AB,CD为圆中两弦,AB垂直CD于E,AE=2,EB=6,ED=4则该圆的直径为

给你画了第一题的图,
因为AB为直径,所以∠ACB=∠ACE+∠DCB=90°
因为∠AEC=90°所以∠ACE+∠CAB=90°
所以∠DCB=∠CAB
第二题
因为∠B=90°
所以∠ADC=90°
所以∠ADO+∠EDC=90°
又因为∠ADO+∠DAO=90°
所以∠EDC=∠DAO
因为∠EDC=∠DAO
∠AOD=∠ECD,
所以 三角形 ADO相似三角形DEC

证明：
在三角形ABC中,AB是直径,C是圆上的点
所以角ACB=90,即BC垂直于AC
OF垂直AC
所以OF平行BC
∵AB⊥CD
∴CE= 1/2CD=5√3cm．
在直角△OCE中,OC=OB=x+5（cm）,
根据勾股定理可得：(x+5)^2=(5√3)^2+x^2
解得：x=5
∴tan∠COE= 5√3/5=√3,
∴∠COE=60°,
∴∠COD=120°,
∴扇形COD的面积是：(120π×10^2)/360= 100π/3平方厘米.
△COD的面积是：1/2CD•OE= 1/2×10√3×5=25√3平方厘米.
∴阴影部分的面积是：（ 100π/3-25√3）平方厘米

问题不是很严谨吧.AB垂直CD若在OC边,AC长为2√5；AB垂直CD若在OD边,AC长为4√5.

连接OA、OB、OC、OD
圆弧的度数等于其所对的圆心角的度数
∴弧AD=∠AOD,弧BC=∠BOC
圆内角的度数等于它所对两个圆弧度数和的一半
∴∠AED=1/2(弧AD+弧BC) = 1/2(∠AOD+∠BOC)
AB垂直CD于E
∠AED=90°
∴1/2(∠AOD+∠BOC) = 90°
∴∠AOD+∠BOC = 180°

既然是高中的题目,那就不是要求用平面几何的知识做.
证：
分别用a、b、c、d表示向量OA、OB、OC、OD,不妨设圆O为单位圆,则|a|=|b|=|c|=|d|=1,即a^2=b^2=c^2=d^2=1.H为AD中点,所以OH=1/2*(a+d).
由圆内角定理,∠AMD=1/2*(∠BOC+∠AOD),
（∠AMD=∠ABD+∠BDM=∠ABD+∠BDC=1/2*∠AOD+1/2*∠BOC）
因为AB⊥CD,即∠BMC=π/2,故π=∠BOC+∠AOD,
所以cos∠BOC+cos∠AOD=0,……①
因为a·d=2*|a|*|d|*cos∠AOD=2*cos∠AOD,
同理b·c=2*cos∠BOC,
由①式得,a·d+b·c=0.……②
|OH|=1/2*|BC|
<=>4*|OH|^2=|BC|^2
<=>4*OH^2=BC^2
<=>(a+d)^2=(c-b)^2
<=>(a+d)·(a+d)=(c-b)·(c-b)
<=>a^2+d^2+2*a·d=b^2+c^2-2*b·c
<=>a·d=-b·c （a^2=b^2=c^2=d^2=1）
<=>a·d+b·c=0,
由②知,这是成立的.
证毕.
也可以用三角函数的方法.
设A(cos θ1, sin θ1)、B(cos θ2, sin θ2)、C(cos θ3, sin θ3)、D(cos θ4, sin θ4),
H=1/2*(A+D)=1/2*(cos θ1+cos θ4, sin θ4+sin θ1)=,
|OH|^2=1/4*(cos θ1+cos θ4)^2+1/4*(sin θ4+sin θ1)^2=1/2*(1+cos(θ1-θ4)),
由余弦定理,|BC|^2=2-2*cos(θ2-θ3),（如果不愿意用余弦定理,可以现算出向量BC,再求出|BC|^2,化简后结果一样）
|OH|=1/2*|BC|
<=>4*|OH|^2=|BC|^2
<=>4*OH^2=BC^2
<=>2*(1+cos(θ1-θ4))=2-2*cos(θ2-θ3)
<=>cos(θ1-θ4)=-cos(θ2-θ3)
<=>cos(θ1-θ4)+cos(θ2-θ3)=0
<=>存在k,使得 |θ1-θ4|+|θ2-θ3|=2kπ+π,
由圆内角定理,π/2=∠AMD=1/2*(∠BOC+∠AOD),即π=∠BOC+∠AOD,即
|θ1-θ4|+|θ2-θ3|=π.
于是原命题得证.
如果不愿意用圆内角定理,可以直接通过三角知识来证.
向量BA=(cos θ1-cos θ2, sin θ1-sin θ2)=2*sin((θ1-θ2)/2)*(sin((θ1+θ2)/2), cos((θ1+θ2)/2)),
DC=(cos θ3-cos θ4, sin θ3-sin θ4)=2*sin((θ3-θ4)/2)*(sin((θ3+θ4)/2), cos((θ3+θ4)/2)),
由于BA、DC不为0向量,所以2*sin((θ1-θ2)/2)≠0,2*sin((θ3-θ4)/2)≠0,
因为AB⊥CD,所以BA·DC=0,故
sin((θ1+θ2)/2)*sin(θ3+θ4)/2)+cos((θ1+θ2)/2)*cos((θ3+θ4)/2)=0,
即cos[(θ1+θ2)/2-(θ3+θ4)/2]=0,
cos[(θ1-θ4)/2+(θ2-θ3)/2]=0,
(θ1-θ4)/2+(θ2-θ3)/2=kπ+π/2,
(θ1-θ4)+(θ2-θ3)=2kπ+π,
得证.

