斐波那契数列通项公式,

fenye_07042022-10-04 11:39:542条回答

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即斐波那契数列,“斐波那契数列”的发明者,是意大利数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci,生于公元1170年,卒于1240年.籍贯大概是比萨).他被人称作“比萨的列昂纳多”.1202年,他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书.他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人.他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事,派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区,列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学.他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学.
斐波那契数列指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21……
这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和.它的通项公式为:(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
很有趣的是:这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的.
【该数列有很多奇妙的属性】
比如:随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……
还有一项性质,从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1.
如果你看到有这样一个题目:某人把一个8*8的方格切成四块,拼成一个5*13的长方形,故作惊讶地问你:为什么64=65?其实就是利用了斐波那契数列的这个性质:5、8、13正是数列中相邻的三项,事实上前后两块的面积确实差1,只不过后面那个图中有一条细长的狭缝,一般人不容易注意到.
如果任意挑两个数为起始,比如5、-2.4,然后两项两项地相加下去,形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等,你将发现随着数列的发展,前后两项之比也越来越逼近黄金分割,且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值.
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数.
【斐波那契数列别名】
斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.
斐波那契数列
一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来.如果所有兔都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子?
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下:
第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是一对;
两个月后,生下一对小兔民数共有两对;
三个月以后,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对;
------
依次类推可以列出下表:
经过月数:0123456789101112
兔子对数:1123581321345589144233
表中数字1,1,2,3,5,8---构成了一个数列.这个数列有关十分明显的特点,那是:前面相邻两项之和,构成了后一项.
这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在<算盘全书>中提出的,这个级数的通项公式,除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性质外,还可以证明通项公式为:an=1/√[(1+√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.)
【斐波那挈数列通项公式的推导】
斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21……
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+).那么这句话可以写成如下形式:
F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
显然这是一个线性递推数列.
通项公式的推导方法一:利用特征方程
线性递推数列的特征方程为:
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2,X2=(1-√5)/2.
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5,C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
通项公式的推导方法二:普通方法
设常数r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1,-rs=1
n≥3时,有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘,得:
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r,F(1)=F(2)=1
上式可化简得:
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么:
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
(这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和)
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1,-rs=1的一解为 s=(1+√5)/2,r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
【C语言程序】
main()
{
long fib[40] = {1,1};
int i;
for(i=2;i
1年前
冷雨心_0 共回答了13个问题 | 采纳率
前两项之和得第三项的是斐波那契数列。
例:1、1、2、3、5、8、13、21......
1+1=2 1+2=3 2+3=5 3+5=8 5+8=13......
1年前

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谁能证明斐波那契数列通项公式
小美达1年前1
chjfox 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%
用构造法,希望你自己证出来
给你几个类似的例题
请看参考资料例题4
急求斐波那契数列通项公式证明方法(非特征根法)
急求斐波那契数列通项公式证明方法(非特征根法)
可以是数学归纳法
njgctr1年前2
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  通项公式的推导方法二:普通方法   设常数r,s   使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]   则r+s=1, -rs=1   n≥3时,有   F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]   F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]   F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)...
斐波那契数列通项公式是什么?这公式可以求什么啊?
雪点梅1年前4
DiDi_Y 共回答了16个问题 | 采纳率81.3%
这个数列是由13世纪意大利斐波那契提出的的,故叫斐波那契数列.该数列由下面的递推关系决定:
F0=0,F1=1
Fn+2=Fn + Fn+1(n>=0)
它的通项公式是 Fn=1/根号5{[(1+根号5)/2]的n次方-[(1-根号5)/2]的n次方}(n属于正整数)
补充问题:
菲波那契数列指的是这样一个数列:
1,1,2,3,5,8,13,21……
这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和
它的通项公式为:[(1+√5)/2]^n /√5 - [(1-√5)/2]^n /√5 【√5表示根号5】
很有趣的是:这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的.
该数列有很多奇妙的属性
比如:随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……
还有一项性质,从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
如果你看到有这样一个题目:某人把一个8*8的方格切成四块,拼成一个5*13的长方形,故作惊讶地问你:为什么64=65?其实就是利用了菲波那契数列的这个性质:5、8、13正是数列中相邻的三项,事实上前后两块的面积确实差1,只不过后面那个图中有一条细长的狭缝,一般人不容易注意到
如果任意挑两个数为起始,比如5、-2.4,然后两项两项地相加下去,形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等,你将发现随着数列的发展,前后两项之比也越来越逼近黄金分割,且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值
斐波那契数列通项公式,要过程
丸乐泉1年前1
火武孤独 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%
听都没听过,小伙伴惊呆了。给大神跪了。
急求斐波那契数列通项公式证明方法(非特征根法)
急求斐波那契数列通项公式证明方法(非特征根法)
可以是数学归纳法
qwerty12411年前1
蓝忧美倩 共回答了18个问题 | 采纳率100%
要是允许数学归纳法那就简单了.死算就是.
求证:F(n) = 1/sqrt(5) * [(1+sqrt(5))/2] ^ n - 1/sqrt(5) * [(1-sqrt(5))/2] ^ n
证明:显然F(1) = 1,符合通项;
采用第二类归纳法,假设当n
最伟大的斐波那契数列通项公式谁会求...........A(n+2)=(An+1)+An求An
最伟大的斐波那契数列通项公式谁会求...........A(n+2)=(An+1)+An求An
详细过程
(应该没人会)
cwangjoyo1年前3
gigi323232 共回答了20个问题 | 采纳率90%
设n是正整数,α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2.则第n个斐波那契数f_n由下式给出: f_n=1/√5 (α^n-β^n ). 证明分别用线性齐次递归关系和母函数来求。 有大量关于这些数以及他们在植物学、计算机科学、地理学、物理学以及其他领域的应用文献。甚至有一个学术期 刊《斐波那契季刊》(The Fibonacci Quarterly),专门报道关于它们的研究。...
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