垂径定理的九个推论123456789
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lanyibcf 共回答了13个问题
|采纳率84.6%- 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
(证明时的理论依据就是上面的五条定理)
但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:
在5个条件中:
1.平分弦所对的一条弧
2.平分弦所对的另一条弧
3.平分弦
4.垂直于弦
5.经过圆心(或者说直径) - 1年前
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∴∠PBF=∠PAD,
∵C是劣弧AB的中点,
∴∠CDA=∠CDF,
∵CD⊥PA,
∴△AFD为等腰三角形,
∴∠F=∠A,AE=EF,
∴∠PBF=∠F,
∴PB=PF,
∴AE=PE+PB
(3)AE=PE-PB.
连接AD,BD,AB,DB、AP相交于点F,
∵弧AC=弧BC,
∴∠ADC=∠BDC,
∵CD⊥AP,
∴∠DEA=∠DEF,∠ADE=∠FDE,
∵DE=DE,
∴△DAE≌△DFE,
∴AD=DF,AE=EF,
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对就是公式要背熟
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真的 你只要好好背公式都没问题的1年前查看全部
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我简单写下思路
连AD,AE
∠AFG=∠DAB+∠ADE=(弧DB的度数+弧AE度数)/2,
∠AGF=∠EAC+∠AED=(弧AD的度数+弧EC度数)/2
由已知易得(弧DB的度数+弧AE度数)=(弧AD的度数+弧EC度数)
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垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的实质可以理解为:一条直线,如果它具有两个性质:(1)经过圆心;(2)垂直于弦,那么这条直线就一定具有另外三个性质:(3)平分弦,(4)平分弦所对的劣弧,(5)平分弦所对的优弧(如图所示).
如果将定理的条件与结论一个换一个或两个换两个,就可得到九个逆命题,并能证明它们都是真命题.教科书把较重要的作为推论l,而其余的作为练习题.总之,一条直线,如果它五个性质中的任何两个成立,那么它也一定具有其余三个性质.
推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧,
推论1的实质是:一条直线(如图)
(1)若满足:i)经过圆心,ii)平分弦,则可推出:iii)垂直于弦,iv)平分弦所对的劣弧,v)平分弦所对的优弧.
(2)若满足:i)垂直于弦,ii)平分弦.则可推出:iii)经过圆心,iv)平分弦所对的劣弧,v)平分弦所对的优弧.
(3)若满足;i)经过圆心,ii)平分弦所对的一条弧,则可推出:iii)垂直于弦,iv)平分弦,v)平分弦所对的另一条弧.
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
如图中,若AB‖CD,则AC=BD
注意:在圆中,解有关弦的问题时,常常需要作“垂直于弦的直径作为辅助线.
三、例题分析:
例1.如图,AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交,过A,B向CD引垂线,垂足分别为E,F,求证:CE=DF.
证明:过O作OM⊥CD于M,
∴CM=DM,
∵AE⊥CD,BF⊥CD,
∴AE//OM//FB,
又∵O是AB中点,
∴M是EF中点(平行线等分线段定理),
∴EM=MF,
∴CE=DF.
说明:此例是垂径定理及平行线等分线段定理相结合构成的命题.由于C、D两点是轴对称点,欲证CE=DF,那么E,F也必是轴对称点,由于E,F是垂足,那么E,F也应关于某条垂线成轴对称点,这样,这两个知识的结合部分仍是含有共同的对称轴.
例2.已知△ABC内接于⊙O,且AB=AC,⊙O的半径等于6cm,O点到BC的距离为2cm,求AB的长.
分析:因为不知道△ABC是锐角三角形,还是钝角三角形(由已知分析,△ABC不会是直角三角形,因为若是直角三角形,则BC为斜边,圆心O在BC上,这与O点到BC的距离为2cm矛盾),因此圆心有可能在三角形内部,也可能在三角形外部,所以需分两种情况进行讨论:
(1)假若△ABC是锐角三角形,如图,由AB=AC,
可知,,∴点A是弧BC中点,
连结AO并延长交BC于D,由垂径推论
可得AD⊥BC,且BD=CD,这样OD=2cm,
再连结OB,在Rt△OBD中OB=6cm,
可求出BD的长,则AD长可求出,
则在Rt△ABD中可求出AB的长.
