高数 练习1

aa龙_56662022-10-04 11:39:541条回答

高数 练习1

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y=3x²-2cosx+3^x-lne
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1.是一个根号3里还有一个根号3在还有一个根号3
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1.这个.看不懂你第一个.
2.y=3x²-2cosx+3^x-lne
y'=6x+2sinx+3^x*In3-0
3.y'=(a+bt+ct²)'*t-(t)'*(a+bt+ct²)/t^2
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求f(x,y)
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积分域 D={(x,y)|x^2+y^2=0} ,是以P(0,1/2)为圆心,半径为1/2,在第一象限的半圆.
则其面积为∫∫dxdy = π/8.
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f(x,y) = √(1-x^2-y^2) - (8/π)∫∫f(u,v)dudv = √(1-x^2-y^2) - (8/π)C,
上式两边同时在D上作二重积分,得
C=∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫√(1-x^2-y^2)dxdy - (8/π)C∫∫dxdy
C=∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫√(1-x^2-y^2)dxdy - (8/π)C(π/8),
2C =∫∫√(1-x^2-y^2)dxdy ,
则 C = ∫∫f(x,y)dxdy = (1/2)∫∫√(1-x^2-y^2)dxdy,
得 f(x,y)=(1/2)√(1-x^2-y^2).
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所以,和为
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1C,函数y=(x+1)(x-1)/(x-1)(x-2)虽然在x=1处无定义,但x趋于1时,limy=(x+1)/(x-2)=-2,因此只要补充定义y(1)=-2就可使函数在x=1处连续,因此x=1为可去间断点,属第一类间断点.而x趋于2时limy=无穷,所以x=2为无穷间断点,属第二类间断点.
2D,y=x^n每求一次导数x的次数就降低1次,求n次导数后x的次数降为0,即y=常数,对常数再求一次导数等于0,因此y的(n+1)导数等于0.
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梯度是一个向量,gradf=(αf/αx,αf/αy,αf/αz)=(f1+f2*y,f2*x,f3)
散度div(gradf)=α(αf/αx)/αx+α(αf/αy)/αy+α(αf/αz)/αz=(f11+f12*y+f21*y+f22*y^2)+(f22*x^2)+(f33)=f11+2f12*y+(x^2+y^2)f22+f33
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一元函数微积分、向量与空间解析几何、多元函数微积分、常微分方程与无穷级数的基本概念、基本理论、基本运算和分析方法.要想学好高数,从题中才能真正了解高数的含义.看教材是看不出点什么东西的.
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ln(1+t)应该展开到第几项?为什么?
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cost=1-t^2/2+o(t^2)
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所以,
原式=lim(t→0)[t^2/2+o(t^2)]/[t-t^2/2+o(t^2)]
=lim(t→0)[t^2/2]/[t-t^2/2]
=lim(t→0)[t/2]/[1-t/2]
=0


【附注】ln(1+t)=t-t^2/2+o(t^2)
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6.已知tanα=3,求sinα,cosα.
tanα=3,cotα=1/3,csc²α=1+cot²α=1+(1/3)²=10/9,故cscα=±(1/3)√10,sinα=±(3/10)√10;
sec²α=1+tan²α=1+3²=10,故secα=±√10,cosα=±1/√10=±(1/10)√10.
7.已知cos(π/6-α)=1/3,求cos(11π/6-α)的值.
由cos(π/6-α)=1/3,得π/6-α=arccos(1/3),故α=π/6-arccos(1/3);
于是cosα=cos[π/6-arccos(1/3)]=cos(π/6)cos[arccos(1/3)]-sin(π/6)sin[arccos(1/3)]
=(√3/2)(1/3)-(1/2)√(1-1/9)=√3/6-2√2/6=(√3-2√2)/6;
cos(11π/6-α)=cos[2π-(π/6+α)]=cos(π/6+α);
cos(π/6+α)+cos(π/6-α)=2cos(π/6)cosα=(√3)cosα=(√3)(√3-2√2)/6=(3-2√6)/6;
∴cos(11π/6-α)=cos(π/6+α)=(3-2√6)/6-cos(π/6-α)=(3-2√6)/6-(1/3)=(1-2√6)/6.
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=lim 3/tan3x / 5/tan5x 变形
=lim 3tan5x / 5tan3x 洛必达求导
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∫[1/(25+x^2)]dx
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=(1/5)arctan(x/5)+C
注:若原题不是我所猜测的那样,则请补充说明.
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令f(x)=2+1/x,显然f(x)单调减少.
X1=2=20/10
X2=2+1/2=5/2=25/10
X3=2+1/5/2=2+2/5=24/10
……
递推下去有
X1
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y'=xy/(1+x^2)

