设A为mxn实矩阵,证明秩（AtA）=秩（A）

ljjl43642022-10-04 11:39:541条回答

设A为mxn实矩阵,证明秩（AtA）=秩（A）
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唐伯狼才子共回答了16个问题 | 采纳率87.5%: 只要证明方程组A'Ax=0和Ax=0同解(记A'=At)
若x是Ax=0的解,则显然x也是A'Ax=0的解
若x是A'Ax=0的解
则x'A'Ax=x'0=0
(Ax)'(Ax)=0
||Ax||=0
Ax的范数为0的当且仅当Ax=0
所以x是Ax=0的解.; 1年前

在线等线性代数题陈文登指南2011版473页,有一道例题,A为m阶实对称矩阵且正定,B为mxn实矩阵,B^（手机发帖没转 在线等线性代数题 陈文登指南2011版473页,有一道例题,A为m阶实对称矩阵且正定,B为mxn实矩阵,B^（手机发帖没转置符号,用这这个代替啦）为B的转置矩阵.试证：B^AB为正定矩阵充要条件为r(B)=n.这道题答案在证明充分性时候,说方程组Bx=0只有零解,因为任意n维列向量x不等于0,所以Bx不等于0,他说(Bx)^(Bx)>0,所以x不等于0的时候x^(B^AB)x>0直接得出结论正定了.这样做有根据吗?我看不出来啊,谁能帮我解释下啊.我的思路是这样的,我证明充分性的时候设的A=P^P,所以B^AB=B^(P^P)B=(PB)^(PB)因为P和B都可逆,所以PB可逆,所以结论成立.在线等解答… 随便-托蒂1年前2: 路过你的城市共回答了19个问题 | 采纳率84.2%

解释没有问题
充分性由r(B)=n推B^AB正定
当r(B)=n时,显然有Bx=0,因为B的列秩和元素个数相同,x只能为零.而求正定时,x是不为零的向量,所以Bx不为零（注意,Bx是一个列向量,不是一个数）.这样,(Bx)^(Bx)乘积必然大于0.（注意,这里的(Bx)^(Bx)是一个数）
你的做法中有一个错误,B是m*n矩阵,显然不可能是可逆矩阵.可逆矩阵是只有N阶矩阵才有的概念.

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设A为n阶正定矩阵,B是mXn实矩阵,且R（B）=m,证明B^TAB也是正定矩阵 yuzuoyun1年前1: 52yunhao 共回答了11个问题 | 采纳率100%

X^T(B^TAB)X=(BX)^TA(BX)
因为A正定,故=(BX)^TA(BX)为正定二次型,于是B^TAB正定

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设A为mxn实矩阵,AtA为正定矩阵,证明线性方程AX=0只有零解急 设A为mxn实矩阵,AtA为正定矩阵,证明线性方程AX=0只有零解急 没人会做吗 fordpeng1年前1: 黑人专用户共回答了16个问题 | 采纳率93.8%

设A为mxn实矩阵,A^tA是正定矩阵,
所以|A^tA|>0,从而（A^tA)的秩是n
从而方程(A^tA)X=0只有零解.
下面只要证方程(A^tA)X=0与方程AX=0有相同的解即可.
1）设α设是方程AX=0的解,那么Aα=0
从而（A^tA)α=A^t(Aα)=A^t*0=0,即α是方程(A^tA)X=0的解
2）设α设是方程（A^tA)X=0的解,则（A^tA)α=0
从而α^t(A^tA)α=(Aα)^t(Aα)=0
而Aα是mx1的矩阵,设Aα=(x1,x2,...,xm)^t
所以α^t(A^tA)α=(Aα)^t(Aα)=x1^2+x2^2+..+xm^2=0
由于x1,x2,...,xm是实数,所以x1=x2=...=xm=0
所以Aα=0
所以α是方程AX=0的解,
因此方程(A^tA)X=0与方程AX=0有相同的解,从而Ax=0只有零解.

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线性代数中a为mxn实矩阵,若r(a转置xa)=5,则r(a)为多少? zhiqing041年前1: 情感的秤共回答了22个问题 | 采纳率86.4%

根据矩阵秩的性质有r((A^T)A)=r(A),所以r(A)=5.经济数学团队帮你解答,请及时评价.

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