(2)若△ABC是钝角三角形,如图,
连结AO交BC于D,先证OD⊥BC,
OD平分BC,再连结OB,由OB=6cm,
OD=2cm,求出BD长,然后求出AD的长,
从而在Rt△ADB中求出AB的长.
(1)连结AO并延长交BC于D,连结OB,
∵AB=AC,
∴ ,∴AD⊥BC且BD=CD,
∴OD=2,BO=6,
在Rt△OBD中,由勾股定理得:BD===4,
在Rt△ADB中,AD=OA+OD=8,
由勾股定理可得:AB===4(cm)
(2)同(1)添加辅助线求出BD=4,
在Rt△ADB中,AD=AO-OD=6-2=4,
由勾股定理可得:AB===4(cm),
∴AB=4cm或4cm.
说明:凡是与三角形外接圆有关的问题,一定要首先判断三角形的形状,确定圆心与三角形的位置关系,防止丢解或多解.
例3.已知如图:直线AB与⊙O交于C,D,且OA=OB.求证:AC=BD.
证明:作OE⊥AB于点E,
∴CE=ED,
∵OA=OB,
∴AE=BE,
∴AC=BD.
请想一下,若将此例的图形做如下变化,将如何证明.
变化一,已知:如图,OA=OB,求证:AC=BD.
变化二:已知如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点,求证:AC=BD.
说明:这三道题的共同特点是均需要过点O作弦心距,利用垂径定理进行证明,所变化的是A,B两点位置.
例4.如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=1cm,EB=5cm,∠DEB=600,求CD的长.
作OF⊥CD于F,连结OD,
∵AE=1,EB=5,
∴AB=6,∴OA==3,
∴OE=OA-AE=3-1=2,
在Rt△OEF中,
∵∠DEB=600,
∴∠EOF=300,∴EF=OE=1,
∴OF==,
在Rt△OFD中,OF=,OD=OA=3,
∴DF===(cm),
∵OF⊥CD,∴DF=CF,
∴CD=2DF=2(cm)
说明:因为垂径定理涉及垂直关系,所以就可出现与半径相关的直角三角形,求弦长,弦心距,半径问题,常常可以利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形,用其性质来解决问题,因而,在圆中常作弦心距或连结半径作为辅助线,然后用垂径定理来解题.1年前查看全部
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即x^2=3^2+(x/2)^2
解得x=2√3或-2√3(舍)
所以OC=2√31年前查看全部
- 求助一道初三的垂径定理练习题如图,圆O的直径AB和弦CD相交于点E,且AE=1cm,BE=5CM,角DEB=60°,求D
求助一道初三的垂径定理练习题
如图,圆O的直径AB和弦CD相交于点E,且AE=1cm,BE=5CM,角DEB=60°,求DC的长
ckj41年前2
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zhangxiangjie111 共回答了17个问题
|采纳率94.1%由R为(AE+BE)/2=3CM
得OE=2CM
因为角DEB=60°
O到CD距离为根号3
连DO,则DO=R=3CM
易得0.5CD=根号6
则CD等于两倍根号6
DREKEY:“不知对不对,但大概是这样.”1年前查看全部
- 初中几何(垂径定理)如图,三角形内接与圆O,过O作EQ垂直BC交圆O于P,Q两点,交AB于D点,连AO求证:OA方=OD
初中几何(垂径定理)
如图,三角形内接与圆O,过O作EQ垂直BC交圆O于P,Q两点,交AB于D点,连AO
求证:OA方=OD乘OE司马飞儿1年前1
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永远怀疑 共回答了22个问题
|采纳率86.4%证明:
延长AO,交圆O于点H,连接BH.