∵AB⊥CD
∴∠BOD=90°
∴∠2=∠BOD-∠1=90°-25°=65°
∵∠3=∠1
∴∠3=25°
∴∠4=180°-∠3=180°-25°=155°

角A=角D
证明：
因为
在直角三角形ABC与直角三角形DBE中,
AB=BD,AC=DE,
所以
直角三角形ABC与直角三角形DBE全等；
所以
角A=角D.

证明：
因为OA＝OC
所以∠ACO＝∠A
因为AB为圆O的直径,CD是弦,且AB垂直CD于E
所以弧BC＝弧BD
所以∠A＝∠BCD
（等弧所对的圆周角相等）
所以∠ACO＝∠BCD

因为AB CD EF交于点O,所以∠COF=∠EDO=30 ∵AB ⊥CD∴∠AOD=90所以∠AOE=60
或DOE=COF=30 90+30=120=∠AOE 所以本题有两60或120

∵AB为圆O的直径,CD是弦,且AB垂直CD于点E,∴CE=DE=1/2CD=1㎝
设圆的半径为R,∵AB⊥CD ∴△OEC为直角三角形且∠CEO=90°
∴1²+（8-R)²=R² (根据三角形勾股定理)
∴R=65/16㎝
则圆O直径为65/8㎝

证明：
在三角形ABC中,AB是直径,C是圆上的点
所以角ACB=90,即BC垂直于AC
OF垂直AC
所以OF平行BC
∵AB⊥CD
∴CE= 1/2CD=5√3cm．
在直角△OCE中,OC=OB=x+5（cm）,
根据勾股定理可得：(x+5)^2=(5√3)^2+x^2
解得：x=5
∴tan∠COE= 5√3/5=√3,
∴∠COE=60°,
∴∠COD=120°,
∴扇形COD的面积是：(120π×10^2)/360= 100π/3平方厘米.
△COD的面积是：1/2CD•OE= 1/2×10√3×5=25√3平方厘米.
∴阴影部分的面积是：（ 100π/3-25√3）平方厘米

证明：
因为OA＝OC
所以∠ACO＝∠A
因为AB为圆O的直径,CD是弦,且AB垂直CD于E
所以弧BC＝弧BD
所以∠A＝∠BCD
（等弧所对的圆周角相等）
所以∠ACO＝∠BCD
供参考!JSWYC

因为AB是直径,所以∠ACB=90º,
OF⊥AC.得∠AFO=90º
所以OF//BC（同位角相等）
得∠CBE=∠AOF
由AB⊥CD得∠BEC=90º
则∠BEC=∠AFO
BE=OF
得ΔAFO≌ΔCEB
阴影部分不知道图没法求,不过一般可以根据圆面积减三角形面积求

32

AE.BE为方程{x}^{2}-8x+{k}^{2}=0的两个根,所以x1+x2=8,即AB=8
所以AB的弦心距=根号下（5²-（8/2）²）=3
所以CD的弦心距=根号下（4²-3²）=根号7
x1 X x2=k²=（（8/2）+根号7）X（（8/2）-根号7）=9
所以k=3或-3

过B作BE⊥CD交CD于E,过C作CF⊥BD交BD于F,令BE∩CF＝O.
∵CD⊥AB、CD⊥BE,AB∩BE＝B,∴CD⊥平面ABE,又AO在平面ABE内,∴AO⊥CD.
∵BD⊥AC、BD⊥CF,AC∩CF＝C,∴BD⊥平面ACF,又AO在平面ACF内,∴AO⊥BD.
由AO⊥CD、AO⊥BD,CD∩BD＝D,∴AO⊥平面BCD,∴DO是AD在平面BCD上的射影.
由BE⊥CD、CF⊥BD,BE∩CF＝O,得：DO⊥BC.　［三角形的三条高共点］
结合证得的DO是AD在平面BCD上的射影,得：AD⊥BC.　［三垂线定理］

1、面面垂直,则垂直于交线(BC)的直线(DC)垂直面ABC,则DC⊥面内任意直线(AB)；
2、过A作AO⊥面BCD,则O必是BC中点,则∠ACO即为直线AC与平面BCD所成角,计算得∠ACO=60°.

是.
由AB＝AB,角ABC＝角ABD,AB＝BC,可以证明（SAS）.

(1)∵∠ABC=∠CBE
AB为直径
∴∠ACB=∠BEC=90
∴∠BAC=∠BCE
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∴∠OAC=∠BCE
(2)113/8

是AB∥CD,AE∥CF吧?
∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,
∵AE∥CF,∴∠EAC=∠FCA,
∵∠BAC-∠EAC=∠DCA-∠FCA,
∴∠BAE=DCF(等量-等量=等量）

因为∠ECB为45度,∠CDF为45度,所以∠CFD为90度,即CF与AD垂直

OE两种情况,一种靠近AB,一种靠近CD；同理OF也是两种情况,一种靠近AB,一种靠近CD
组合一下,
OE靠近AB,角BOE等于90/3=30度,
对应OF两种情况,
靠近AB,角BOF等于90/4=22.5度,角EOF为52.5度,
靠近CD,角BOF等于90-90/4=90-22.5=67.5度,角EOF为97.5度
OE靠近CD,角BOE等于90-90/3=60度,
对应OF两种情况,
靠近AB,角BOF等于90/4=22.5度,角EOF为82.5度,
靠近CD,角BOF等于90-90/4=90-22.5=67.5度,角EOF为127.5度

如图所示：