微分方程dy/dx=y/x+tan(y/x)的通解为?4设U=y*f(x/y)+x*f(y/x),其中f具有二阶连续导数

1.dy/dx=y/x+tan(y/x)
令y/x=u,y=xu ,代入得：
u+xu'=u+tanu,分离变量得：
du/tanu=x/dx
积分得：lnsinu=lnx+lnC
sinu=Cx
通解为：siny/x=Cx
或：y=xarcsinCX
2.U=y*f(x/y)+x*f(y/x),
U'(x)=f'(x/y)+f(y/x)-f'(y/x)(y/x^2),U''(xx)=f''(x/y)/y-f'(y/x)(y/x^2)+f''(y/x)(y/x^2)^2+f'(y/x)(2y/x^3),
U'(y)=f'(y/x)+f(x/y)-f'(x/y)(x/y^2),U''(yy)=f''(y/x)/x-f'(x/y)(x/y^2)+f''(x/y)(x/y^2)^2+f'(x/y)(2x/y^3),
所以：xU''(xx)+yU''(yy)
=xf''(x/y)/y-yf'(y/x)/x+yf''(y/x)/x^3+2yf'(y/x)/x^2
+yf''(y/x)/x-xf'(x/y)/y+xf''(x/y)/y^3+2xf'(x/y)/y^2
=yf''(y/x)/x^3+2yf'(y/x)/x^2+xf''(x/y)/y^3+2xf'(x/y)/y^2

令t=y/x，就可以解决
dy/dx=d（x*t）/dx=（xdt+tdx）dx=xdt/dx+t（1）
式子右边y/x+tan(y/x)=t+tan(t)（2）
由（1）（2）dt/tan(t)=dx/x解得cos（y/x）=c/x
U‘y=f(x/y)+y*f(x/y)’*（-x/(y^2)）+f(y/x)'