代数恒等式有什么意义?(a^2+b^2)*(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2书上说这是二次型类的

（a+b） ² -（a-b） ² =4ab

证明思路：
1/n=(1/1+1/n)/(n+1)
1/[2(n-1)]=[1/2+1/(n-1)]/(n+1)
……………………
所以可证明：
左边=1/(1*n) +1/(2*(n-1))+1/(3*(n-2))+……+1/(i*(n-i+1))+.……+1/(n*1)
=1/(n+1)(1/1+1/n+1/2+1/(n-1)+1/3+1/(n-2)+……+1/i+1/(n-i+1)+……+1/n+1/1)
=1/(n+1)[(1/1+1/2+1/3+……+1/i+……+1/n)+(1/n+1/(n-1)+1/(n-2)+……+1/(n-i+1)+……+1/1)]
=2/(n+1)(1/1+1/2+1/3+……+1/i+……+1/n)
=右边

解题思路：利用图形边长，分别表示出图形面积进而得出答案．

如图可表示的代数恒等式是：2m（m+n）=2m²+2mn．
故选：C．

点评：
本题考点： 单项式乘多项式．

考点点评： 此题主要考查了恒等式的推导，根据图形面积得出是解题关键．

那就是求出A和B
4/(x^2-1)=A/(x+1)+B/(x-1)
4/(x^2-1)=A(x-1)/(x^2-1)+B(x+1)/(x^2-1)
得到A+B=0 -A+B=4
所以A=-2 B=2

解题思路：（1）图（2）中，大长方形边长为（x+y），（2x+y），图形中包括了两个边长为x的正方形，三个边长为x、y的长方形，一个边长为y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式；
（2）图（3）中，大长方形边长为（x+2y），（2x+y），图形中包括了两个边长为x的正方形，五个边长为x、y的长方形，二个边长为y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式；
（3）根据题意，画出边长为（x+y），（x+3y）的长方形，再将图形划分，利用面积关系说明等式．

（1）由图（2）的面积关系可知，（x+y）（2x+y）=2x²+3xy+y²；
故答案为：2x²+3xy+y²；

（2）由图（3）的面积关系可知，（x+2y）（2x+y）=2x²+5xy+2y²；
故答案为：（x+2y）（2x+y）=2x²+5xy+2y²；

（3）以边长为（x+y），（x+3y）画长方形，如图所示，

由图可知，（x+y）（x+3y）=x²+4xy+3y²．

点评：
本题考点： 平方差公式的几何背景；完全平方公式的几何背景．

考点点评： 本题考查了平方差公式的几何背景，完全平方公式的几何背景．关键是利用形数结合的方法，由大长方形得出图形的长与宽，计算面积，再看图形中包括的小长方形个数及每个小长方形的面积，得出面积结论．

1,(a+b)(2a+b)=2a^2+3ab+b^2
2,(a+2b)(2a+b)=2a^2+5ab+2b^2

解题思路：用大正方形的面积减去小正方形的面积表示四个矩形纸片的面积，也可以直接利用矩形的面积公式表示，两种方法表示的面积相等列式即可得解．

四个矩形的面积为：（a+b）²-（a-b）²，
也可以表示为4ab，
所以，恒等式为：（a+b）²-（a-b）²=4ab．
故答案为：（a+b）²-（a-b）²=4ab．

点评：
本题考点： 完全平方公式的几何背景．

考点点评： 本题考查了完全平方公式的几何背景，仔细观察图形，用两种方法表示出四个矩形的面积是解题的关键．

在大的长方形中,长是4a,宽是2b
长方形的面积是：长×宽＝4a×2b
长方形的面积由8个小正方形组成
每个小正方形的面积是：a×b
所以有恒等式：4a×2b=8×a×b
怎么一个问题问两次啊?
等待回答要有耐性,正如知道所言,总有人会知道你的答案的.

（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2

1、(2a+b)(a+2b)=2a^2+5ab+2b^2

（1）（a+b） ² ，

（2）①（a+b） ² =（a-b） ² +4ab或（a+b） ² -（a-b） ² =4ab或（a-b） ² =（a+b） ² -4ab；

（2）②由①得：（a+b） ² =（a-b） ² +4ab，
依题意得a-b=3，ab=1，（a+b） ² =3 ² +4×1=13，
∵a、b都是正数，
∴a+b＞0
∴a+b=
13 ．

解题思路：根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积-小正方形的面积=4个矩形的面积．

∵大正方形的面积-小正方形的面积=4个矩形的面积，
∴（a+b）²-（a-b）²=4ab．

点评：
本题考点： 完全平方公式的几何背景．

考点点评： 能够正确找到大正方形和小正方形的边长是难点．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．

