用柯西收敛原理证明确界存在定理rt,直接证明,不要用引理
blackspring2022-10-04 11:39:541条回答
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- xinkouqiuyi 共回答了14个问题
|采纳率92.9% - 数学分析上有证明.两者等价,都是实数系基本定理.
不用柯西原理和其他定理,直接证法如下.
定理 非空有上界的数集必有上确界;非空有下界的数集必有下确界.
证明:任意实数x可以表示为x=[x]+(x),整数部分+非负小数部分.我们将(x)表示成无限小数形式:
(x)=0.a1 a2 a3 ...an ...,
其中a1,a2,...,an,...中的每一个数字都是0,1,...,9中的一个,若(x)是有限小数,则在后面接上无限个0.这称为实数的十进制无效小数表示.注意0.123000...=0.122999...为了保持表示的唯一性,约定类似情况统一表示成前者.这样,任意实数集合S就可以由一个确定的无限小数的集合来表示:
{a0+0.a1 a2 ...an ...| a0=[x],0.a1 a2 ...an ...= (x),x属于S}.
设数集S有上界,则可令S中元素的整数部分的最大者为b0,b0一定存在,否则S就无上界,并记
S0={x|x属于S 且 [x]=b0}.
显然由b0的定义,S0不是空集,并对任意x属于SS0,有xS1>...>Sn>...,和一列数b0,b1,...,bn,...,满足
b0是整数,bk是0,1,...,9中的一个.
令c=b0+0.b1 b2 ...bn ...,下面证明c就是S的上确界.
首先,若x属于S,则或存在非负整数m,使得x不属于Sm,或对任何非负整数n有,x属于Sn.
若x不属于Sm,有
x < b0+0.b1 b2 ...bm 0,当m充分大,便有 1/10^m < e.
取y属于Sm,则c与y的整数部分及前m位小数是相同的,所以
c-y c-e,这就说明了任何小于c的数都不是S的上界.
故c就是S的上确界.
同理可证下确界存在性.
用柯西原理的话,先证明闭区间套定理,再证明确界存在定理. - 1年前
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- 用确界存在定理证明柯西收敛原理如题~
rainysky20051年前1
-
langmandejijie 共回答了19个问题
|采纳率89.5%数学分析上有证明.两者等价,都是实数系基本定理.
不用柯西原理和其他定理,直接证法如下.
定理 非空有上界的数集必有上确界;非空有下界的数集必有下确界.
证明:任意实数x可以表示为x=[x]+(x),整数部分+非负小数部分.我们将(x)表示成无限小数形式:
(x)=0.a1 a2 a3 ...an ...,
其中a1,a2,...,an,...中的每一个数字都是0,1,...,9中的一个,若(x)是有限小数,则在后面接上无限个0.这称为实数的十进制无效小数表示.注意0.123000...=0.122999...为了保持表示的唯一性,约定类似情况统一表示成前者.这样,任意实数集合S就可以由一个确定的无限小数的集合来表示:
{a0+0.a1 a2 ...an ...| a0=[x],0.a1 a2 ...an ...= (x),x属于S}.
设数集S有上界,则可令S中元素的整数部分的最大者为b0,b0一定存在,否则S就无上界,并记
S0={x|x属于S 且 [x]=b0}.
显然由b0的定义,S0不是空集,并对任意x属于SS0,有xS1>...>Sn>...,和一列数b0,b1,...,bn,...,满足
b0是整数,bk是0,1,...,9中的一个.
令c=b0+0.b1 b2 ...bn ...,下面证明c就是S的上确界.
首先,若x属于S,则或存在非负整数m,使得x不属于Sm,或对任何非负整数n有,x属于Sn.
若x不属于Sm,有
x < b0+0.b1 b2 ...bm 0,当m充分大,便有 1/10^m < e.
取y属于Sm,则c与y的整数部分及前m位小数是相同的,所以
c-y c-e,这就说明了任何小于c的数都不是S的上界.
故c就是S的上确界.
同理可证下确界存在性.
用柯西原理的话,先证明闭区间套定理,再证明确界存在定理.1年前查看全部
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一致连续的定义和柯西收敛原理的联系?一直觉得他们很像,却不知道有什么关系,
一致连续的定义:设函数F(X)在某一区间内满足对任意的ε>0,可以找到η>0,且η只与ε有关,而与区间内的点X无关,使得对区间内的任意两点X1,X2,当|X1-X2|N时,|Xn-Xm|fljandggp1年前1 -
jdrt4 共回答了11个问题
|采纳率90.9%一致连续性是函数的一个性质,柯西收敛原理是判断数列收敛的定理,两者没有什么联系吧,函数极限和数列极限可以用海涅归结原理联系起来.1年前查看全部
大家在问
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