y=C√(1+x^2) 
再由系数变易法得
C'(x)√(1+x^2)=1/(1+x^2) 
解得
C(x)=x/[√(1+x^2)]^2+C 
所以通解为
y=C(x)√(1+x^2)=C√(1+x^2)+x/(1+x^2)
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直线L₁:(x-1)/1=y/1=(z+1)/(-1)的方向矢量a={1,1,-1};
直线L₂:x/1=(y-1)/(-1)=(z+1)/0的方向矢量b={1,-1,0};
与L₁,L₂垂直的矢量C:
∣i j k∣
C=a×b=∣1 1 -1∣=-i-j+(-1-1)k=-i-j-2k
∣1 -1 0 ∣
故过M(1,0,-2)且与L₁,L₂垂直的直线的方程为:(x-1)/(-1)=y/(-1)=(z+2)/(-2)
或写成:(x-1)/1=y/1=(z+2)/2.
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1、是否是广义积分,要由极限确定.
2、对于上面的四个选择,下图分别给予了具体计算、解说;
3、只有B是反常积分=improper integration.
4、若看不清楚,请点击放大.


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令x^(1/6)=u,则x=u⁶,dx=6u⁵du,√x=u³,x^(1/3)=u²
原式=∫ [u³/(u³-u²)]6u⁵du
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=6∫ (u⁶-1)/(u-1) du + 6∫ 1/(u-1) du
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=u⁶+(6/5)u⁵+(3/2)u⁴+2u³+3u²+6u+6ln|u-1|+C
=x + (6/5)x^(5/6) + (3/2)x^(2/3) + 2√x + 3x^(1/3) + 6x^(1/6) + 6ln|x^(1/6)-1| + C

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2
设u=x^2,v=xy
所以u'x=2x,u'y=0,v'x=y,v'y=x
z'x=(f'u)(u'x)+(f'v)(v'x)=2xf'u+yf'v
所以z''xy=(z'x)'y=(2xf'u+yf'v)'y=2x[(f''uu)*(u'y)+(f''uv)(v'y)]+f'v+y[(f''uv)(u'y)+(f''vv)(v'y)]
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1
微分方程的特征方程为r^2-2r-3=0
所以特征值r1=3,r2= -1
所以齐次方程y''-2y'-3y=0的通解为y1=c1e^(3x)+c2e^(-x)
设通解为y2=Ae^x,带入原方程后解得A=-1/4
所以y2=(-1/4)e^x
所以方程的通解为y=y1+y2=c1e^(3x)+c2e^(-x)-(1/4)e^x
3
用极坐标来求积分.
x=rcosθ,y=rsinθ,dxdy=rdrdθ
所以原积分=∫∫(rcosθ)^2 rsinθ rdrdθ
=∫(π/2->π) sinθ(cosθ)^2dθ ∫(0->2)r^4dr
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原积分=∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f1(x) f2(y)dxdy=∫(-2->2)∫(-3->3) f1(x) f2(y)dxdy
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(1) 设平面法向量为{A,B,C}, 则所求平面方程是 A(x-3)+B(y-1)+C(z+2)=0,
平面过直线 (x-4)/5=(y+3)/2=z/1, 则 5A+2B+C=0, 点(4, -3, 0)在平面上,
得 A-4B+2C=0, 联立解得 B=-9A/8, C=-11A/4, 所求平面方程是
(x-3)-(9/8)(y-1)-(11/4)(z+2)=0, 即 8x-9y-22z-59=0.
(2) 令 F= e^(z^2)+xy-2, 则 F'=y, F'=x, F'=2ze^(z^2),
在点P(1,1,0), F'=1, F'=1, F'=0;
令 G= x^2-y^2-z, 则 G'=2x, G'=2y, G'=-1,
在点P(1,1,0), G'=2, G'=2, G'=-1.
切线向量 τ={1,1,0}×{2,2,-1}={-1,1,0}
切线方程为 (x-1)/-1=(y-1)/1=z/0
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∫∫∫(Ω)(x^2+y^2+z^2)dv=∫(0,2π)dθ∫(0,π)sinφdφ∫(0,a)r^4dr
=[∫(0,2π)dθ]×[∫(0,π)sinφdφ]×[∫(0,a)r^4dr]=2π×2×(1/5)a^5=(4π/5)a^5