A Boy and His Tree
A long time ago,there was a huge apple tree.A little boy loved to come and play around it every day.He climbed to the tree top,ate the apples,took a nap under the shadow… He loved the tree and the tree loved to play with him.
　　Time went by…The little boy had grown up and he no longer played around the tree.
　　One day,the boy came back to the tree and looked sad.“Come and play with me,” the tree asked the boy.
　　“I am no longer a kid,I don’t play around trees anymore.” The boy replied,“I want toys.I need money to buy them.” “Sorry,but I don’t have money…but you can pick all my apples and sell them.So,you will have money.” The boy was so excited.He picked all the apples on the tree and left happily.The boy didn’t come back after he picked the apples.The tree was sad.
　　One day,the boy returned and the tree was so excited.“Come and play with me.” The tree said.“I don’t have time to play.I have to work for my family.We need a house for shelter.Can you help me?” “Sorry,but I don’t have a house.But you can cut off my branches to build your house.” So the boy cut all the branches of the tree and left happily.
　　The tree was glad to see him happy but the boy didn’t appear since then.The tree was again lonely and sad.One hot summer day,the boy returned and the tree was delighted.“Come and play with me!” the tree said.
　　“I am sad and getting old.I want to go sailing to relax myself.Can you give me a boat?” “Use my trunk to build the boat.You can sail and be happy.” So the boy cut the tree trunk to make a boat.He went sailing and did not show up for a long time.
　　Finally,the boy returned after he left for so many years.“Sorry,my boy.But I don’t have anything for you anymore.No more apples for you.” the tree said.“ I don’t have teeth to bite.” The boy replied.“ No more trunk for you to climb on.” “I am too old for that now.” the boy said.“I really want to give you something…the only thing left is my dying roots.” The tree said with tears.“I don’t need much now,just a place to rest.I am tired after all these years.” The boy replied.“Good!Old tree roots are the best place to lean on and rest.Come here,please sit down with me and have a rest.” The boy sat down and the tree was glad and smiled with tears…
　　This is a story of everyone.The tree is our parent.When we were young,we loved to play with Mom and Dad… When we grow up,we leave them,and only come to them when we need something or when we are in trouble.No matter what,parents will always be there and give everything they could to make you happy.You may think that the boy is cruel to the tree but that

已知4/(x+1)(x-1)=A/(x+1)+B/(x-1)
则4/(x+1)(x-1)=[A(x-1)+B(x+1)]/(x+1)(x-1)=[(A+B)x+(B-A)]/(x+1)(x-1)
所以A+B=0 (1)
B-A=4 (2)
(1)+(2) B=2
代入（1）A=-2
即为所求

由两个代数式用等号（=）连接的式子叫做代数等式,当两边代数式中的未知数取任意有意义的数值时,等号两边的结果仍相等,我们就叫此式为代数恒等式.

（m+n）（m+3n）

2个A 3个B 1个C
：(2a+b)(a+b)=2a²+3ab+b² 因为 “2a²+3ab+b²”

解题思路：（1）根据图形面积可以得出公式；
（2）①根据面积关系可以得出公式（a+b）²=（a-b）²+4ab或 （a+b）²-（a-b）²=4ab或（a-b）²=（a+b）²-4ab；
②再利用长方形纸片的面积为1，长比宽长3，得出a，b关系求出即可．

（1）（a+b）²，

（2）①（a+b）²=（a-b）²+4ab或（a+b）²-（a-b）²=4ab或（a-b）²=（a+b）²-4ab；

（2）②由①得：（a+b）²=（a-b）²+4ab，
依题意得a-b=3，ab=1，（a+b）²=3²+4×1=13，
∵a、b都是正数，
∴a+b＞0
∴a+b=
13．

点评：
本题考点： 完全平方公式的几何背景；完全平方式．

考点点评： 此题考查了对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．

如图

解题思路：图（3）求的是阴影部分的面积，同样，图（4）正方形的面积用代数式表示即可．

图（4）中，
∵S_正方形=a²-2b（a-b）-b²=a²-2ab+b²=（a-b）²，
∴（a-b）²=a²-2ab+b²．
故选B．

点评：
本题考点： 完全平方公式的几何背景．

考点点评： 关键是找出阴影部分面积的两种表达式，化简即可．

解题思路：此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是大正方形的面积减去小正方形的面积，还可以表示成4个小长方形的面积；由面积相等，可得等式（a+b）²-（a-b）²=4ab．

由图②，可知：
大正方形的面积为：（a+b）²，小正方形的面积为（a-b）²，
∴阴影部分的面积为：（a+b）²-（a-b）²，
∵阴影部分的面积还可表示为：4ab，
∴（a+b）²-（a-b）²=4ab．

