梯形中位线的性质梯形中位线有什么性质和上下底的关系位置关系和大小关系什么是梯形中位线三角形的呢

流散结2022-10-04 11:39:541条回答

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遥遥绿 共回答了13个问题 | 采纳率100%
1.中位线概念:
(1)三角形中位线定义:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
(2)梯形中位线定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.
注意:
(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开.三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的 线段,而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段.
(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段.
(3)两个中位线定义间的联系:可以把三角形看成是上底为零时的梯形,这时梯形的中位线就变成三角形的中位线.
2.中位线定理:
(1)三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.
(2)梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.
中位线是三角形与梯形中的一条重要线段,由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连,因此,它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用.
  例1 如图2-53所示.△ABC中,AD⊥BC于D,E,F,△ABC的面积.
  分析 由条件知,EF,EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线.利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系,不难求出△ABC的高AD及底边BC的长.
  解 由已知,E,F分别是AB,BD的中点,所以,EF是△ABD的一条中位线,所以
  由条件AD+EF=12(厘米)得
EF=4(厘米),
  从而 AD=8(厘米),
  由于E,G分别是AB,AC的中点,所以EG是△ABC的一条中位线,所以
BC=2EG=2×6=12(厘米),
  显然,AD是BC上的高,所以
  例2 如图 2-54 所示.△ABC中,∠B,∠C的平分线BE,CF相交于O,AG⊥BE于G,AH⊥CF于H.
  (1)求证:GH∥BC;
  (2)若AB=9厘米,AC=14厘米,BC=18厘米,求GH.
  分析 若延长AG,设延长线交BC于M.由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG,从而G是AM的中点;同样,延长AH交BC于N,H是AN的中点,从而GH就是△AMN的中位线,所以GH∥BC,进而,利用△ABC的三边长可求出GH的长度.
  (1)证 分别延长AG,AH交BC于M,N,在△ABM中,由已知,BG平分∠ABM,BG⊥AM,所以
△ABG≌△MBG(ASA).
  从而,G是AM的中点.同理可证
△ACH≌△NCH(ASA),
  从而,H是AN的中点.所以GH是△AMN的中位线,从而,HG∥MN,即
HG∥BC.
  (2)解 由(1)知,△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH,所以
AB=BM=9厘米,AC=CN=14厘米.
  又BC=18厘米,所以
BN=BC-CN=18-14=4(厘米),
MC=BC-BM=18-9=9(厘米).
  从而
MN=18-4-9=5(厘米),
  
  说明 (1)在本题证明过程中,我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理:“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线,则这条平分线也是对边的中线,这个三角形是等腰三角形”.
  (2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的:“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线,则这个三角形是等腰三角形,这条平分线垂直于对边”.同学们不妨自己证明.
  (3)从本题的证明过程中,我们得到启发:若将条件“∠B,∠C的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线”(如图2-55所示),或改为“∠B,∠C的外角平分线”(如图2-56所示),其余条件不变,那么,结论GH∥BC仍然成立.同学们也不妨试证.
 
  例3 如图2-57所示.P是矩形ABCD内的一点,四边形BCPQ是平行四边形,A′,B′,C′,D′分别是AP,PB,BQ,QA的中点.求证:A′C′=B′D′.
  分析 由于A′,B′,C′,D′分别是四边形APBQ的四条边AP,PB,BQ,QA的中点,有经验的同学知道A′B′C′D′是平行四边形,A′C′与B′D′则是它的对角线,从而四边形A′B′C′D′应该是矩形.利用ABCD是矩形的条件,不难证明这一点.
  证 连接A′B′,B′C′,C′D′,D′A′,这四条线段依次是△APB,△BPQ,△AQB,△APQ的中位线.从而
A′B′∥AB,B′C′∥PQ,
C′D′∥AB,D′A′∥PQ,
  所以,A′B′C′D′是平行四边形.由于ABCD是矩形,PCBQ是平行四边形,所以
AB⊥BC,BC∥PQ.
  从而
AB⊥PQ,
  所以 A′B′⊥B′C′,
  所以四边形A′B′C′D′是矩形,所以
  A′C′=B′D′. ①
  说明 在解题过程中,人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用.如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验,对寻求思路起了不小的作用.因此注意归纳总结,积累经验,对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的.
