y=sinxcosx+cos2x-1/2的周期?单调增区间?

（Ⅰ）f(x)＝sinx•cosx+cos2x−
1
2=[1/2sin2x+
1
2cos2x=

2
2sin(2x+
π
4)．
∴最小正周期T＝
2π
2＝π
（Ⅱ）∵0≤x≤
π
2]
∴[π/4≤2x+
π
4≤
5π
4]
∴当2x+
π
4＝
π
2，即x＝
π
8时，函数f（x）取得最大值

2
2．
∴当2x+
π
4＝
5π
4，即x＝
π
2时，函数f（x）取得最小值−
1
2．

点评：
本题考点： 三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．

考点点评： 本题主要考查三角函数周期性．解题的关键是求出y=Asin（ωx+φ）的形式．

证明：tg
3x
2−tg
x
2＝
sin
3x
2
cos
3x
2−
sin
x
2
cos
x
2＝
sin
3x
2cos
x
2−cos
3x
2sin
x
2
cos
3x
2cos
x
2＝
sinx
cos
3x
2cos
x
2=[2sinx/cosx+cos2x]

点评：
本题考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数恒等式的证明；弦切互化．

考点点评： 本题主要考查同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式．属中档题．三角函数部分公式比较多要强化记忆．

（1）f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x（2分）
=
2(

2
2sin2x+

2
2cos2x)（3分）
=
2sin(2x+
π
4)．（4分）
∴f（x）的最小正周期为[2π/2＝π，最大值为
2]．（6分）
（2）∵f(θ+
π
8)＝

2
3，∴
2sin(2θ+
π
2)＝

点评：
本题考点： 三角函数的周期性及其求法；三角函数的恒等变换及化简求值．

考点点评： 本小题主要考查三角函数性质，同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力．

（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+cos2x
∴f(
π
4)＝sin
π
2+cos
π
2＝1
（Ⅱ）f(
α
2)＝cosα+sinα＝

2
2
∴sin(α+
π
4)＝
1
2，cos(α+
π
4)＝±

3
2．sinα＝sin(α+
π
4−
π
4)＝
1
2×

2
2∓

3
2×

2
2＝

2∓

点评：
本题考点： 二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．

考点点评： 本题是三角函数的基础题，第（1）小问较简单，等于送分题；第（2）小问要注意角的关系，采用配角法求解，否则，如果想通过解方程组的方法求sinα，会使计算相当复杂．

（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=
2sin（2x+[π/4]），
∵ω=2，∴f（x）的最小正周期为π，
令2kπ-[π/2]≤2x+[π/4]≤2kπ+[π/2]，k∈Z，解得：kπ-[3π/8]≤x≤kπ+[π/8]，k∈Z，
则单调递增区间为[kπ-[3π/8]，kπ+[π/8]]，k∈Z；
（Ⅱ）∵f（θ+[π/8]）=

2
3，∴
2sin（2θ+[π/2]）=

2
3，
∴cos2θ=2cos²θ-1=[1/3]，
∵θ为锐角，∴cosθ=

点评：
本题考点： 二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．

考点点评： 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．

（1）∵f(x)＝2
3sinxcosx+cos2x=
3sin2x+cos2x=2sin(2x+
π
6)
故 f(
π
6)=2sin(
2π
6+
π
6)=2sin[π/2]=2．
（2）因为0≤x≤
π
4，所以[π/6≤2x+
π
6≤
2π
3]，所以1≤2sin(2x+
π
6)≤2，
即函数f（x）的值域为[1，2]．

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．

原式可化为y=3sin（2x+φ），其中cosφ=
2
2
3，sinφ=[1/3]，且有φ≤2x+φ≤π+φ．
∴y_max=3sin[π/2]=3，
y_min=3sin（π+φ）=-3sinφ=-1．
∴值域是[-1，3]．
故答案为[-1，3]

点评：
本题考点： 正弦函数的定义域和值域；二倍角的余弦．

考点点评： 本题主要考查了正弦函数的定义域和值域．属基础题．

（1）f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=2（22sin2x+22cos2x）=2sin（2x+π4），∴f（x）的最小正周期为2π2=π，最大值为2．（2）∵f（π24）=2sinA，即2sinπ3=2sinA，∴sinA=sinπ3∵A是锐角，∴A=π3，∵S=12A...

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦定理．

考点点评： 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质，余弦定理的应用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．

（Ⅰ）f(x)＝2(

3
2sin2x+
1
2cos2x)…（2分）
=2sin(2x+
π
6)…（3分）
∴当2x+
π
6＝2kπ+
π
2时，f_max（x）=2…（5分）
当f（x）取最大值时，x∈{x|x＝kπ+
π
6，k∈Z}…（6分）
（Ⅱ）依题意g(x)＝2sin[2(x+
π
12)+
π
6]＝2sin(2x+
π
3)．…（9分）
∵2kπ−
π
2≤2x+
π
3≤2kπ+
π
2，…（10分）
∴kπ−
5π
12≤x≤kπ+
π
12…（11分）
故g（x）的单调增区间为[kπ−
5π
12，kπ+
π
12]，k∈Z．…（12分）

点评：
本题考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．

考点点评： 本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，考查基本知识的应用．

（1）由题设f（x）=2
3sinx•cosx+cos²x-sin²x-1
=
3sin2x+cos2x-1
=2sin(2x+
π
6)−1，
则y=f（x）的最小正周期为：π．
由2kπ-[π/2]≤2x+[π/6]≤2kπ+[π/2]（k∈z）得
kπ-[π/3]≤x≤kπ+[π/6]，k∈z，
∴y=f（x）的单调递增区间为：[kπ-[π/3]，kπ+[π/6]]（k∈z），
（2）由x∈[-[5π/12]，[π/3]]，可得−
2π
3≤2x+
π
6≤
5π
6
考察函数y=sinx，易知−1≤sin(2x+
π
6)≤1
于是−3≤2sin(2x+
π
6)−1≤1．
故y=f（x）的取值范围为：[-3，1]．

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．

考点点评： 本题考查了倍角公式和两角差的正弦公式，正弦函数的性质应用，属于中档题，

（1）f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x
=
2（

2
2sin2x+

2
2cos2x）
=
2sin（2x+[π/4]），
∴当2x+[π/4]=2kπ+[π/2]，即x=kπ+[π/8]（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值，其值为
2．
（2）由f（θ-[π/8]）=

2
3得
2sin[2（θ-[π/8]）+[π/4]]=

2
3，
化简得sin2θ=[1/3]，
又由0＜θ＜[π/4]得，0＜2θ＜[π/2]，故cos2θ=
1−sin22θ=
2
2
3，
∴sin（2θ-[π/6]）=sin2θcos[π/6]-cos2θsin[π/6]=

3−2
2
6．

点评：
本题考点： 二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．

考点点评： 本题考查二倍角的正弦与两角和的正弦，突出考查正弦函数的性质及两角差的正弦，考查运算能力，属于中档题．

（Ⅰ）由已知，得f（x）=[1/2]sin2x+[1/2]cos2x=

2
2sin（2x+[π/4]），
∵ω=2，∴T=π，
则f（x）的最小正周期为π；
（Ⅱ）∵-[π/8]≤x≤[π/2]，∴0≤2x+[π/4]≤[5π/4]，
则当2x+[π/4]=[π/2]时，即x=[π/8]时，f（x）取得最大值

2
2；
当2x+[π/4]=[5π/4]时，即x=[π/2]时，f（x）取得最小值-[1/2]．

点评：
本题考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．

考点点评： 此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的图象与性质，熟练掌握公式是解本题的关键．