在正四面体OABC中,M为OA中点,过O作平面ABC的垂线,垂足为H,OH与平面BCM交于I,将向量OI用向量OA,OB

首先看正四面体的体积：
对于正四面体有如下结论最好记住：
棱长为a的正四面体：(1)高位a√6/3(即三分之根号六倍a)-此题中用该结论较方便；
(2)外接球半径为a√6/4(即四分之根号六倍a)
(3)内切球半径为a√6/12(即十二分之根号六倍a).
由结论(1)该题中正四面体的高为√6/3,所以其体积为
(1/3)( √3/4)( √6/3)= √2/12
然后底面ABC下面的其实是一个球冠,球冠的体积公式如下(这个知识点应该超纲了)：
V= h (2兀/3)R^2 其中h为球冠的高,R为球冠所在球的半径
此题中球冠的高=球的半径-正四面体的高=1-√6/3
所以球冠的体积=(1-√6/3) (2兀/3)= 兀(6-2√6)/9
因此总体积=√2/12+兀(6-2√6)/9

向量太难表示了,我用小写字母表示向量吧,比如向量OI ,用oi表示
因为 oh = oa+ah = ob+bh = oc+ch
所以 3oh = oa+ob+oc+(ah+bh+ch) 而H是△ABC的中心,所以(ah+bh+ch)=0
所以 oh = 1/3 *(oa+ob+oc)
下面只要找到OI与OH的关系就可以了
△OAC是等边三角形,M是OA中点,所以有CM⊥OA ,同理BM⊥OA
所以OA⊥平面BCM ,又因为MI是平面BCM的一条直线,故 OA⊥MI
在Rt△OMI中,OL²=OM²+MI²
在Rt△AMI中,AL²=AM²+MI² ,而OM=AM ,所以OI=AI
在Rt△AHI中,AI²=AH²+IH²=OI² ,所以有 OI²=AH²+IH²=AH²+(OH-0I)² .(1)
因为H是△ABC的中心,很容易求出,AH²=1/3 *AB² （过H作AB的垂线,垂足为J,则HJ=1/2 *AH ,再用勾股定理得到上式）
而在Rt△OHA中,OH²=OA²-AH²=AB²-1/3AB²=2/3AB² ,即AB²=3/2 *OH²
所以 AH²=1/2 OH²
代入（1)式,得到 OI²= 1/2 OH²+(OH-0I)² ,整理得：OI=3/4 OH
所以 oi = 3/4 oh = 3/4 * 1/3 (oa+ob+oc) = 1/4 (oa+ob+oc)
够详细了吧,有什么不懂的地方就发消息给我了

连接EC,取EC的中点为M,连接FM,BM,则角BFM即为所求.三角形BFM三边易求,最后求得角BFM的余弦值是2/3.

在棱长为1的正四面体OABC,设三角形ABC的重心为M
OA=OM+MA
OB=OM+MB
OC=OM+MC
向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC
=(x+y+z)*向量OM+x向量MA+y向量MB+z向量MC
=向量OM+x向量MA+y向量MB+z向量MC
则 x向量MA+y向量MB+z向量MC=向量MP
M平面ABC中,则P在平面ABC中
则向量OP的模的最小值为O到平面ABC的距离
由勾股定理得OP的模的最小值为：(根号3)/6
当x=1/3 y=1/3 z=1/3 取最小值

DE=gen3/3*[(a+b)/2-c]