x+3y=5xy,求 3x+4y的最小值

解题思路：将x+3y=5xy转化成35x+15y=1，然后根据3x+4y=（35x+15y）（3x+4y），展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值．

∵正数x，y满足x+3y=5xy，
∴[3/5x+
1
5y]=1
∴3x+4y=（[3/5x+
1
5y]）（3x+4y）=[9/5]+[4/5]+[12y/5x]+[3x/5y]≥[13/5]+2

12y
5x•
3x
5y=5
当且仅当[12y/5x]=[3x/5y]时取等号
∴3x+4y≥5
即3x+4y的最小值是5
故选C

点评：
本题考点： 基本不等式在最值问题中的应用．

考点点评： 本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行“1”的代换，属于基础题．

x+3y=5xy
x(5y-1) =3y
x = 3y/(5y-1)
S = 3x +y
=9y/(5y-1) +y
= (9/5)+ (9/5)[1/(5y-1)] +y
S' = -(9)[1/(5y-1)^2] +1 =0
(5y-1)^2-9=0
25y^2-10y-8=0
(5y+2)(5y-4)=0
y= 4/5
S'' = (90)[1/(5y-1)^3]
S''(4/5)>0 (min)
S = 9y/(5y-1) +y
minS = S(4/5)
S(4/5) = (36/5)/3 + 4/5
= 12/5 +4/5
=16/5

假如是你所言,3x=4y时取得等号,那此时x、y的值分别是多少呢?
y=(3/4)x,代入：x＋3y=5xy中,得：x=0【这个明显不行】或者x=13/15,此时你再代入计算出y的值,此时x、y的值都知道了,请把此时算得的x、y的值代入：x＋3y=5xy中,这几个都能得到满足吗?

解题思路：将x+3y=5xy转化成35x+15y=1，然后根据3x+4y=（35x+15y）（3x+4y），展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值．

∵正数x，y满足x+3y=5xy，
∴[3/5x+
1
5y]=1
∴3x+4y=（[3/5x+
1
5y]）（3x+4y）=[9/5]+[4/5]+[12y/5x]+[3x/5y]≥[13/5]+2

12y
5x•
3x
5y=5
当且仅当[12y/5x]=[3x/5y]时取等号
∴3x+4y≥5
即3x+4y的最小值是5
故选C

点评：
本题考点： 基本不等式在最值问题中的应用．

考点点评： 本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行“1”的代换，属于基础题．

x+3y=5xy
即1/y+3/x=5
于是5(3x+4y)
=(1/y+3/x)(3x+4y)
=3(x/y)+12(y/x)+4+9
≥12+13=25,当x/y=2时等号成立【x=1,y=1/2】
于是3x+4y≥5最小值为5

用x+3y≥2√3xy ,代入得5xy≥2√3xy ,求出xy最小值(12/25)
这一部取得等号的条件是 x=3y
然后用3x+4y≥2√12xy 代入xy最小值12/25
这一步取得等号的条件是3x=4y
两部的极值都是在等号时候取得的,而两步取得极值的条件又是不同的,故不能取得此时的极值.