琴生不等式是不是函数凹凸性的推广?

你先画个示意图,在凹函数曲线上左右随便取两点(x1,fx1),(x2,fx2),两点连线取线段中点,y值为
y=[f(x1)+f(x2)]/2,而在这两点之间的函数曲线不是位于直线下方吗,在点x=(x1+x2)/2处的函数值f[(x1+x2)/2]明显比前面的y值小啊.
我说清楚了没?

参考大学数学分析

琴生在1905年给出了一个定义：
设函数 的定义域为[a,b],如果对于[a,b]内任意两数 ,都有
（1）
则称 为[a,b]上的凸函数.
若把（1）式的不等号反向,则称这样的 为[a,b]上的凹函数.
凸函数的几何意义是：过 曲线上任意两点作弦,则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上.
其推广形式是：若函数 的是[a,b]上的凸函数,则对[a,b]内的任意数 ,都有
（2）
当且仅当 时等号成立.一般称（2）式为琴生不等式.
更为一般的情况是：设 是定义在区间[a,b]上的函数,如果对于[a,b]上的任意两点 ,有
其中 ,则称 是区间[a,b]上的凸函数.如果不等式反向,即有 则称 是[a,b]上的凹函数.
其推广形式 ,设 ,是[a,b]上的凸函数,则对任意 有 ,
当且仅当 时等号成立.
若 是凹函数,则上述不等式反向.该不等式称为琴生（Jensen）不等式.把琴生不等式应用于一些具体的函数,可以推出许多著名不等式.

为了方便换一下字母,设u,v ∈ [a,b],u < v,w = (u+v)/2,求证:2f(w) < f(u)+f(v).
证明:由f(x)在[a,b]二阶可导,考虑f(x)在w处的(带Lagrange余项的)二阶Taylor展开,
在其中分别取x = u,v得:存在s ∈ (u,w)与t ∈ (w,v),使
f(u) = f(w)+f'(w)(u-w)+f"(s)(u-w)²/2,f(v) = f(w)+f'(w)(v-w)+f"(t)(v-w)²/2.
相加得f(u)+f(v) = 2f(w)+f'(w)(u+v-2w)+f"(s)(u-w)²/2++f"(t)(v-w)²/2
= 2f(w)+f"(s)(u-w)²/2++f"(t)(v-w)²/2 (∵ w = (u+v)/2)
> 2f(w) (∵f"(s),f"(t) > 0,(u-w)²,(v-w)² > 0),
即所求证.

著名不等式荟萃
在数学领域里,不等式知识占有广阔的天地,而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩.下面择要介绍一些著名的不等式.
一、平均不等式（均值不等式）
设a1,a2,…,an是 n个实数,A＝叫做这n个实数的算术平均数.
当这 n个实数非负时,G＝叫做这 n个非负数的几何平均数.
当这 n个实数均为正数时,H＝叫做这 n个正数的调和平均数.
设a1,a2,…,an为 n个正数时,对如下的平均不等式：H≤G≤A
当且仅当 a1＝a2＝…＝an时等号成立.
平均不等式A≥G是一个重要的不等式,它的应用非常广泛,如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一.
设x1,x2,…,xn是 n个正的变数,则
(1)当积 x1x2…xn＝P是定值时,和x1＋x2＋…＋xn有最小值,且
(x1＋x2＋…＋xn)min＝n＝n
(2)当和 x1＋x2＋…＋xn＝S是定值时,积 x1x2…xn有最大值,且
(x1x2…xn)max＝()n＝()n
两者都是当且仅当 n个变数彼此相等时,即 x1＝x2＝…＝xn时,才能取得最大值或最小值.
在 A≥G中,当n＝2,3时,分别有
≥,≥
平均不等式 A≥G经常用到的几个特例是：
(a1＋a2＋…＋an) (＋＋…＋)≥n2
当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立；
a1＋≥2,当且仅当a1＝1时等号成立.
二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）
对任意两组实数a1,a2,…,an；b1,b2,…,bn,有
(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≤(a12＋a22＋…＋an2) (b12＋b22＋…＋bn2)
其中等号当且仅当＝＝…＝时成立.
柯西不等式的几个特例(以下a1,a2,…,an；b1,b2,…,bn均为实数)是：
(1) a12＋a22＋…＋an2＝1,b12＋b22＋…＋bn2＝1,则｜a1b1＋a2b2＋…＋anbn｜≤1
(2) a1a2＋a2a3＋a3a1≤a12＋a22＋a32
(3) (a1＋a2＋…＋an)2≤n(a12＋a22＋…＋an2)
柯西不等式是又一个重要不等式,有许多应用和推广.
三、闵可夫斯基不等式
设 a1,a2,…,an；b1,b2,…,bn是两组正数,k＞0,k≠1,则
(1) k＞1时,≤＋
(2) 0＜k＜1时,≥＋
当且仅当 ＝＝…＝时等号成立.
闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式,当k＝2,n＝2时得平面上的三角形不等式：
≤＋
右图给出了对上式的一个直观理解.
若记＝(a1,a2),＝(b1,b2),则上式为
|＋|≤||＋||
四、贝努利不等式
(1)设xi＞－1,i＝1,2,…,n,n ≥2且同号,
则(1＋x1)(1＋x2)…(1＋xn)＞1＋x1＋x2＋…＋xn
不等式(1)的一个重要特例是：(1＋x)n＞1＋nx,x＞－1,x≠0,n∈N,n≥2
(2)设x＞－1,则
(i) 当0＜α＜1时,有(1＋x)α≤1＋αx；
(ii) 当α＞1或α＜0时,有 (1＋x)α≥1＋αx.
上两式当且仅当x＝0时等号成立.
五、赫尔德不等式
已知ai＞bi(1≤i≤n)是2n个正实数,p＞0,q＞0,p＋q＝1,则
a1pb1q＋a2pb2q＋…＋anpbnq≤(a1＋a2＋…＋an) p(b1＋b2＋…＋bn)q
上式中若令p＝q＝,xi2＝ai,yi2＝bi,即为柯西不等式.
六、契比雪夫不等式
(1)若 a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn,则
(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≥；
(2)若 a1≤a2≤…≤an；b1≥b2≥…≥bn,则
(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≤；
下面给出一个n＝2时的契比雪夫不等式的直观理解.
如图,矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和,（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）.于是有
(a1＋a2) (b1＋b2)≤2(a1b1＋a2b2),也即
(a1b1＋a2b2)≥
七、排序不等式
设有两组数a1,a2,…,an；b1,b2,…,bn满足a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn,则有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1bk1＋a2b k2＋…＋anbkn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn,式中的 k1,k2,…,kn是1,2,…,n的任意一个排列,式中的等号当且仅当 a1＝a2＝…＝an或 b1＝b2＝…＝bn时成立.
以上排序不等式也可简记为：反序和≤乱序和≤同序和.
这个不等式在不等式证明中占有重要地位,它使不少困难问题迎刃而解.
八、含有绝对值的不等式
a,b为复数,则||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|
左边的等号仅当 a,b的幅角差为π时成立,右边的等号仅当 a,b的幅角相等时成立,这个不等式也称为三角形不等式,其一般形式是
|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋| a2|＋…＋|an|
绝对值不等式在实数的条件下用得较多.
九、琴生不等式
设f(x)是(a,b)内的凸函数,则对于(a,b)内任意的几个实数x1,x2,…,xn有
f()≤[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]
等号当且仅当x1＝x2＝…＝xn时取得.
琴生不等式是丹麦数学家琴生于1905年到1906年间建立的.利用琴生不等式我们可以得到一系列不等式,比如“幂平均不等式”,“加权的琴生不等式”等等.
十、艾尔多斯—莫迪尔不等式
设P为⊿ABC内部或边界上一点,P到三边距离分别为PD,PE,PF,则
PA＋PB＋PC≥2(PD＋PE＋PF)
当且仅当 ⊿ABC为正三角形,且P为三角形中心时上式取等号.
这是用于几何问题的证明和求最大(小)值时的一个重要不等式.
以上这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果,如果它们已变成了我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具.

