世纪以来,数学的发展进入了一个新的阶段.这就是,由于对欧几里得第五公设的研究,引出了非欧几何这门新的学科;对于代数方程求解的一般思考,最后建立并发展了群论;对数学分析的研究又建立了集合论.这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件.
本世纪初,瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中,出现了把分析学一般化的萌芽.随后,希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究.到了二十年代,在数学界已经逐渐形成了一般分析学,也就是泛函分析的基本概念.
由于分析学中许多新部门的形成,揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方.比如,代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法,并且解的存在和唯一性条件也极其相似.这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了.泛函分析的产生正是和这种情况有关,有些乍看起来很不相干的东西,都存在着类似的地方.因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西.
非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知,n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响.这样,就显示出了分析和几何之间的相似的地方,同时存在着把分析几何化的一种可能性.这种可能性要求把几何概念进一步推广,以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间.
这时候,函数概念被赋予了更为一般的意义,古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系.现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系.
这里我们先介绍一下算子的概念.算子也叫算符,在数学上,把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子.
研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论,就产生了一门新的分析数学,叫做泛函分析.在二十世纪三十年代,泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了.
泛函分析的特点和内容
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了,而且还把这些概念和方法几何化了.比如,不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量,这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念.它既包含了以前讨论过的几何对象,也包括了不同的函数空间.
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具.n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动,实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统.比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子.一般来说,从质点力学过渡到连续介质力学,就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统.现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统.
正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样,研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学,这正是泛函分析的基本内容.因袭,泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学.古典分析中的基本方法,也就是用线性的对象去逼近非线性的对象,完全可以运用到泛函分析这门学科中.
泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支,它是古典分析观点的推广,它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论.他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了.
半个多世纪来,泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象,和某些研究手段,并形成了自己的许多重要分支,例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等;另一方面,它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展.它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用,还是建立群上调和分析理论的基本工具,也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一.今天,它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中,已成为近代分析的基础之一.
泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用.近十几年来,泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用.它还渗透到数学内部的各个分支中去,起着重要的作用.1年前查看全部
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如图,为什么上面只能是属于,下面是等于,这两个有什么区别呢?
最好有证明过程。根据定义第二个不是一一对应的。
你看一下定义
http://wenku.baidu.com/view/0e696ddc5022aaea998f0fdc.html
在13页。
如果简单,请把过程写一下,我想知道证明过程中到底哪里不一样。
反例我也会举得出来,但证明过程不好把握。
谢谢!
我写一下我的证明,证明第一个式子左边到右边。
记左边的为P,右边的为Q
y属于P,即存在x属于A1,A2……的交,使得y=f(x)
即对任意的alpha,成立x属于A_alpha,使得y=f(x)
于是对任意的alpha,y属于f(A_alpha)
于是y属于Q
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看了你的补充,现在说一下反过来哪里有问题。
对任意的y属于Q,有:对任意的alpha,y属于f(A_alpha)。
即
对任意的alpha,存在x_alpha属于A_alpha,使得f(x_alpha)=y。
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请问实变函数论中,测度m(A-B)>或=mA+mB,这个关系式是怎么来的?
还有如果设A,B为可测集,mB=0,则m(A-B)和mA之间的关系是什么?大于还是等于,还是小于,说出理由.
本人困惑了很久,linyn05921年前2
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shen7333219 共回答了22个问题
|采纳率90.9%m(A-B)>或=mA+mB 应该是m(A-B)>或=mA-mB
测度实际上是集合到【0,R)的一个映射,它必须满足通常的长度的基本关系.m(A-B)>或=mA-mB
这个是测度的次可加性,满足可加性的测度(如果还同时满足其他性质的话)是找不到的,只能退而求其次要求它满足次可加性.
mA》=m(A-B)》=mA+mB=mA 所以是等于.
另外mA》=m(A-B)是测度的单调性.1年前查看全部
- 实变函数中的集合的距离问题`两集合F1,F2不相交,能否推出它们之间的距离d(F1,F2)=infd(P,Q)>0?其中
实变函数中的集合的距离问题`
两集合F1,F2不相交,能否推出它们之间的距离
d(F1,F2)=infd(P,Q)>0?其中P属于F1,Q属于F2.请说明理由,给出详细的证明.