易知
∠ABH=90°且有∠AHB=∠ACB
另一方面,因为
∠HAB+∠AHB=90°
∠AEO+∠ACB=90°
所以
∠HAB=∠AEO
从而
△OAD∽△OEA
所以
OA/OD=OE/OA
此即OA²=OD•OE 证完.1年前查看全部
- 垂径定理推论中,弦为什么不能是直径?
没有家的孤魂1年前1
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D咖喱 共回答了21个问题
|采纳率76.2%因为圆里的任意两条直径都是互相平分的,但它们不一定互相垂直.
所以,要在弦的后面加上 不是直径 的限制.1年前查看全部
- 垂径定理习题⊙ 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若 OP的长为整数,则满足条件的点P 有( )
垂径定理习题
⊙ 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,
若 OP的长为整数,则满足条件的点P 有( )个.ww橘子1年前2
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萧萧321 共回答了24个问题
|采纳率79.2%3个
圆心到弦AB 的距离为3,半径为5,OP的长在3到5之间,满足整数的就只有3,4,5三个1年前查看全部
- 小明学习了垂径定理,做了下面的探究,请根据题目要求帮小明完成探究.
小明学习了垂径定理,做了下面的探究,请根据题目要求帮小明完成探究.
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题.如图1,在⊙0中,C是劣弧AB的中点,直线CD⊥AB于点E,则AE=BE.请证明此结论;
(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线,成为该圆的一条折弦.如图2,PA,PB组成⊙0的一条折弦.C是劣弧AB的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE=PE+PB.可以通过延长DB、AP相交于点F,再连接AD证明结论成立.请写出证明过程;
(3)如图3,PA.PB组成⊙0的一条折弦,若C是优弧AB的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE,PE与PB之间存在怎样的数量关系?写出结论,不必证明.sinoyangzi1年前1
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宋广华 共回答了14个问题
|采纳率100%解题思路:(1)连接AD,BD,易证△ADB为等腰三角形,根据等腰三角形三线合一这一性质,可以证得AE=BE.
(2)根据圆内接四边形的性质,先∠CDA=∠CDF,再证△AFD为等腰三角形,进一步证得PB=PF,从而证得结论.
(3)根据∠ADE=∠FDE,从而证明△DAE≌△DFE,得出AE=EF,然后判断出PB=PF,进而求得AE=PE-PB.证明:(1)如图1,连接AD,BD,∵C是劣弧AB的中点,∴∠CDA=∠CDB,∴△ADB为等腰三角形,∵CD⊥AB,∴AE=BE;(2)如图2,延长DB、AP相交于点F,再连接AD,∵ADBP是圆内接四边形,∴∠PBF=∠PAD,∵C是劣弧AB的中...
点评:
本题考点: 圆心角、弧、弦的关系.
考点点评: 此题主要考查了垂径定理及其推论,垂径定理-在5个条件中,1.平分弦所对的一条弧;2.平分弦所对的另一条弧;3.平分弦;4.垂直于弦;5.经过圆心(或者说直径).只要具备任意两个条件,就可以推出其他的三个.1年前查看全部
- 运用垂径定理解决日常生活中的实际问题中,应根据题意,找到数学模型,一般利用——构造出直角三角形,
运用垂径定理解决日常生活中的实际问题中,应根据题意,找到数学模型,一般利用——构造出直角三角形,
运用垂径定理解决日常生活中的实际问题中,应根据题意,找到数学模型,一般利用--------构造出直角三角形,再利用---------来解.
tmpjack81年前1
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guduniao 共回答了14个问题
|采纳率85.7%利用弦长、半径和弦心距构造出直角三角形,再利用勾股定理、解直角三角形来解.1年前查看全部
- 小明学习了垂径定理后,做了下面的探究,请你根据题目要求,帮助小明完成探究.