  例4 如图2-58所示.在四边形ABCD中,CD>AB,E,F分别是AC,BD的中点.求证:
  分析 在多边形的不等关系中,容易引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线,为此,取AD中点.
  证 取AD中点G,连接EG,FG,在△ACD中,EG是它的中位线(已知E是AC的中点),所以
  同理,由F,G分别是BD和AD的中点,从而,FG是△ABD的中位线,所以
  在△EFG中,
EF>EG-FG. ③
  由①,②,③
  例5 如图2-59所示.梯形ABCD中,AB∥CD,E为BC的中点,AD=DC+AB.求证:DE⊥AE.
  分析 本题等价于证明△AED是直角三角形,其中∠AED=90°.
  在E点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下,添梯形的中位线作为辅助线,若能证明,该中位线是直角三角形AED的斜边(即梯形另一腰)的一半,则问题获解.
  证 取梯形另一腰AD的中点F,连接EF,则EF是梯形ABCD的中位线,所以
  因为AD=AB+CD,所以
  从而
∠1=∠2,∠3=∠4,
  所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的内角和等于180°).从而
∠AED=∠2+∠3=90°,
  所以 DE⊥AE.
  例6 如图2-60所示.△ABC外一条直线l,D,E,F分别是三边的中点,AA1,FF1,DD1,EE1都垂直l于A1,F1,D1,E1.求证:
AA1+EE1=FF1+DD1.
  分析 显然ADEF是平行四边形,对角线的交点O平分这两条对角线,OO1恰是两个梯形的公共中位线.利用中位线定理可证.
  证 连接EF,EA,ED.由中位线定理知,EF∥AD,DE∥AF,所以ADEF是平行四边形,它的对角线AE,DF互相平分,设它们交于O,作OO1⊥l于O1,则OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位线,所以
  
  即 AA1+EE1=FF1+DD1.
练习十四
  1.已知△ABC中,D为AB的中点,E为AC上一点,AE=2CE,CD,BE交于O点,OE=2厘米.求BO的长.
  2.已知△ABC中,BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线,AH⊥BD于H,AF⊥CE于F.若AB=14厘米,AC=8厘米,BC=18厘米,求FH的长.
  3.已知在△ABC中,AB>AC,AD⊥BC于D,E,F,G分别是AB,BC,AC的中点.求证:∠BFE=∠EGD.
  4.如图2-61所示.在四边形ABCD中,AD=BC,E,F分别是CD,AB的中点,延长AD,BC,分别交FE的延长线于H,G.求证:∠AHF=∠BGF.
  5.在△ABC中,AH⊥BC于H,D,E,F分别是BC,CA,AB的中点(如图2-62所示).求证:∠DEF=∠HFE.
 
  6.如图2-63所示.D,E分别在AB,AC上,BD=CE,BE,CD的中点分别是M,N,直线MN分别交AB,AC于P,Q.求证:AP=AQ.
  7.已知在四边形ABCD中,AD>BC,E,F分别是AB,CD
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证明梯形中位线的逆定理(详情请进)
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A|---------B | E|-----------F | | D|--------------C 延长AF,与DC的延长线交于G EF = (AB+CD)*1/2 因为EF是三角形ADG的中位线,所以AB = CG 可以证明三角形ABF 和三角形CFG全等,则角BAF = FGC 所以AB//CD
已知:等腰梯形abcd,ad平行bc,对角线ac垂直bd,de垂直bc,de=8cm,求梯形中位线长度
小刀笑1年前1
王晓乐 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%
用割补法可知,沿一条对角线裁开等腰梯形,可将等腰梯形拼成一个等腰直角三角形.
