若f(x)=x3-ax2+bx+2在x=-1或x=3处有极值 (1)求a b的值 （2）若x属于[-2,6]时 f（x）

解题思路：把点的坐标代入函数解析式求出a、b的关系式，再根据抛物线的对称轴解析式解答即可．

∵抛物线y=ax²+bx+2经过点（3，2），
∴9a+3b+2=2，
∴b=-3a，
抛物线的对称轴为直线x=-[b/2a]=-[-3a/2a]=[3/2]，
即x=[3/2]．
故答案为：x=[3/2]．

点评：
本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴公式，把点的坐标代入解析式求出a、b的关系式是解题的关键．

(4ac-b2)/4a=3
a

解题思路：（1）把点A（-1，0）、B（3，2）代入抛物线y=ax²+bx+2求出a、b的值，故可得出抛物线的解析式；
（2）设AB交y轴于D，故可得出D点坐标，由此可得出OA，OD，AD的长，进而求出△AOD的周长，再根据PN∥y轴，可知∠PNM=∠CDN=∠ADO，由相似三角形的判定定理得出Rt△ADO∽Rt△PNM，故可得出

C△PNM

C△AOD

=[PN/AD]，用PN表示出△PMN的周长，故可得出当PN取最大值时，C_△PNM取最大值，设出PN两点的坐标，根据m的取值范围即可得出结论；
（3）设E（n，t），由题意得出抛物线C₁，C₂的解析式，再根据E在抛物线C₁上可得出t的表达式，由四边形DFEG为菱形可知DF=FE=EG=DG，连接ED，由抛物线的对称性可知，ED=EF，故△DEG与△DEF均为正三角形，故D为抛物线C₁的顶点，求出D点坐标，由DF∥x轴，且D、F关于直线x=n对称可得出DF的长，再根据△DEF为正三角形即可得出n的值，进而求出t的值，故可得出E点坐标．

（1）∵A（-1，0）、B（3，2）在抛物线y=ax²+bx+2上，
∴

a−b+2＝o
9a+3b+2＝2 ，
解得：

a＝−
1
2
b＝
3
2 ，
∴抛物线的解析式为y=-[1/2]x²+[3/2]x+2；

（2）∵设AB交y轴于D，则D（0，[1/2]），（如图1）
∴OA=1，OD=[1/2]，AD=

5
2，
∴C_△AOD=
3+
5
2，
∵PN∥y轴，
∴∠PNM=∠CDN=∠ADO，
∴Rt△ADO∽Rt△PNM．
∴

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等相关知识，难度较大．

解题思路：根据函数奇偶性的性质，确定定义域的关系，然后根据方程f（-x）=f（x），即可求出函数的值域．

∵f（x）=ax²+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，
∴定义域关于原点对称，即1+a+2=0，
∴a=-3．
又f（-x）=f（x），
∴ax²-bx+2=ax²+bx+2，
即-b=b解得b=0，
∴f（x）=ax²+bx+2=-3x²+2，定义域为[-2，2]，
∴-10≤f（x）≤2，
故函数的值域为[-10，2]，
故选：A．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．

解题思路：（1）把点A、B的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后判断出平行于AC的直线与二次函数图象只有一个交点时△ACP的面积最大，再联立直线与二次函数解析式，消掉y，利用根的判别式△=0时方程只有一个根求解即可；
（3）设点E的横坐标为c，表示出BE、QE，然后根据相似三角形对应边成比例，分OA和BE，OA和QE是对应边两种情况列出比例式求解即可．

（1）∵二次函数y=ax²+bx+2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，
∴

9a−3b+2＝0
a+b+2＝0，
解得

a＝−
2
3
b＝−
4
3，
∴二次函数的解析式为y=-[2/3]x²-[4/3]x+2；

（2）令x=0，则y=2，
∴点C（0，2），
设直线AC的解析式为y=kx+m（k≠0），
则

−3k+m＝0
m＝2，
解得

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，相似三角形对应边成比例的性质，（2）判断出与AC平行的直线与二次函数图象只有一个交点时三角形的面积最大是解题的关键，（3）要分情况讨论．

解题思路：由不等式ax²+bx+2＞0的解集是{x|−

1

2

＜x＜

1

3

}，可得-[1/2]，[1/3]是一元二次方程ax²+bx+2=0的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出．

不等式ax²+bx+2＞0的解集是{x|−
1
2＜x＜
1
3}，可得-[1/2]，[1/3]是一元二次方程ax²+bx+2=0的两个实数根，
∴−
1
2+
1
3=−
b
a，−
1
2×
1
3=[2/a]，
解得a=-12，b=-2，
∴a-b=-12-（-2）=-10，
故选：D

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法．

考点点评： 本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系，考查了计算能力，属于基础题．

解题思路：（1）因为点C的横坐标等于零，且点C位于抛物线上，所以令y=0，则求得点C的纵坐标；
（2）将A（1，0）、B（4，0）点坐标代入抛物线y=ax²+bx+2（a≠0）中，列方程组求a、b的值即可；
（3）所求的P的纵坐标与点C的纵坐标的绝对值相等，所以把相应的y值代入函数解析式来求x的值．

