在圆O中,C为劣弧AB的中点,连接AC并延长至点D,使CD=CA,连接DB,并延长交圆O于点E,连接AE

连接OP，

∵PA，PB为圆O的切线，
∴PA=PB，PO平分∠APB，OA⊥AP，
又∠APB=60°，
∴∠APO=30°，
在直角三角形APO中，OA=2，
∴OP=2OA=4，
根据勾股定理得：PA=
OP2−OA2=2
3，
∵MA，MC为圆O的两条切线，
∴MA=MC，
又NB，NC为圆O的切线，
∴NC=NB，
∴△PMN的周长=PM+PN+MN
=PM+PN+MC+NC
=PM+PN+MA+NB
=PA+PB=2PA
=4
3．
故选C

点评：
本题考点： 切线长定理．

考点点评： 此题考查了切线长定理，切线的性质，勾股定理，含30°角直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握切线长定理是解本题的关键．

（1）连接OA、OB，作OE⊥AB于E，
∵OA=OB，∴AE=BE，
Rt△AOE中，OA=2，AE=
3，
所以sin∠AOE=

3
2，
∴∠AOE=60°，（2分）
∠AOB=2∠AOE=120°，
又∠ADB=[1/2]∠AOB，
∴∠ADB=60°，（3分）
又四边形ACBD为圆内接四边形，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
从而有∠ACB=180°-∠ADB=120°；（5分）
（2）作DF⊥AB，垂足为F，则：S_△ABD=[1/2]×2
3DF，（6分）
显然，当DF经过圆心O时，DF取最大值，
从而S_△ABD取得最大值，
此时DF=DO+OF=2+2sin30°=3，s_△ABD=[1/2]×6
3，
即△ABD的最大面积是3
3．（7分）

点评：
本题考点： 圆内接四边形的性质；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．

考点点评： （1）中，主要是能够把已知的线段构造到一个直角三角形中，也可以作直径AM，根据锐角三角函数的知识求得角的度数，再进一步根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行计算；
（2）中，能够分析出面积最大值时，点D的位置．

（1）在优弧AB上取一点D，连结DA、DB，如图，
∵∠α=35°，
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-2×35°=110°，
∴∠D=[1/2]∠AOB=55°，
∴∠ACB=180°-∠D=125°，
即β的度数为125°；
（2）∠ACB=90°+[1/2]α．理由如下：
∵∠AOB=180°-∠α，
∴∠D=[1/2]∠AOB=[1/2]（180°-∠α）=90°-[1/2]α，
∴∠ACB=180°-∠D=180°-（90°-[1/2]α）=90°+[1/2]α．

点评：
本题考点： 圆周角定理．

考点点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．

（1）连接OA、OB，作OE⊥AB于E，
∵OA=OB，∴AE=BE，
Rt△AOE中，OA=2，AE=
3，
所以sin∠AOE=

3
2，
∴∠AOE=60°，（2分）
∠AOB=2∠AOE=120°，
又∠ADB=[1/2]∠AOB，
∴∠ADB=60°，（3分）
又四边形ACBD为圆内接四边形，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
从而有∠ACB=180°-∠ADB=120°；（5分）

（2）作DF⊥AB，垂足为F，则：S_△ABD=[1/2]×2
3DF，（6分）
显然，当DF经过圆心O时，DF取最大值，
从而S_△ABD取得最大值，
此时DF=DO+OF=2+2sin30°=3，s_△ABD=[1/2]×6
3，
即△ABD的最大面积是3
3．（7分）

点评：
本题考点： 圆内接四边形的性质；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．

考点点评： （1）中，主要是能够把已知的线段构造到一个直角三角形中，也可以作直径AM，根据锐角三角函数的知识求得角的度数，再进一步根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行计算；
（2）中，能够分析出面积最大值时，点D的位置．

（1）如图，∵AB为⊙O的弦，C为劣弧AB的中点，AB=8，
∴OC⊥AB于E，
∴AE＝
1
2AB＝4，
又∵AO=5，
∴OE＝
OA2−AE2＝3，
∴CE=OC-OE=2，
在Rt△AEC中，tan∠BAC＝
EC
AE＝
2
4＝
1
2；

（2）AD与⊙O相切．理由如下：
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC，
∵由（1）知OC⊥AB，
∴∠C+∠BAC=90°．
又∵∠BAC=∠DAC，
∴∠OAC+∠DAC=90°，
∴AD与⊙O相切．

点评：
本题考点： 切线的判定；勾股定理；锐角三角函数的定义．

考点点评： 本题考查了垂径定理、勾股定理、切线的判定等知识，是一道难度适中的有关切线的判定的综合题目．