f(x)=2x/x^2+1的奇偶性,单调性,画出函数图像,求函数最值

高一用判别式
显然x=0,y=0
y≠0时,yx^2-2x+y=0方程必有根
则(-2)^2-4y*y>=0
0

因为(x-1)^2>=0
展开得：x^2+1>=2x
所以2x/(x^2+1)=0,得：2x>=-(x^2+1),所以2x/(x^2+1)>=-1,当x=-1时最小
因此y的极大值为1,极小值为-1

lim(x→无穷)xsin(2x/(1+x^2))
=lim(x→无穷)xsin[(2/x)/(1/x^2 +1)]
=lim(1/x→0)x[(2/x)/(1/x^2 +1)]
=lim(1/x→0)[2/(1/x^2 +1)]
=2/1=2

y=2x/(x^2+1)
yx^2-2x+y=0
要使方程有解,判别式>=0
4-4y^2>=0
y^2

D是最简分式
A可以变为（2*X除以X*X）+1=（2除以X）+1
B可以变为2*2除以2*X=2除以X
C可以变为（X-1）除以（X-1）（X+1）=1/(x+1)

先进行化简,尽量避免商式运算.
∵x≠0 ∴f(x)=2/x+1,根据商式的求导：f(x)=f(x1)/f(x2) 则f'(x)={f'(x1)f(x2)-f(x1)f'(x2)}/{f(x2)}²
又,f(x)=f(x1)+f(x2) 则f'(x)=f'(x1)+f'(x2),∴f(x)=2/x+1,f'(x1)=(x-1)/x

您的题目不全.
原题：
当x>0时,f(x)=2x/x2+1的值域为
y=2x/(x^2+1)
y(x^2+1)=2x
yx^2+y=2x
yx^2-2x+y=0
1.y=0,x=0(舍）
2.y/=0
4-4y^2>=0
x1+x2>0
x1x2>0
2/y>0
1>0
y>0
4y^2

f(x)=2x/x^2+1是f(x)=2x/（x^2+1）的意思噻?
f′(x)=[2（x^2+1）-2x*2x]/（x^2+1）^2
=(2-2x^2)/（x^2+1）^2
u/v求导为：(u′v-uv′)/v^2

可以用
x→∞,2x/(x²+1) →0
sin[ 2x/(x²+1)] 2x / (x²+1)
原式= lim(x→∞) 2x² / (x²+1) = 2

这是无穷乘0型

y=2x/(x^2+1)
y'=[2(x²+1)-4x²]/(x²+1)²=-2(x+1)(x-1)/(x²+1)²
列表：
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
y' - 0 + 0 -
y 减 极小值 增 极大值 减
极大值y|(x=1)=1
极小值y|(x=-1)=-1

y''+2xy'/(x^2+1)-2x=0
(x^2+1)y''+2xy'-2x(x^2+1)=0
x=tanu y'=dy/dx=cosu^2 dy/du u=arctanx du/dx=1/(1+x^2)
y''=dy'/dx=d[cosu^2 dy/du]/du*du/dx
=[-2sin2udy/du+cosu^2 d^2y/du^2 ] *(1/(1+x^2))
(1+x^2)y''=-2sin2udy/du+cosu^2d^2y/du^2
2xy'=sin2udy/du
2x(x^2+1)=2tanu*secu^2=2sinu/cosu^3
cosu^2d^2y/du^2-2sinu/cosu^3=0
d^2y/du^2=2sinu/cosu^5
dy/du=∫2sinudu/cosu^5
=(1/2)(1/cosu^4)+C1
y=∫[(1/2)(1/cosu^4)+C1]du
=C1u+(1/4)secu^2tanu+(1/4)tanu
=C1arctanx+(1/4)x*(1+x^2)+(1/4)x
∫secx^4dx=∫secx^2dtanx=secx^2 tanx-∫tanx^2secx^2dx
=secx^2tanx-∫secx^4dx+∫secx^2dx
2∫secx^4dx=secx^2tanx+tanx
∫secx^4dx=(1/2)secx^2tanx+(1/2)tanx