下面只对凸函数加以证明.
首先我们对n是2的幂加以证明,用数学归纳法
假设对于n=2^k琴生不等式成立,那么对于n=2^(k 1)
(f(x1) f(x2) ...f(xn))/n
=((f(x1) f(x2) ...f(x(n/2)))/(n/2) (f(x(n/2 1)) ...f(xn))/(n/2))/2
≥(f(（(x1 x2 ...x(n/2)）/(n/2)) f((x(n/2 1) ...xn)/(n/2)))/2
≥f(((（(x1 x2 ...x(n/2)）/(n/2) (x(n/2 1) ...xn)/(n/2)))/2)
=f((x1 x2 ...xn)/n)
所以对于所有2的幂,琴生不等式成立.
现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂,我们可以找到一个k,使得2^k>n
然后我们设
x(n 1)=x(n 2)=...=x(2^k)=(x1 x2 ...xn)/n
代入2^k阶的琴生不等式结论,整理后就可以得到结论.
现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式
(x1^2 x2^2 ...xn^2)/n>=[(x1 x2 ...xn)/n]^2
显然,我们可以查看函数f(x)=x^2
由于
(f(x1) f(x2))/2=(x1^2 x2^2)/2=(2x1^2 2x2^2)/4≥(x1^2 x2^2 2x1x2 (x1-x2)^2)/4≥(x1^2 x2^2 2x1x2)/4=((x1 x2)/2)^2
所以f(x)=x^2是凸函数
所以我们可以得到,对于任意x1,x2,...,xn,
有(f(x1) f(x2) ...f(xn))/n≥f((x1 x2 ...xn)/n)
也就是n阶平方平均不等式.

因为这么规定的.

取对数ln后,
不等式等价于ln(x1)+ln(x2)……+ln(xn)>-ln2-1
等价于1+ln2>ln(1/x1)+ln(1/x2)……+ln(1/xn)
即1+ln2>ln(1+1)+ln(1+1/2)……+ln(1+1/2^(n-1))
等价于1>ln(1+1/2)……+ln(1+1/2^(n-1))
又有ln(1+x)

好题.用拉格朗日乘数法证明琴生不等式.

下面只对凸函数加以证明.
首先我们对n是2的幂加以证明,用数学归纳法
假设对于n=2^k琴生不等式成立,那么对于n=2^(k+1)
(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n
=((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2
≥(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2
≥f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2)
=f((x1+x2+...+xn)/n)
所以对于所有2的幂,琴生不等式成立.
现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂,我们可以找到一个k,使得2^k>n
然后我们设
x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n
代入2^k阶的琴生不等式结论,整理后就可以得到结论.
现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式
(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2
显然,我们可以查看函数f(x)=x^2
由于
(f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4≥(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4≥(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2
所以f(x)=x^2是凸函数
所以我们可以得到,对于任意x1,x2,...,xn,
有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≥f((x1+x2+...+xn)/n)
也就是n阶平方平均不等式.
从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦.
不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论.
如果f(x)二阶可导,而且f''(x)≥0,那么f(x)是下凸函数(凸函数）
如果f(x)二阶可导,而且f''(x)≤0,那么f(x)是上凸函数(凹函数)
至于这个证明,只要使用f(x)的泰勒展开式,利用其二阶余项就可以证明的.（或者构造一个函数采用中值定理）

用行列式来解决二元一次方程组,