若F1,F2都是闭集呢?你的回答错了!F1=(0,1),F2=(1,2),两集合不相交,距离还是大于零。
你的证明不对啊!我可以举出反例啊!F1={Xn;Xn=n-1/n},F2={Yn;Yn=n+1/n},n是自然数,则F1,F2都是闭集,F1,F2不相交,但
d(F1,F2)=inf{1/2n}=0,n是自然数。
你所说的“由于F1,F2是闭集,那么Ak->A属于F1,Bk->B属于F2”不对啊!吊儿郎当小阿哥1年前1
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啥咪 共回答了15个问题
|采纳率93.3%不能.反例,F1=(0,1),F2=(1,2),两集合不相交,但是距离为零 -------------------------------期望你能复习一下inf的意义.对了,如果是两个都是闭集得话就对了.证明:反证如果d(F1,F2)=0,那么存在两数列Ak属于F1,Bk属...1年前查看全部
- 实变函数 依测度收敛设{fn}在区间[a,b]依测度收敛于f g(x)在R上一直连续 证明{g(fn)}在[a,b]依测
实变函数 依测度收敛
设{fn}在区间[a,b]依测度收敛于f g(x)在R上一直连续
证明{g(fn)}在[a,b]依测度收敛于{g(f)}卖棺材的女人1年前2
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jlhg2040 共回答了14个问题
|采纳率100%因为{fn}在区间[a,b]依测度收敛于f ,{fn}的子列{fni}依测度收敛于f.由黎斯定理,存在子列{fni},使得i趋近无穷大时lim{fni}=f,几乎处处于[a,b].
由g(x)在R上一致连续,得i趋近无穷大时lim g(fni)=g(f),几乎处处于[a,b].
在区间[a,b]上,由可测集上的连续函数是可测函数,得知g(fni)是可测函数且g(fni)是有限的.
再由Lebesgue定理:直接得到g(fni)依测度收敛于g(f)1年前查看全部
- 实变函数中看到的,比如ξ→0(趋近于0),箭头上有字母p或希腊字母μ,
sh_fei1年前1
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yezizhu1123 共回答了24个问题
|采纳率91.7%依概率收敛,依测度收敛1年前查看全部
- 一道周民强老师课本上的实变函数的题目
aenty1231年前1
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Mr_Baily 共回答了14个问题
|采纳率92.9%记e=q/2,令 Fn={x | f(x)=m时,其测度q-e=q/2,显然 f在E上的积分 > f在EFm上的积分 > q/m.1年前查看全部
- 实变函数中孤立点的定义?能不能举例子说明?
钱没处花爱来找碴1年前1
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ldb0509 共回答了10个问题
|采纳率90%比如(1,2)∪{3},其中3就是孤立点,孤立点(孤立点必须属于原集合)其实就是以该点为中心做个任意小的邻域,如果该邻域内除了该点外,与原集合交集为空集的话,则该点为孤立点.1年前查看全部
- 复变函数和实变函数的联系是什么?为什么要研究复变函数呢?
xiaoyaoyou20071年前1
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cyclone19 共回答了21个问题
|采纳率90.5%实变函数和复变函数都是研究函数的数学性质的,虽然只是定义域不同,但两门课的内容大相径庭,实变函数可以看做是数学分析的后继课程,主要是分析(勒贝格积分理论)的内容,而复变函数的研究手段和课程内容对数学三大分支:分析(柯西积分理论),几何(黎曼面理论),代数(魏尔斯特拉斯级数理论)都有涉及,且都占有很重要的位置.个人学习感觉是,解决复变函数的问题的方法很灵活,而实变函数的内容很有挑战性,很考验推理的严谨性(有许多和直观不附的现象)与数学构造能力.
我个人认为要回答为什么要干某事有时是一件不容易的事,不同的人干一件事也有不同的理由.有的人可能会觉得复变函数理论很有美感当作艺术去欣赏(大多数纯数学家),也有的人发觉复变函数理论与数学许多分支联系密切希望借助它更进一步理解数学分支之间的联系(数学史学家和一些纯数学家),还有的人发现复数运算有很多很好的性质(如表示旋转)可以在某些偏理论的实际问题中得到应用(好像复数及复变函数在电子电工领域有很广的应用,不大清楚),这些人是应用数学家和工程师.
