lim (e^x-sinx-1)/(arcsinx^2)

leerff2022-10-04 11:39:541条回答

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没有想不到 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%
lim(x→0) (e^x-sinx-1)/(arcsinx^2)
=lim(x→0) (e^x-sinx-1)/x^2 (0/0)
=lim(x→0) (e^x-cosx)/(2x) (0/0)
=lim(x→0) e^x+sinx
=1
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(e^-x)=-e^(-x)
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所以dy=[-(e^-x) arcsinx^2 ln(sinx)+(e^-x) *2x/√(1-x^4) ln(sinx)+(e^-x) arcsinx^2*cotx]dx
求arcsinx^2的二阶导数,
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S是不定积分号,0是积分下限,1是积分上线
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∫(0→1) f(x) dx
= xf(x) |(0→1) - ∫(0→1) xf'(x) dx
= f(1) - ∫(0→1) x(arcsinx)² dx
= - ∫(0→1) x(arcsinx)² dx
= (- 1/2)∫(0→1) (arcsinx)² d(x²)
= (- 1/2)(xarcsinx)² |(0→1) + (1/2)∫(0→1) x² d(arcsinx)²
= (- 1/2)(π/2)² + ∫(0→1) x²arcsinx/√(1 - x²) dx
= - π²/8 + ∫(0→1) x²arcsinx/√(1 - x²) dx
令x = siny ==> dx = cosy dy
= - π²/8 + ∫(0→π/2) ysin²y/cosy • cosy dy
= - π²/8 + ∫(0→π/2) y • (1 - cos2y)/2 dy
= - π²/8 + ∫(0→π/2) y/2 dy - (1/2)∫(0→π/2) ycos2y dy
= - π²/8 + y²/4 |(0→π/2) - (1/2)(1/2)∫(0→π/2) y d(sin2y)
= - π²/8 + (1/4)(π/2)² - (1/4)ysin2y |(0→π/2) + (1/4)∫(0→π/2) sin2y dy
= - π²/8 + π²/16 + (1/4)(- 1/2)cos2y |(0→π/2)
= - π²/16 - (1/8)[(- 1) - 1]
= (4 - π²)/16