∫∫∫＝xdxdydz其中Ω为三个坐标面及平面x＋2y＋z＝1所围成的闭区域

damdafcn2022-10-04 11:39:541条回答

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3buxb 共回答了19个问题 | 采纳率100%: 第一步先把这个拆成三个维度的.其中x的范围0-1,y的范围0-[(1-x)/2],z的范围0到(1-x-2y)
写起来是
∫xdx∫dy∫dz
这个写起来还真不好写,然后全部整理成dx,就可以得到：（时间不够,我接着打.）; 1年前

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因为,曲面z=x^2+y^2在柱坐标下的方程为z=ρ^2
这题如果是计算积分值的话,正解如下：
因为z=常数的平面与Ω截得区域的面积为πz
所以∫∫∫zdxdydz＝∫(0~4)z(πz)dz=(1/3)π(z^3)︱(0~4)=64π/3

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原式=∫xdx∫dy∫dz
=∫xdx∫(1-x-2y)dy
=∫x[(1-x)²/4]dx
=1/4∫(x-2x²+x³)dx
=(1/2-2/3+1/4)/4
=1/48.

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Ω在XOY平面投影为：x=0,y=0,x+y=1,所围成的三角形,
原式=∫∫∫(Ω)xdxdydz
=∫(0→1)xdx∫(0→1-x)dy∫(0→1-x-y)dz
=∫(0→1)xdx∫(0→1-x)dy(1-x-y)
=∫(0→1)xdx(y-xy-y^2/2)(0→1-x)
=∫(0→1)xdx[1-x-x+x^2-(1-x)^2/2]
=∫(0→1)xdx(x^2/2-x+1/2)
=∫(0→1)(x^3/2-x^2+x/2)dx
=[x^4/8-x^3/3+x^2/4](0→1)
=1/8-1/3+1/4
=1/24.

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