点评：
本题考点： 完全平方公式的几何背景．

考点点评： 本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．

解题思路：（1）图形表示一个边长是a+2b与2a+b的矩形的面积；
（2）用边长是a+2b的正方形的面积表示即可．

（1）（a+2b）（2a+b）=2a²+5ab+2b²
（2）

点评：
本题考点： 完全平方公式的几何背景．

考点点评： 本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．

解题思路：如图，两种图形可以说明：
（1）（a-b）²=a²-2ab+b²；
（2）（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac成立．

（1）边长为（a-b）的正方形的面积可以直接由正方形面积公式表示为（a-b）²；
又可以用边长为a的正方形的面积，减去2个长为a，宽为b的长方形面积，加上边长为b的正方形的面积，
结果用含a，b的式子表示为a²-2ab+b²；

（2）
已知大正方形的边长为a+b+c，


利用图形的面积关系可得：（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac．

点评：
本题考点： 完全平方公式的几何背景．

考点点评： 本题考查了完全平方公式的几何意义，是对（a-b）2=a2-2ab+b2和（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac的几何证明．

面积 S=ab,画一个长方形,长=a,宽=b.

（1）（2a+b）(a+2b)=2a ² +5ab+2b ² ；
（2）图“略”；（3）“略”

（a+b） ² -（a-b） ² =4ab

a（b+c），ab+ac，a（b+c）=ab+ac；

（1）证明：正方形的面积：（a+b） ² ，
正方形的面积也可以表示为：4×
1
2 ab+c ² ，
所以，4×
1
2 ab+c ² =（a+b） ² ，
即c ² =a ² +b ² ；

（2）如图所示，正方形的面积可以表示为：（a+b） ² ，
也可以表示为a ² +2ab+b ² ，
所以，（a+b） ² =a ² +2ab+b ² ．

kan tu a

解题思路：（1）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别．
（2）利用甲、乙两图形的面积得出（a+2b）²-8ab=中间正方形小洞的面积，进而得出答案即可．

（1）∵（m+n）²=m²+n²+2mn，（m-n）²=m²+n²+2mn，
∴（m+n）²-（m-n）²=4mn；
故答案为：（m+n）²-（m-n）²=4mn；

（2）利用图形中甲、乙两图形的面积分别为：（a+2b）²和8ab，故（a+2b）²-8ab=中间正方形小洞的面积=2×2=4（cm ²），
故答案为：4cm ²．

点评：
本题考点： 完全平方公式的几何背景．

考点点评： 本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形．

算一下各小块面积,再把面积加起来和直接算总面积相等

解题思路：（1）根据矩形面积求出即可；
（2）利用4个矩形面积得出（m+n）²-（m-n）²=4mn即可；
（3）根据（x+y）²=x²+y²+2xy=36，得出x²+y²+2×2.75=36，即可得出x²+y²=30.5，得出（x-y）²=25，即可得出答案．

（1）根据矩形面积得出：2m×2n=4mn，
故答案为：2m×2n=4mn；

（2）如图所示：（m+n）²-（m-n）²=4mn，
；

（3）∵x+y=-6，xy=2.75，
∴（x+y）²=x²+y²+2xy=36，
∴x²+y²+2×2.75=36，
∴x²+y²=30.5，
则（x-y）²=x²+y²-2xy=30.5-5.5=25，
∴x-y=±5，
故答案为：±5．

点评：
本题考点： 完全平方公式的几何背景．

考点点评： 此题主要考查了完全平方公式的应用，根据矩形面积得出公式是解题关键．

第一题x=2y=4

解题思路：（1）根据图形的总面积等于各个部分的面积的和，即可写出；
（2）根据图形的总面积等于各个部分的面积的和，可以作一个一边是a+b，另一边是a+3b的矩形；
（3）同理即可作出图形．

（1）答案是：（a+2b）（2a+b）=2a²+5ab+2b²
（2）
（3）每个图（3分）

点评：
本题考点： 完全平方公式的几何背景．

考点点评： 本题主要考查了乘法公式的几何表示，正确理解例题的意义：根据图形的总面积等于各个部分的面积的和，是解题的关键．

解题思路：大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，得出三个代数式（m+n）²、（m-n）²、mn之间的等量关系．

（m+n）²-（m-n）²=4mn．
故答案为：（m+n）²-（m-n）²=4mn．

点评：
本题考点： 完全平方公式的几何背景．

考点点评： 本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形．

（1） ；
（2）如图所示，
；
（3）答案“略”（答案不唯一）。

（2a+b）²=4a²+4ab+b²

（a+b）平方=a平方+2ab+b平方
图像法

2（a的平方+ab）=2a（a+b）