可知 中位线=DE=8cm


设AC交BD于O,DE交AC于F
∵△DBC≌△ACB 【AB=DC;∠ABC=∠DCB;BC=CB】
∴∠DBC=∠ACB
∵AC⊥BD => ∠BOC=90°
∴△BOC是等腰直角三角形
=> △AOD、△BDE、△AFD、△CFE都是等腰直角三角形
∴DE=DF+FE=AD+CE=AD+(BC-AD)/2=(BC+AD)/2=梯形中位线长度
∴梯形中位线=DE=8 cm
有关证三点共线的奥数,已知,梯形ABCD中,AB‖CD,∠A和∠D的平分线相交于O求证 点O在梯形中位线上为防止劣质答案
有关证三点共线的奥数,
已知,梯形ABCD中,AB‖CD,∠A和∠D的平分线相交于O
求证 点O在梯形中位线上
为防止劣质答案,本人郑重承诺,
haibi1年前0
共回答了个问题 | 采纳率
在梯形ABCD中,AD平行BC,对角线AC垂直BD,且AC=12,BD=9,求梯形中位线长
在梯形ABCD中,AD平行BC,对角线AC垂直BD,且AC=12,BD=9,求梯形中位线长
如题
紧急
别太自信1年前1
小丸子0 共回答了20个问题 | 采纳率95%
在边上补上一个一样大小的倒梯形,姑且为DCEF,DE与CF是对角线,由AD平行BE
且AD=CE,推出ACED为平行四边形,推出CE=AD,AC平行且等于DE,因为AC垂直BD,所以BD垂直DE,所以BE=15,即BC+AD=15,所以梯形中位线长为15/2
取直角梯形一条斜边的中点再向高做垂线就是梯形中位线吗?
取直角梯形一条斜边的中点再向高做垂线就是梯形中位线吗?
请问这在初三课本中是否直接允许应用(没有学同一法等等)
是否成立?
liuranh1年前1
十一月得萧邦 共回答了15个问题 | 采纳率86.7%
肯定成立.有这个定理.可以直接使用.
如果你觉得这个定理不可靠,那就证明它是中位线,只有两步,也不算费事.
在梯形ABCD中,∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P,若EF=3,则梯
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dianziokd 共回答了22个问题 | 采纳率86.4%
周长等于12
因为ef=3
所以上底+下底=6
因为是平分线 所以EP=BE PF=FC
所以be+fc=3
所以AB+DC=6
所以周长加起来等于12
如图,梯形ABCD中,∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上一点P,PH⊥AB于H,若EF=3,PH=1,AD
如图,梯形ABCD中,∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上一点P,PH⊥AB于H,若EF=3,PH=1,AD=2,
则▷BPC的面积为_______

如图,梯形ABCD中,∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上一点P,PH⊥AB于H,若EF=3,PH=1,AD=2,则▷BPC的面积为_______
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∵EF是梯形ABCD是中位线
∴EF=1/2(AD+BC)
1/2(2+BC)=3
BC=4
∵PB是∠ABC的平分线
∴做PM⊥BC于M,已知PH⊥AB
∴PM=PH=1
∴S△BPC=1/2BC×PM=1/2×4×1=2
梯形中位线逆定理证明已知:梯形ABCD中,AD // BC,EF // BC,EF=AD+BC.求证:E、F为AB、CD
梯形中位线逆定理证明
已知:梯形ABCD中,AD // BC,EF // BC,EF=AD+BC.
求证:E、F为AB、CD中点.
多给几种方法,不要超过初一下学期数学学习的知识,
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过E作MN∥CD,交DA延长线,CB于M,N
∵BC∥EF∥AD
∴MD=EF=CN,ME=DF,EN=CF
∠M=∠MNB,∠B=∠MAB
∴2EF=MD+CN=AD+MA+CB-BN
而2EF=AD+BC
∴MA=BN
∴△MAE≌△NBE
∴AE=BE,DF=ME=NE=CF
即E、F为AB、CD中点.
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如图:凸四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,且EF=(AB+CD)/2
求证:AB∥CD
证明:用反证法.