小明学习了垂径定理后,做了下面的探究,请你根据题目要求,帮助小明完成探究.
(2)从圆上任一点出发的两条弦所组成的折线,称为该圆的一条折弦.如图2,PA,PB组成⊙O的一条折弦,C是劣弧 的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE=PE+ PB.请证明此结论;(3) 如图3,PA,PB组成⊙O的一条折弦,C是优弧 的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE,PE,PB之间存在怎样的数量关系?写出并证明你的结论.yshen1年前1
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eshidaijun007 共回答了28个问题
|采纳率82.1%(2)其实这是一个定理 叫阿基米德折弦定理 证明:延长BP,在BP延长线上取点M,使MP=EP 连接AB CB AC CM CP 则∠CAB+∠CPB=180°(凸四边形外接圆的对角 和等于180°) ∵∠CPM+∠CPB=180° ∴∠CAB=∠CPM ∵弧AC=弧BC ∴∠APC=∠CAB(同弧所对的圆周角相等) ∴∠APC=∠CPM ∵PM=PE PC=PC ∴三角形CPM≌三角形CPE ∴CE=CM ∠AEP=∠AMP=90° ∵AC=BC(在同圆中,弧相等所对的弦相等) ∴三角形AEC≌三角形BMC(H·L) ∴AE=BM=BP+PM=BP+PE (3)AE+PB=PE 证法类似 打得好累啊 呵呵 能看明白吗1年前查看全部
- 求垂径定理何其推论所有!
xufangxu1年前2
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dd12121212 共回答了25个问题
|采纳率80%在这里:http://baike.baidu.com/view/245522.html?wtp=tt#31年前查看全部
- 圆的垂径定理是什么
udian1年前2
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fag8877 共回答了21个问题
|采纳率85.7%垂径定理是数学几何中的一个定理,它的通俗的表达是:垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧.数学表达为:如右图,直径DC垂直于弦AB,则AE=EB,劣弧AD等于劣弧BD,优弧AC=优弧BC1年前查看全部
- 圆中任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心根据 垂径定理怎么证?
22932011年前1
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远口人 共回答了21个问题
|采纳率85.7%垂经定理 :垂直于弦的直线经圆心,两条经圆心的直线,的交点不是圆心吗》?1年前查看全部
- 圆的垂径定理是什么
dd古狼1年前1
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kk07521 共回答了19个问题
|采纳率100%垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
三
四
写不下了1年前查看全部
- 垂径定理的推论在证明题中能直接用吗
rtyfghdfh1年前1
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蓝天高歌 共回答了19个问题
|采纳率100%当然可以,不过需要递加说明1年前查看全部
- 垂径定理的逆定理是正确的么?
钱匣1年前1
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duzhichang 共回答了18个问题
|采纳率83.3%是正确的,可以证明1年前查看全部
- 关于垂径定理的逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
关于垂径定理的逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
为什么定理中要求被平分的这条弦不是直径呢,是直径不也满足这条定理吗?zjiangbing1年前1
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冒牌天王 共回答了17个问题
|采纳率100%不满足啊
两条直径必定互相平分
然后它们却不一定互相垂直
对吧
所以要除了直径以外1年前查看全部
- 3(2)垂径定理如果圆的直径平分弦(这条弦______),那么这条直径___________于这条弦,并且_______
3(2)垂径定理
如果圆的直径平分弦(这条弦______),那么这条直径___________于这条弦,并且________这条弦所对的弧.
