等价关系证明,,看图

这两种表达的等价性其实就是高斯公式,∫∫Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=∫∫∫(P'x+Q'y+R'z)dxdydz,它揭示了闭曲面上的曲面积分与这闭曲面所围立体上的三重积分的关系.用矢量形式表示这个公式,令矢量F=(P,Q,R),矢量dS=(dydz,dxdz,dxdy),则高斯公式可以写成∫∫F*dS=∫∫∫(P'x+Q'y+R'z)dxdydz,对这个等式的右边使用积分中值定理,有∫∫∫(P'x+Q'y+R'z)dxdydz=f(M)V,其中f(M)表示在积分立体内部某点M处(P'x+Q'y+R'z)=▽*F的值,V表示该立体体积,所以有∫∫F*dS=(▽*F)V,对V趋于0时取极限,此时M点就趋于所求点,因此有lim∫∫F*dS/V=▽*F.