假设AB、CD不平行,则:EF至少与AB、CD中的一条线段不平行(否则AB∥EF∥CD)
不妨设EF、AB不平行,连接BD交EF于G,则:EG、AB不平行
过E作EH∥AB交EF于异于G的H点,
∵E是AD的中点---->EH是三角形ABD的中位线,∴H是BD的中点且EH=AB/2
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证明梯形中位线的逆定理(详情请进)
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一个凸四边形
两对边中点连线,等于另外两边和的一半
求证他是梯形
一点也不简单
怎么就是三角形中位线了
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A|---------B
|
E|-----------F
|
|
D|--------------C
延长AF,与DC的延长线交于G
EF = (AB+CD)*1/2
因为EF是三角形ADG的中位线,所以AB = CG
可以证明三角形ABF 和三角形CFG全等,则角BAF = FGC
所以AB//CD
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桑树叶1年前2
旅途v 共回答了20个问题 | 采纳率90%
过A做AE平行于BD,交CB延长线于E,
易知AEBD为平行四边行,
BE=AD,AE平行于BD,则
AE垂直与AC,
三角形AEC为直角三角形,利用勾股定律EC平方=12平方+5平方,得EC=13
中位线长为1/2(AD+BC)=1/2(BE+BC)=1/2*CE=13/2
梯形面积被对角线分成3:7两部分,求梯形中位线被对角线分成的较长段与较短段之比
jiangshi12341年前2
hyddt 共回答了20个问题 | 采纳率95%
梯形面积被对角线分成3:7两部分,根据梯形上下底间的距离相等,可以知道梯形的上、下底的比为3:7,而梯形的中位线被对角线分成的两段线段分别是相应两个三角形的中位线,分别等于梯形上、下底的一半,所以较长段与较短段之比也等于3:7
梯形ABCD中 AD平行BC EF为梯形中位线 连接AC交EF 与G BD交EF与H AD=2 BC =3 求HG:AD
梯形ABCD中 AD平行BC EF为梯形中位线 连接AC交EF 与G BD交EF与H AD=2 BC =3 求HG:AD的值
千秋谚1年前1
zhongdianzahn 共回答了17个问题 | 采纳率94.1%
详细过程就不说了
先算EF的长为(2+3)/2=2.5
再算EG的长3/2=1.5
再算FH的长3/2=1.5
所以HG=1.5+1.5-2.5=0.5
所以HG:AD=0.5:2=1:4
怎样证明梯形中位线的性质?
ayac7511年前1
oybh1022 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%
性质:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.证明:梯形ABCD中,AD//BC,E,F分别是AB,CD的中点.连结AF,并延长AF于BC延长线交于点O 在△ADF和△FCO中 ∵ AD//BC ∴ ∠D=∠1 图1 又∵ ∠2=∠3 DF=CF ∴ △ADF≌△FCO ∵ 点E,F分别是AB,AO中点 ∴ EF为三角形ABO中位线 ∴ EF∥OB即EF∥BC ∵ AD//BC ∴ EF∥BC∥AD(EF平行两底) ∵ EF为三角形ABO的中位线 ∴ 2EF=OB OB=BC+CO CO=AD ∴ 2EF=BC+AD ∴ EF=(BC+AD)/2
等腰梯形ABCD中,AD‖BC,BD⊥DC,∠DBC=1/2∠ABC.若梯形周长为40cm,求梯形中位线的长.
西风三两1年前1
2245308c661d39ea 共回答了21个问题 | 采纳率90.5%
因为BD⊥DC,∠DBC=1/2∠ABC,所以三角形BDC为直角三角形,且∠DBC=30,∠ABC=60
所以2DC=BC=2AB=2AD,所以AB=AD=CD=8,BC=16
所以中位线=(8+16)/2=12
梯形中位线怎么算?上底8CM下底12CM
hongfeng9811年前7
swimming77 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%
上底加下底之和的一半,(8+12)/2=10.
可以将腰延长用三角形中位线的方法做出
有关梯形中位线梯形ABCD中,AB//CD,点E为腰BC中点,点F为另一腰AD上一点,且EF//CD求证:F为AD中点(
有关梯形中位线
梯形ABCD中,AB//CD,点E为腰BC中点,点F为另一腰AD上一点,且EF//CD
求证:F为AD中点(或EF为梯形ABCD中位线)
flashting1年前6
lu5288 共回答了19个问题 | 采纳率100%
证明:取AD的中点G,连接EG
∵点E为腰BC中点,点G为腰AD中点
∴EG为梯形ABCD中位线
∴EG//CD
∵EF//CD
∴EG与EF共线
∴点F与点G重合
∴F为AD中点
利用向量知识证明:梯形中位线长等于两底的一半
coral30011年前1
pojialing 共回答了13个问题 | 采纳率100%
三角形吧
一个梯形中位线是6.4厘米,高是5.5厘米,上底是2.8厘米,下底是多少
LOVE颖86111年前1
caifeining 共回答了22个问题 | 采纳率86.4%
下底=6.4×2-2.8=10厘米
圆外切等腰梯形腰长为5厘米,梯形中位线长为多少
待飞的大雁1年前1
火星来嘀 共回答了19个问题 | 采纳率100%
根据下面步骤画图:
等腰梯形ABCD,AD‖BC,AB=CD
设AB,BC,CD,DA分别与圆切于点E,F,G,H
根据切线定理,
可知AE=AH,BE=BF,CF=CG,DG=DH
因为AE+BE=DG+CG=5cm
所以AH+HD+BF+FC=AD+BC=10cm
所以梯形中位线长为1/2(AD+BC)=5cm
梯形中位线已知梯形有中位线和一边的中点,证明另一边上的点为中点HOW TO DO?
