210的正约数个数请附带说明

例如:36=3*3*2*2
那么约数个数为(2+1)+(2+1)

解题思路：分这个数中只含有一个质因数、两个质因数、三个质因数分析探讨即可得出答案．

①如果恰有一个质因数，那么约数最多的是2⁶=64，
6+1=7（个），64有7个约数；
②如果恰有两个不同质因数，那么约数最多的是2³×3²=72和2⁵×3=96，
（3+1）×（2+1）=12
（5+1）×（1+1）=12
72和96各有12个约数；
③如果恰有三个不同质因数，那么约数最多的是2²×3×5=60，2²×3×7=84和2×3²×5=90，
它们的约数个数都是：
（2+1）×（1+1）×（1+1）=12
所以60、84、90各有12个约数．
所以100以内约数最多的自然数是60，72，84，90和96，它们都有12个约数．

点评：
本题考点： 约数个数与约数和定理．

考点点评： 此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pα×qβ×rγ（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．

解题思路：先把2800分解质因数，找出属于完全平方数的约数的个数，再进一步分析，找出符合题意的答案．

任何一个正整数，其约数应该是成对出现的，这意味着，一般情况下，一个正整数应该有偶数个约数；但当正整数有为完全平方数的约数时，就会有奇数个约数；
根据题意：“两个数的乘积等于2800，其中一个数的约数个数比另一个数的约数多1”，这表明：这两个数中有一个是完全平方数；
由于：2800=2×2×2×2×5×5×7，其属于完全平方数的约数有五个：2²=4、4²=16、5²=25、10²=100、20²=400，
分别进行分析：2800=4×700，各有3个和16个约数，不符合题意，=7×400，各有2个和15个约数，不符合题意，
2008=16×175，各有5个和6个约数，符合题意，=25×112，各有3个和10个约数，不符合题意，=28×100，各有6个和9个约数，不符合题意．
故答案为：16，175．

点评：
本题考点： 约数个数与约数和定理．

考点点评： 解决此题关键是先将2800分解质因数，再逐步找出符合条件的数．

一个数的约数多,则该数的质因数应尽可能的小,且质因数应尽可能的多,试验可得∶96＝2的五次方·3,72＝2·3,60＝2·3·5 ,84＝2·3·7,90＝2·3·5 它们都有12个约数

解题思路：分这个数中只含有一个质因数、两个质因数、三个质因数分析探讨即可得出答案．

①如果恰有一个质因数，那么约数最多的是2⁶=64，
6+1=7（个），64有7个约数；
②如果恰有两个不同质因数，那么约数最多的是2³×3²=72和2⁵×3=96，
（3+1）×（2+1）=12
（5+1）×（1+1）=12
72和96各有12个约数；
③如果恰有三个不同质因数，那么约数最多的是2²×3×5=60，2²×3×7=84和2×3²×5=90，
它们的约数个数都是：
（2+1）×（1+1）×（1+1）=12
所以60、84、90各有12个约数．
所以100以内约数最多的自然数是60，72，84，90和96，它们都有12个约数．

点评：
本题考点： 约数个数与约数和定理．

考点点评： 此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pα×qβ×rγ（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．

我提出一个思路：
编程求因子数为2,3,4,.的相邻数对.然后找出因子数形如某类数时的一系列构造性解.
(以下字母x,y,z,w,…均为素数)
d(n)=2,(2,3)
d(n)=3,无解,即x^2-y^2=±1无正整解.
d(n)=4,x^3-yz=±1 ,如(27,26)
或xy-zw=±1,如(14,15)
...
以上没有找到构造性解(呵呵).因为素数分布与一个数的因子分布都是公认的难题.不过大家不要放弃希望,总有一天,人们会解决的.

需要先把一个数分解"质因数",然后再算约数的个数和所有约数之和.
1.约数的个数等于:所有质因数的指数加上1后的乘积;
若一个数分解质因数后为(a^m)*(b^n),其中a,b均为质因数;m,n均为相应质因数的指数.
则约数个数为(m+1)(n+1).
例如:(1)12=2²*3,质因数有2和3,其指数分别为2和1,那么12的约数有(2+1)*(1+1)=6(个);
(2)60=2²*3*5,质因数2,3,5的指数分别为2,1,1,那么60的约数有(2+1)*(1+1)*(1+1)=12(个).
2.一个数所有约数之和等于:先把每个质因数从0次幂一直加到其最高次幂,再把每个相应质因数幂的和相乘.
若一个数分解为(a^m)*(b^n),则这个数所有约数的和为:
(a^0+a^1+a^2+a^3+…+a^m)(b^0+b^1+b^2+b^3+…+b^n).
例如:(1)12=2²*3,则12所有约数的和为：(2^0+2^1+2^2)*(3^0+3^1)=7*4=28;
(2)60=2²*3*5=(2^0+2^1+2^2)*(3^0+3^1)*(5^0+5^1)=7*4*6=168.

解题思路：分这个数中只含有一个质因数、两个质因数、三个质因数分析探讨即可得出答案．

①如果恰有一个质因数，那么约数最多的是2⁶=64，
6+1=7（个），64有7个约数；
②如果恰有两个不同质因数，那么约数最多的是2³×3²=72和2⁵×3=96，
（3+1）×（2+1）=12
（5+1）×（1+1）=12
72和96各有12个约数；
③如果恰有三个不同质因数，那么约数最多的是2²×3×5=60，2²×3×7=84和2×3²×5=90，
它们的约数个数都是：
（2+1）×（1+1）×（1+1）=12
所以60、84、90各有12个约数．
所以100以内约数最多的自然数是60，72，84，90和96，它们都有12个约数．

点评：
本题考点： 约数个数与约数和定理．

考点点评： 此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pα×qβ×rγ（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．