设α使n维列向量,A是n阶正交矩阵,则||Aα||=||α||

因为 aa^T 的特征值为 ||a||^2,0,0,...,0
所以 A 的特征值为 1-||a||^2,1,1,...,1 都大于0
所以 A 是正定的

设k1a+k2,Aa+,.+km,A^(m-1)a＝0①
①左乘A^﹙m-1﹚ k1A^﹙m-1﹚a＝0 A^﹙m-1﹚a≠0 ∴k1＝0
① 成为 k2,Aa+,.+km,A^(m-1)a＝0②
②左乘A^﹙m-2﹚ k2A^﹙m-1﹚a＝0 A^﹙m-1﹚a≠0 ∴k2＝0
…………………………
k1＝k2＝……＝km＝0 向量组a,Aa,.,A^(m-1)a线性无关

方程个数小于未知数个数,即n+1个n维向量,必有非0解

若a1a2...线性相关
则存在不全为0的数使得 k1a1+...+kmam=0
所以 A(k1a1+...+kmam)=A0=0
所以 k1Aa1+...+kmAam=0
所以 Aa1Aa2.Aam线性相关

一个更正,问题中的“a=2/3”似乎有误,应为“a^Ta=2/3”
首先可知A是一个对称阵,那么AA^T=E就等价于(E-3aa^T)(E-3aa^T)=E,展开就得E-6aa^T+9(a^Ta)(aa^T)=E,进一步合并同类项有：（9a^Ta-6）aa^T=0
如果aa^T为零矩阵,则A=E,就过于特殊,故应不为零矩阵,所以括号内必为零,证毕

嗯，萧帮主做得对。 第一题的充分性也可以这样证明： 将xTAx看成一个数，展开后就是一个二次多项式，对于任意一项XiXj（Xi和Xj都是x中的元素,当i!=j时其系数为aij+aji(其中aij和aji都是A中的元素），由于展开式恒等于0，所以aij+aji=0,即aij和aji互为相反数，即A中处于对称位置的元互为相反数。当i=j时Xii(Xii是A中元素）的系数是aii,则有aii=0,根据反...

令 C 等于题中所说矩阵,应为A为可逆的反对称矩阵 所以 A= P^T diag(1,1,1,...,-1,-1,-1)P （P为正价矩阵） 设矩阵B = {P 0 / 0 1} 那么 B^T C B = {diag{..} a^TP / P^Ta 0} ,我证到这里就证下去了,a 有B的列向量线性表示,令对应坐标为 xi； 最后化简得到的结果为 {diag 0 / 0 ∑xi^2 - ∑ xj^2 } 我证到这里便证不下去了 楼主做出来了 求回复

证:设 k1Aa1+k2Aa2+...+knAan=0
则 A(k1a1+k2a2+...+knan)=0
因为A可逆,等式两边左乘A^-1得 -- 这一步是关键
k1a1+k2a2+...+knan = 0
又由已知 a1,a2,a3,...an 线性无关
所以 k1=k2=...=kn=0.
故 Aa1,Aa2,...,Aan 线性无关
所以 Aa1,Aa2,...,Aan 是 R^n 的一个基.
之前回答过你的问题 若已搞定请采纳

充分性：
如果A=βα,那么r(A)