给不起你要的爱1年前1
f6ffuig5k 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%
沿一条腰做平行线,会出现一个三角形,在三角形中用中位线定理,之后知道了中位线平分了平行线,然后利用平行四边形的性质,就得出来啦
延长等腰梯形两腰相交,若梯形的上底恰好是构成三角形的中位线,则三角形中位线与原梯形中位线的比是
梦飞界限1年前1
cnsuperwolf 共回答了25个问题 | 采纳率92%
三角形中位线与原梯形中位线的比=1:(1+2)/2=2:3
已知梯形中位线长80cm,下底与上底差40cm,则上底_____cm,下底为____cm
小拉841年前2
jeffeer 共回答了20个问题 | 采纳率85%
设上底x,下底y,y-x=40,所以80-40/2=60=x(40/2,三角形中位线为底得一半),y=100
梯形中位线长10,一对角线把它分为 2:3,则梯形较长的底边为——
火凤凰20071年前2
阎三三啊 共回答了19个问题 | 采纳率100%
一对角线把它分为 2:3,则上底:下底=2:3 (可以用平行证明)
上底加下底=10*2=20
所以下底=20*3/(2+3)=12
梯形证明梯形中位线到上下底的距离相等 为什么啊?
jeanelee1年前1
butter123 共回答了13个问题 | 采纳率100%
任意梯形中位线到两底的距离相等,
因为平行线分线段成比例,高也就是距离也被此平行线等分
证明的话,画梯形的辅助线向上成一个三角形,可证明两三角形相似,那么下面两条线平行,平行当然高,即梯形中位线到上下底的距离相等罗,可能有点含糊,望请见谅
数学【关于中位线】在梯形ABCD中,AB‖CD,对角线 AC⊥ BD,且 AC=5,BD=12,试求梯形中位线的长
火之残雪1年前1
sunboylin 共回答了29个问题 | 采纳率86.2%
作BE‖AC交DC延长线于E
AB=CE
AC⊥BD
BE⊥BD
BE=AC=5
BD=12
勾股定理:
DE=13=CD+CE=CD+AB
梯形中位线的长=(AB+CD)/2=6.5
梯形中位线的长是6.5.
在等腰梯形ABCD中,对角线AC,BD互相垂直,该梯形中位线和高有什么大小关系,为什么?
COCACOLA-xd1年前1
小生怕怕_uu 共回答了13个问题 | 采纳率84.6%
设AC,BD交点为E,通过E点梯形的高分别交两底于F,G 由于是等腰梯形,且对角线垂直,得出三角形ABE和三角形CDE为等腰直角三角形,则EF=0.5AC,EG=0.5CD,则得出梯形高FG=0.5(AC+CD)与中位线等长 .
一道初三梯形中位线的题如图,梯形ABCD中,AD‖BC,E,F分别为CD,AB的中点,EF分别交BD,AC于点G,H求证
一道初三梯形中位线的题
如图,梯形ABCD中,AD‖BC,E,F分别为CD,AB的中点,EF分别交BD,AC于点G,H
求证1.FG=EH 2.GH=1/2(BC-AD)
1我已经证出来了,麻烦讲讲2小题
夜色梧桐下1年前2
己嫌罗索 共回答了14个问题 | 采纳率92.9%
很简单,EF是中位线EF=(AD+BC)/2
FG和HE分别是三角形ABD和ACD的中位线
FG=AD/2 EH=AD/2
GH=EF-FG-HE=(AD+BC)/2-AD/2-AD/2=1/2(BC-AD)
关于梯形中位线.已知梯形的中位线长10cm,它被一条对角线分成两段,这两段的差为4cm,则梯形的两底长分别为
遗落千尺1年前8
青春曼妙 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%
已知梯形的中位线长10cm,它被一条对角线分成两段,这两段的差为4cm,则梯形的两底长分别为 6 cm 和14cm.
若等腰梯形两低角为30度,腰长为8厘米,高和上底相等,那么梯形中位线长为
longzhiwen011年前0
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