（1）如图，∵点C在抛物线y=ax²+bx+2（a≠0）上，
∴当x=0时，y=2，
∴C（0，2）；
故答案是：（0，2）；

（2）A（1，0）、B（4，0）两点代入y=ax²+bx+2，得


a+b+2＝0
16a+4b+2＝0，


解得

a＝
1
2
b＝−
5
2．
则该抛物线的解析式为：y=[1/2]x²-[5/2]x+2；

（3）情况一：当S_△PAB=S_△ABC时．点P是平行于x轴且到x轴的距离为2的直线与抛物线的交点．如图1所示．
∵C（0，2），S=S_△ABC，
∴设P（x，2）或（x，-2）．


①当点P的坐标是（x，2）时，2=[1/2]x²-[5/2]x+2
解得 x=0或x=5．
则点P的坐标是（0，2）（与点C重合）或（5，2）；
②当点P的坐标是（x，-2）时，-2=[1/2]x²-[5/2]x+2，
∵△＜0，
∴该方程无解，即不存在这样的点P．
情况二：当S_△PBC=S_△ABC时．点P是平行于BC且到BC的距离为点A到BC的距离的直线与抛物线的交点．如图2所示．
易求符合条件的点P的坐标为：（1，0），（3，-1），（2+
7，
5−
7
2），（2-
7，
5+
7
2）；
情况三：当S_△PAC=S_△ABC时．点P是平行于AC且到AC的距离为点B到AC的距离的直线与抛物线的交点．过点B与AC平行的直线解析式为y=-2x+8，与抛物线联立方程组可求得两根分别为4和-3，此时两点坐标分别为（4，0）（-3，14）
此时当点P与点B重合时，符合题意．
综上所述，符合条件的点P的坐标是：（0，2）或（5，2）或（1，0），（（3，-1）或（2+
7，
5−
7
2）或
（2-
7，
5+
7
2）或（4，0）或（-3，14）．

点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．

考点点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求二次函数解析式．解答（3）题时，要分类讨论．

（1）如图，∵点C在抛物线y=ax²+bx+2（a≠0）上，
∴当x=0时，y=2，
∴C（0，2）；
故答案是：（0，2）；

（2）A（1，0）、B（4，0）两点代入y=ax²+bx+2，得


a+b+2＝0
16a+4b+2＝0，


解得

a＝
1
2
b＝?
5
2．
则该抛物线的解析式为：y=[1/2]x²-[5/2]x+2；

（3）情况一：当S_△PAB=S_△ABC时．点P是平行于x轴且到x轴的距离为2的直线与抛物线的交点．如图1所示．
∵C（0，2），S=S_△ABC，
∴设P（x，2）或（x，-2）．


①当点P的坐标是（x，2）时，2=[1/2]x²-[5/2]x+2
解得 x=0或x=5．
则点P的坐标是（0，2）（与点C重合）或（5，2）；
②当点P的坐标是（x，-2）时，-2=[1/2]x²-[5/2]x+2，
∵△＜0，
∴该方程无解，即不存在这样的点P．
情况二：当S_△PBC=S_△ABC时．点P是平行于BC且到BC的距离为点A到BC的距离的直线与抛物线的交点．如图2所示．
易求符合条件的点P的坐标为：（1，0），（3，-1），（2+
7，
5?
7
2），（2-
7，
5+
7
2）；
情况三：当S_△PAC=S_△ABC时．点P是平行于AC且到AC的距离为点B到AC的距离的直线与抛物线的交点．过点B与AC平行的直线解析式为y=-2x+8，与抛物线联立方程组可求得两根分别为4和-3，此时两点坐标分别为（4，0）（-3，14）
此时当点P与点B重合时，符合题意．
综上所述，符合条件的点P的坐标是：（0，2）或（5，2）或（1，0），（（3，-1）或（2+
7，
5?
7
2）或
（2-
7，
5+
7
2）或（4，0）或（-3，14）．

依题意可知：a＜0.此时原不等式等价于：x²+（b/a）X+2/a＜0,由于它的解集是：x1=-1/2＜x＜1/3=x2,故可推知方程x²+(b/a)x+2/a=0的两根满足： x1+x2=-1/2+1/3=-1/6=-b/a,且x1*x2=-1/2*1/3=-1/6=2/a,所以有：1/6=b/a且-1/6=2/a,解此方程组得：a=-12,b=-2.所以a-b=-12-（-2）=-10.

