黎曼可积函数在L1空间上非完备怎么判断的

找一个不收敛的Cauchy序列的例子就行了,这里“不收敛”的意思是在Riemann可积函数这个子空间内没有极限
比如说,取一个[0,1]上广义Riemann可积的函数f(x)=lnx,然后定义序列{f_n(x)}
f_n(x)在[1/n,1]上等于f(x),在[0,1/n]上为零
那么{f_n(x)}是L^1[0,1]上的Cauchy序列,但其极限不是Riemann可积的,即[0,1]上的Riemann可积的函数不是L^1[0,1]的完备子空间
当然,即使是广义Riemann可积函数全体依然不是完备的,下面的例子更好一些
f_0(x)是Riemann函数,f_{n+1}(x)=min{2f_n(x),1}
那么{f_n(x)}是L^1[0,1]上的Cauchy序列,其极限是Dirichlet函数,不是(广义)Riemann可积的