就像是很难说为什么要去研究哥德巴赫猜想一样,看起来“不管大于等于6的偶数是否都能表示成两个素数的和”与我们的生活一点关系也没有,但是在试图解决它的同时发展了许许多多数论的新方法,更令人惊奇的是,作为最纯数学的“数论”竟能应用到导弹控制发射(华罗庚先生和王元先生做的研究工作).1年前查看全部
- 复变函数为什么在解析点处的各阶导数也解析,实变函数却不行,求导在图像上到底代表什么意思
highwayok1年前2
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zorro2393406 共回答了24个问题
|采纳率87.5%这个问题问的好啊!去年我在学复分析的时候也考虑过.我觉得关键在于复变函数的可导与实函数不一样.虽然都是函数值的变化比上自变量的变化的极限,但是一个是实数相除,而另一个是复数相除.而且如果把复变函数看成是R2到R2的映射的话,复变函数可导条件把复函数的实部和虚部联系在了一起(柯西黎曼条件),而如果在实函数可导意义下,仅是实部和虚部分别可导,它们之间推不出任何关系.可见复可导比实可导条件强.至于复函数的导数(对于固定点它是个复数)的几何意义,可以看成是过那一点的某条曲线与经过这个复函数映射下的曲线的单位切向量的夹角与长度的改变1年前查看全部
- 求助实变函数中riemann可积的问题
求助实变函数中riemann可积的问题
1 若E为[a,b]上测度为零的子集合,其特征函数在[a,b]上是否R-可积?
2 若E为[a,b]上的疏朗集,其特征函数在[a,b]上是否R-可积?
3 若E为[a,b]上测度为零的疏朗集,其特征函数在[a,b]上是否R-可积?
4 若E为[a,b]上测度为零的闭集,其特征函数在[a,b]上是否R-可积?坐看云起19791年前2
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wsdtc1999 共回答了14个问题
|采纳率92.9%有界区域内有界函数PIEMANN可积等价于不连续点集0测.
1不一定 [a,b]中有理数的特征函数 所有点处不连续.
2,3什么是 疏朗集?
4 R-可积 不连续点为此闭集中的点 0测1年前查看全部
- 实变函数中的Lebesgue点集与可微点集是否有包含关系?我感觉Lebesgue点集包含可微点集,
实变函数中的Lebesgue点集与可微点集是否有包含关系?我感觉Lebesgue点集包含可微点集,
说反了,我感觉是Lebesgue点集包含于可微点集GLD3211年前1
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小刀4522 共回答了25个问题
|采纳率84%Dirichlet函数在[0,1]上是Lebesgue可积的,从而在[0,1]上几乎处处是Lebesgue点.然而不可微.
注,有定理:若f ∈ L([a,b]),则对[a,b]中几乎处处的点x,都有
lim_{h rightarrow 0} (1/h) int_0^h |f(x+t) - f(x)| dt = 0.
即在[a,b]几乎处处是Lebesgue点.1年前查看全部
- 复变函数的导数实变函数中只要知道一个函数的解析式,就可以不用导数定义而只靠导数公式就可以求得导数.那么复变函数中是不是也
复变函数的导数
实变函数中只要知道一个函数的解析式,就可以不用导数定义而只靠导数公式就可以求得导数.那么复变函数中是不是也只要知道一个函数的解析式,就可以不用导数定义而只靠导数公式就可以求得导数?
不是复合函数yoyochan19871年前3
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紫鲱鸟 共回答了13个问题
|采纳率84.6%把函数分成实部和复部分别求导就行了
EG:y=2x+i(3x)
y'=2+i(3)1年前查看全部
- 实变函数 函数F和F的绝对值的可测和可积的关系
实变函数 函数F和F的绝对值的可测和可积的关系
RTwanglai8101年前1
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moving_xm 共回答了16个问题
|采纳率100%若F(x) Lebesgue可测则|F(x)|也Lebesgue可测,用定义直接证明.但是反过来不行,比如F在某不可测集上取1,余下取-1.
F(x) Lebesgue可积等价于|F(x)| Lebesgue可积,直接用定义验证.1年前查看全部
- 实变函数问题f是勒贝格可积的且一致连续,证明当x趋向于无穷时,f(x)的极限是否存在,若存在,证明其是否一定为零
ff52号1年前1
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PKCHEN68 共回答了16个问题
|采纳率75%是,并且是零.
可以假定f>=0,否则以|f| 代替f,仍然Lebesgue可积,并且一致连续.如果能证明 |f| 的极限是0,那么自然推出f的极限是0.
现在f>=0.对于给定的h>0,要找一个A,使得当x>A的时候,f(x)1年前查看全部
- 实变函数证明题证明:所有系数为有理数的多项式可数还没学过笛卡尔集合,可数集的笛卡尔乘积是可数集,这个定理也没学过
顶刮刮1年前1
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kelvin_ma 共回答了10个问题
|采纳率80%不高于n次的有理系数多项式集合和有理数的n+1次笛卡尔集合存在一一对应.