这是一条概念conanshen1年前1
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age9 共回答了13个问题
|采纳率92.3%不是直径,平分,平分1年前查看全部
- 初三数学《圆的有关性质与垂径定理》(1个选择题)
初三数学《圆的有关性质与垂径定理》(1个选择题)
1.已知:如图,四边形ABCD是圆O的内接正方形,点P是劣弧CD弧上不同于点C的任意一点,则角BPC的度数是( )
A.45度 B.60度 C.75度 D.90度13246601年前4
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点点雪心 共回答了20个问题
|采纳率100%A1年前查看全部
- 求经过点P(0,2),且与圆x平方+y平方-x+2y-3=0相交的公共弦在直线5x+2+1=0上的圆的方程.用垂径定理做
求经过点P(0,2),且与圆x平方+y平方-x+2y-3=0相交的公共弦在直线5x+2+1=0上的圆的方程.用垂径定理做怎么做
你说的(x-a)^2+(y-b)^2-c^2+k(a1x+b1y+c1)=0,我们还没教perfectcool boy1年前1
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HUANGXV_AINI 共回答了20个问题
|采纳率85%求出公共弦的两点,求该弦的垂直平分线;再取一点与P,求垂直平分线
两条垂直平分线交点即是圆心,然后求半径即可1年前查看全部
- 垂径定理是什么?
aaliao1年前4
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fbiydsz 共回答了16个问题
|采纳率81.3%垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧
推论
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 (证明时的理论依据就是上面的五条定理) 但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断: 一条直线,在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论 1.平分弦所对的优弧 2.平分弦所对的劣弧 (前两条合起来就是:平分弦所对的两条弧) 3.平分弦 (不是直径) 4.垂直于弦 5.经过圆心 6.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.1年前查看全部
- 求圆的性质和相关的求法.圆的圆周角.垂径定理之类的还有其他的.好像都要用到以前初一初二的东西.有没有人能总结一下需要用到
求圆的性质和相关的求法.
圆的圆周角.垂径定理之类的还有其他的.好像都要用到以前初一初二的东西.有没有人能总结一下需要用到什么?ddd0071年前1
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天天想你a 共回答了25个问题
|采纳率92%圆的基本性质有:
1.圆是轴对称图形,也是中心对称图形.对称轴是任何一条直径所在的直线,对称中心是它的圆心,并且具有绕其圆心旋转的不变性.
2.直径所对的圆周角是直角.
3.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
4.在同圆或等圆中,两个圆心角和它所对的两条弧、两条弦以及两个弦心距这四组量中,如果其中一组量相等,则其它三组量也都分别相等.
5.如果弦长为2a,圆的半径为R,那么弦心距d为.
割线定理:从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD,当PA=PB,即直线AB重合,即PA切线是得到切线定理PA^2=PC*PD
证明:(令A在P.B之间,C在P.D之间)因为ABCD为圆内接四边形,所以角CAB+角CDB=180度,又角CAB+角PAC=180度,所以角PAC=角CDB,又角APC公共,所以三角形APC与三角形DPB相似,所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD
切线的判定和性质
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
几何语言:∵l ⊥OA,点A在⊙O上
∴直线l是⊙O的切线(切线判定定理)
切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点半径
几何语言:∵OA是⊙O的半径,直线l切⊙O于点A
∴l ⊥OA(切线性质定理)
推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线长定理
定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
几何语言:∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点
∴PA=PC,∠APO=∠CPO(切线长定理)
弦切角
弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
几何语言:∵∠BCN所夹的是 ,∠A所对的是
∴∠BCN=∠A
推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
几何语言:∵∠BCN所夹的是 ,∠ACM所对的是 ,=
∴∠BCN=∠ACM
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
4.弦切角概念:顶点在圆上,一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角.它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角.这种角必须满足三个条件:
(1)顶点在圆上,即角的顶点是圆的一条切线的切点;
(2)角的一边和圆相交,即角的一边是过切点的一条弦所在的射线;
(3)角的另一边和圆相切,即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线.
它们是判断一个角是否为弦切角的标准,三者缺一不可,比如下图中 均不是弦切角.
(4)弦切角可以认为是圆周角的一个特例,即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角.正因为如此,弦切角具有与圆周角类似的性质.
弦切角定理:弦切角等于它所夹的孤对的圆周角.它是圆中证明角相等的重要定理之一.
切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
这些是我摘录的1年前查看全部
大家在问
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