η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,ξ2,ξ3,...,ξn-r,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,求证

雪之纯净2022-10-04 11:39:541条回答

η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,ξ2,ξ3,...,ξn-r,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,求证
η*,ξ1,ξ2,...ξn-r线性无关

已提交，审核后显示！提交回复

runman_fly 共回答了21个问题 | 采纳率71.4%: 证明:设 kη*+k1ζ1+k2ζ2+...+kn-rζn-r = 0
等式两边左乘A,由 Aη*=b,Aζi = 0 得
kb = 0.
因为 AX=b 是非齐次线性方程组,故 b≠0
所以 k = 0.
所以 k1ζ1+k2ζ2+...+kn-rζn-r = 0
由 ζ1、 ζ2、.ζn-r 是AX=0的一个基础解系
所以 k1=k2=...=kn-r = 0.
所以 k=k1=k2=...=kn-r = 0.
所以 η*,ζ1,ζ2,...,ζn-r线性无关.; 1年前

η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,ξ2,ξ3,...,ξn-r,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,求证 η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,ξ2,ξ3,...,ξn-r,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,求证 η*,η*+ξ1,η*+ξ2,...η*+ξn-r线性无关 浣熊妹妹1年前2: godsagirl 共回答了21个问题 | 采纳率90.5%

证明:设 kη*+k1(η*+ξ1)+k2(η*+ξ2)+...+kn-r(η*+ξn-r) = 0
则 (k+k1+k2+...+kn-r)η*+k1ξ1+k2ξ2+...+kn-rξn-r = 0 (*)
等式两边左乘A,注意到 Aη*=b,Aξi=0,i=1,2,...,n-r,得
(k+k1+k2+...+kn-r)b = 0.(**)
由于Ax=b是非齐次线性方程组,故 b≠0
所以 k+k1+k2+...+kn-r = 0.
所以由(*)式得 k1ξ1+k2ξ2+...+kn-rξn-r = 0.
再由ξ1,ξ2,ξ3,...,ξn-r线性无关知 k1=k2=...=kn-r=0
代入(**)式得 k=0.
故 η*,η*+ξ1,η*+ξ2,...η*+ξn-r线性无关.

1年前查看全部