设f（x）=a．2x−12x+1是R上的奇函数．

解题思路：（1）利用奇函数的定义f（-x）=-f（x）对x∈R恒成立，解方程求出a的值．
（2）由（1）知f（x）=

2x−1

2x+1

，由y=

2x−1

2x+1

，解出 x的解析式，再把自变量和函数交换位置，并注明反函数的定义域（即原函数的值域）即得反函数．

（1）由题意知f（-x）=-f（x）对x∈R恒成立，即
a•2−x−1
2−x+1=-
a•2x−1
2x+1，
即（a-1）（2^x+1）=0，
∴a=1．
（2）由（1）知f（x）=
2x−1
2x+1，由y=
2x−1
2x+1，得 2^x=[1+y/1−y]，x=log₂[1+y/1−y]，
∴f^-1（x）=log₂[1+x/1−x]（-1＜x＜1）．

点评：
本题考点： 反函数；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题考查求一个函数的反函数的方法，奇函数的定义以及指数式与对数式的互化．