即Pn={f(x)|f(x)=a0+a1x+...+anx^n,ai∈Q}~Q^(n+1)
可数集的笛卡尔乘积是可数集,所以Pn是可数集
而所有有理系数的多项式集合为Pn,n从0到无穷的并集
可数个可数集的并是可数集.
笛卡尔乘积就是,把几个集合分别任取一个元素作为坐标形成的集合.比如A*B={(a,b)|a∈A,b∈B}.至于那个定理,很基本的,看书上的证明.1年前查看全部
- 实变函数 设f1,f2是rn中闭集,且f1∩f2=空集,试证明存在开集G1,G2,使得G1∩G2=空集且有G1包含F1,
实变函数 设f1,f2是rn中闭集,且f1∩f2=空集,试证明存在开集G1,G2,使得G1∩G2=空集且有G1包含F1,G2包含F2
咔叽龙卷风1年前1
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竹林斜影 共回答了14个问题
|采纳率85.7%王丽丽呀!1年前查看全部
- 二元实变函数导数的几何意义是什么
二元实变函数导数的几何意义是什么
一元实变函数的导数几何意义是该点斜率,那二元实变函数的导数的几何意义是什么呢?EMINENS1年前2
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lyx53115 共回答了17个问题
|采纳率100%为探索二元函数z=f(x,y)方向导数的几何特征,使用代数分析和矢量分析的方法研究函数z=f(x,y)的方向导数.对于由方程z=f(x,y)给出的曲面S上的曲线C:z=f(x,y)且y=y0+tanα.(x-x0),设L是过曲面S上(x0,y0,f(x0,y0))点曲线C的切线,θ是有向直线L与矢量AB→的夹角.那么二元函数z=f(x,y)在(x0,y0,f(x0,y0))点沿方向AB→的方向导数就是tanθ.1年前查看全部
- 对实变函数中鲁津定理的理解实变函数中的鲁津定理表达的是“可测函数都是基本上连续的函数”,但分段函数也是可测函数,我咋怎么
对实变函数中鲁津定理的理解
实变函数中的鲁津定理表达的是“可测函数都是基本上连续的函数”,但分段函数也是可测函数,我咋怎么看它也不像“基本上连续”的函数呢?它明明有间断点的呀,还是我对连续的定义理解的有偏差?梦中蝴蝶家万里1年前2
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wellgo1 共回答了11个问题
|采纳率100%什么叫"基本上连续"?
在这里,"基本上连续"的数学意义是:可测函数在其定义域上去掉一个测度任意小的集合后连续
分段函数是有间断点,但其间断点的集合的测度是任意小,所以是"基本上连续"1年前查看全部
- f(x)是定义于E上的实函数中的E是代表什么实变函数里面的
浮云1981年前2
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phoenixtigerdog 共回答了27个问题
|采纳率85.2%可测集!也是一个集合1年前查看全部
- 鲁丁的实分析与复分析就是实变函数与复变函数吗
evom1年前1
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cotine1 共回答了22个问题
|采纳率81.8%是的1年前查看全部
- 复变函数 x的平方+y的平方 只在z=0可导吗 实变函数是不是处处可导了
依然洋溢1年前0
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共回答了个问题
|采纳率
- 求证明,是一道实变函数题,但是是证明积分的极限等于0
求证明,是一道实变函数题,但是是证明积分的极限等于0
证明这个式子,是出现在实变函数课本中非负可测函数积分那一节的课后题.
晨媚21年前0
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共回答了个问题
|采纳率
- 实变函数里刚讲到勒贝格积分时,提到一个特征函数,f(x)=求和(ci*Xei(x))那个Xei(x)说是特征函数,那特征
实变函数里刚讲到勒贝格积分时,提到一个特征函数,f(x)=求和(ci*Xei(x))那个Xei(x)说是特征函数,那特征函数是什么意思,为什么是f(x),而不是f(x)的积分,就要用到求和了.
爱我妞妞1年前1
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gznicholas 共回答了15个问题
|采纳率86.7%集合的特征函数就是定义在这个集合内的点上的函数值为1,其他为01年前查看全部
- 谈谈对实变函数的认识.(可结合高等代数 近世代数作答) 不用大多 简答一下就行了
小海飞刀1年前1
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一指捕清风 共回答了23个问题
|采纳率91.3%实变函数就是实变量的函数,数学分析中微积分的那部分所讨论的函数都属于实变函数.所以要想学好实变函数,必须先学习数学分析.而近世代数(也叫抽象数学)是与密码学有关的一门学科,非常的难学!但我没发现其与实变函数有啥关系!
希望采纳1年前查看全部
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