解题思路：由a＜0，b＞0，故其图象开口向下，由对称轴x=-[b/2a]＞0在x轴的正半轴，而c=2＞0，可以得到图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，故可以确定抛物线y=ax²+bx+2的顶点所在象限．

∵抛物线y=ax²+bx+2中，a＜0，b＞0，
∴图象开口向下，
∵对称轴x=-[b/2a]＞0，
∴对称轴在x轴的正半轴，
∵c=2＞0，
∴图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，
故抛物线y=ax²+bx+2的顶点在第一象限．
故选A．

点评：
本题考点： 二次函数图象与系数的关系．

考点点评： 本题考查二次函数的图象与系数的关系．解答此题要熟知二次函数的图象的性质．

解题思路：（1）根据待定系数法可求抛物线的解析式，再根据A（m，0）在抛物线上，得到0=-[1/4]m²-[1/2]m+2，解方程即可得到m的值，从而得到A点的坐标；
（2）根据四边形PAFB的面积S=[1/2]AB•PF，可得S=-[3/4]（x+2）²+12，根据函数的最值可得S的最大值是12，进一步得到点P的坐标为；
（3）根据待定系数法得到PB所在直线的解析式为y=-[1/2]x+1，设Q（a，[1/2]a-1）是y=[1/2]x-1上的一点，则Q点关于x轴的对称点为（a，1-[1/2]a），将（a，1-[1/2]a）代入y=-[1/2]x+1显然成立，依此即可求解．

（1）∵抛物线y=ax²+bx+2经过点B（2，0），D（1，[5/4]），
∴

4a+2b+2＝0
a+b+2＝
5
4，
解得a=-[1/4]，b=-[1/2]，
∴抛物线的解析式为y=-[1/4]x²-[1/2]x+2，
∵A（m，0）在抛物线上，
∴0=-[1/4]m²-[1/2]m+2，
解得m=-4，
∴A点的坐标为（-4，0）．
如图所示：


（2）∵直线l的解析式为y=[1/2]x-1，
∴S=[1/2]AB•PF
=[1/2]×6•PF
=3（-[1/4]x²-[1/2]x+2+1-[1/2]x）
=-[3/4]x²-3x+9
=-[3/4]（x+2）²+12，
其中-4＜x＜0，
∴S的最大值是12，此时点P的坐标为（-2，2）；

（3）∵直线PB经过点P（-2，2），B（2，0），
∴PB所在直线的解析式为y=-[1/2]x+1，
设Q（a，[1/2]a-1）是y=[1/2]x-1上的一点，
则Q点关于x轴的对称点为（a，1-[1/2]a），
将（a，1-[1/2]

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，函数的最值问题，四边形的面积求法，以及关于x轴的对称点的坐标特征．

解题思路：（1）由二次函数y=ax²+bx+2的图象与y轴相交于点A，即可求得点A的坐标，又由四边形ABCO是正方形，即可得点D的纵坐标为2，点E的横坐标为2，由点D与E在反比例函数y＝

2

x

的图象上，即可求得点D与E的坐标；
（2）由点D、E在二次函数y=ax²+bx+2的图象上，利用待定系数法即可求得这个二次函数的解析式，然后利用配方法即可求得它的图象的顶点坐标．

（1）∵二次函数y=ax²+bx+2的图象与y轴相交于点A，
∴点A的坐标为（0，2）．（1分）
∵四边形ABCO是正方形，
∴点D的纵坐标为2，
当y=2时，2=[2/x]，x=1，
∴点D的坐标为D（1，2）．（1分）
∵CO=AO=2，
∴点E的横坐标为2，
当x=2时，y=[2/2]=1，
∴点E的坐标为E（2，1）．（1分）

（2）∵点D、E在二次函数y=ax²+bx+2的图象上，
∴

a+b+2＝2
4a+2b+2＝1.（1分）
解得

a＝−
1
2
b＝
1
2.（1分）
∴这个二次函数的解析式为y=-[1/2]x²+[1/2]x+2．（1分）
y=-[1/2]x²+[1/2]x+2，
=-[1/2]（x²-x）+2，
=-[1/2]（x²-x+[1/4]）+[1/8]+2，
=-[1/2]（x-[1/2]）²+[17/8]．（2分）
二次函数图象

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题考查了正方形的性质，点与函数图象的关系，待定系数法求二次函数的解析式以及配方法求二次函数顶点坐标的知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．

（1）∵抛物线y=ax²+bx+2经过点B（2，0），D（1，[5/4]），
∴

4a+2b+2＝0
a+b+2＝
5
4，
解得a=-[1/4]，b=-[1/2]，
∴抛物线的解析式为y=-[1/4]x²-[1/2]x+2，
∵A（m，0）在抛物线上，
∴0=-[1/4]m²-[1/2]m+2，
解得m=-4，
∴A点的坐标为（-4，0）．
如图所示：


（2）∵直线l的解析式为y=[1/2]x-1，
∴S=[1/2]AB?PF
=[1/2]×6?PF
=3（-[1/4]x²-[1/2]x+2+1-[1/2]x）
=-[3/4]x²-3x+9
=-[3/4]（x+2）²+12，
其中-4＜x＜0，
∴S的最大值是12，此时点P的坐标为（-2，2）；

（3）∵直线PB经过点P（-2，2），B（2，0），
∴PB所在直线的解析式为y=-[1/2]x+1，
设Q（a，[1/2]a-1）是y=[1/2]x-1上的一点，
则Q点关于x轴的对称点为（a，1-[1/2]a），
将（a，1-[1/2]