施瓦茨不等式的证明

自己展开算一下就看出来了.
这个等式也被称为Lagrange恒等式

[x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]
设x=(x1,x2...xn)
y=(y1,y2...yn)
则[x,y]^2=(x1y1+x2y2+...xnyn)^2
[x,x]*[y,y]=(x1^2+x2^2+...xn^2)(y1^2+y2^2+...+yn^2)
首先构造方程(x1z-y1)^2+(x2z-y2)^2+...+(xnz-yn)^2=0
z是未知数,其他的是参数.
我们知道这个方程最多只有一个解,这个方程可以改成
(x1^2+x2^2+...xn^2)z^2-2*=(x1y1+x2y2+...xnyn)*z+(y1^2+y2^2+...+yn^2)=0
那么它的Δ

提到的方法是Δ法,不是数学归纳法
证明的不等式是柯西不等式,不是施瓦茨不等式
柯西不等式(x1^2+x2^2+……+xn^2)(y1^2+y2^2+……+yn^2)≥(x1y1+x2y2+……+xnyn)^2
证明1：设A=x1^2+x2^2+……+xn^2,B=y1^2+y2^2+……+yn^2,C=x1y1+x2y2+……+xnyn
你构造的方程左边每一项都是平方大于等于0,右边等于0
则若该方程有解,则每一个括号里的式子应为0,否则无解
即你构造的方程有且仅有一个解或无解
展开你构造的方程得Az^2-2Cz+B=0,它的Δ=4C^2-4AB≤0
即为A*B≥C^2,得证.
你提到的y1/x1=y2/x2=...=yn/xn是满足等号的条件
证明2：构造向量A=(x1,x2,……,xn),B=(y1,y2,……,yn)
由AB=x1y1+x2y2+……+xnyn=|A||B|cos
(AB)^2=(|A||B|cos)^2≤|A|^2|B|^2=(x1^2+x2^2+……+xn^2)(y1^2+y2^2+……+yn^2)
施瓦茨不等式是柯西不等式的积分形式
[∫(a,b)f(x)g(x)dx]^2≤[∫(a,b)f^2(x)dx]*[∫(a,b)g^2(x)dx]
证明可以将b换成变量后求微分,或者不等式左边换成二重积分都可以

∫(f+λg)²dx=λ²∫g²dx +2λ∫fgdx+∫f²dx ≥0
因此,
(∫fgdx)²≥∫f²dx ∫g²dx

George Soros(as Schwartz György) is a Hungarian-American businessman,currency speculator,stock investor,philanthropist,and political activist.
Soros now is chairman of Soros Fund Management and the Open Society Institute and a former member of the Board of Directors of the Council on Foreign Relations.He played a significant role in Georgia's Rose Revolution,he is known for having donated large sums of money in an effort to defeat President George W.Bush's bid for re-election in United States.
本人是做翻译的,保证准确到位.提醒一下,一楼的机构翻译的是不准确的.

全称柯西施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz） 数学上,柯西—施瓦茨不等式,又称施瓦茨不等式或柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式,是一条很多场合都用得上的不等式,例如线性代数的矢量,数学分析的无穷级数和乘积的积分,和概率论的方差和协方差.最基本应用为 ||^2

施瓦茨不等式
一、高数中的施瓦茨不等式

证明：令,则
从而有,即
对的二次三项式讲,从而有
所以

二、线代中的施瓦茨不等式
[x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]
证明：
构造方程(x1z-y1)^2+(x2z-y2)^2+...+(xnz-yn)^2>=0
(x1^2+x2^2+...xn^2)z^2+2*z (x1y1+x2y2+...xnyn) +(y1^2+y2^2+...+yn^2)>=0
上面的不等式左边是关于z的一元二次方程
那么它的根判别式Δ

http://zhidao.baidu.com/question/73909003.html

全称柯西施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz）
数学上,柯西—施瓦茨不等式,又称施瓦茨不等式或柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式,是一条很多场合都用得上的不等式,例如线性代数的矢量,数学分析的无穷级数和乘积的积分,和概率论的方差和协方差.
最基本应用为
||^2

根据第(4)条可知[x+ty,x+ty]>=0 对所有的实数t都成立.然后根据第(3)、第(2)、第(1)将其展开得到关于t的二次表达式：[y,y]t^2+2[x,y]t+[x,x]>=0.然后利用关于t的判别式