在△ABC中，若tanAtanC+tanBtanC=tanAtanB，且a2+b2=mc2，则实数m等于______．

过B做AC垂线交AC与D,设BD长h,AD长x,CD长y
根据题目可以得到
sin（∠ABD+∠CBD）·（h/x+h/y）=h²/xy
（xh/2+yh/2）·（hy+hx）/xy=h²/xy
（xh+yh）²=2h²
x²h²+2xyh²+y²h²=2h²
（x+y）²=2
x+y=√2
即b=√2
cosB=（a²+c²-b²）/2ac=3/4…余弦定理
所以sinB=√（1-cos²B）=√7/4（四分之根号七）
所以S=1/2×acsinB=1/2×1×2×√7/4=√7/4（四分之根号七）
望采纳^v^

解题思路：把已知等式中的正切转换成正弦和余弦，整理可求得sinAsinBcosC=sin²C，进而利用正弦和余弦定理转换成边，利用基本不等式求得

c2

ab

的范围．

∵tanAtanC+tanBtanC=tanAtanB，
∴sinAsinBcosC=sinAsinCcosB+sinBsinCcosA，
即sinAsinBcosC=sinCsin（A+B）=sin²C，
由正、余弦定理有ab×
a2+b2−c2
2ab=c²，化简得3c²=a²+b²≥2ab，
∴
c2
ab≥[2/3]，
故答案为：[2/3]

点评：
本题考点： 余弦定理；正弦定理．

考点点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的关键是利用正弦和余弦定理对边和角进行互化．

根据余弦定理
b2=a2+c2-2ac*cosB= a2+c2-ac
即cosB= 1/2
B= 60
tanA-tanC=√3/3(1+tanAtanC),
即（tanA-tanC）/（(1+tanAtanC)=√3/3
tan(A-C)= =√3/3
A-C=30
又A+C=120
C= 45,A= 75
根据正弦定理
b/sin B= c/sinC
解得 c= √6/ 3

证明：已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC,那么：
sinB(sinA/cosA + sinC/cosC)=(sinAsinC)/(cosAcosC)
即sinB(sinAcosC+cosAsinC)/(cosAcosC)=(sinAsinC)/(cosAcosC)
所以：sinBsin(A+C)=sinAsinC
又sin(A+C)=sin(180°-B)=sinB,那么：
sin²B=sinAsinC
由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC可得：
b²=a*c
所以边a,b,c成等比数列.

利用三角恒等式：
tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC
→√3tanAtanC＝tanA+tanC+√3≥2√(tanAtanC)+√3.
令tanAtanC＝t,则
√3t≥2√t+√3
→(√t-√3)(√3·√t+1)≥0.
显然,√3·√t+1>0,
∴只能：√t-√3≥0,即t≥3.
故tanAtanC的最小值为：3.

1.cotA*cotC= (sinAcosC+sinCcosA)/sinAsinC= sin(A+C)/sinAsinC= sinB/sinAsinC=1/tanAtanC b²=ac 即 sin²B=sinAcosC tanA*tanB=sinB=根号7/4 2.accosB=3/2 得到 ac=2 cosB=(a²+c²-b²)/2ac 得到 a²+c²-ac=3/2 a+c=根号下(a+c)²-2ac=3/2+2=7/4

1.因为2tanAtanC=tanAtanB+tanBtanC,所以：
tanB=2tanAtanC/(tanA+tanC)
=2sinAsinC/(sinAcosC+cosAsinC)
=2sinAsinC/sin(A+C)
=2sinAsinC/sinB
则：cosB=sin²B/(2sinAsinC)=b²/(2ac) （*） (注：应用正弦定理)
又由余弦定理有cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)
所以：a²+c²-b²=b²,即：2b²=a²+c²
所以:a²,b²,c²成等差数列
又由均值定理得：a²+c²≥2ac （当且仅当a=c时取等号）
则：2b²≥2ac,即：b²/(2ac) ≥1/2
由（*）式知：cosB≥1/2
所以：0

先给你做第一题吧
tanAtanB=tanAtanC+tanBtanC
sinA/cosA * sinB/cosB =sinA/cosA * sinC/cosC + sinB/cosB * sinC/cosC
sinAsinBcosC=sinAsinCcosB+sinBsinCcosA
根据正弦定理,a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
代入,得
sinA=a/(2R),sinB=b/(2R),sinC=c/(2R)
abcosC/(4R^2)=accosB/(4R^2)+bccosA/(4R^2)
abcosC=accosB+bccosA
根据余弦定理,可得
cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
代入,得
ab(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=ac(a^2+c^2-b^2)/(2ac)+bc(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
a^2+b^2-c^2=a^2+c^2-b^2+b^2+c^2-a^2
a^2+b^2=3c^2
(a^2+b^2)/c^2=3

解题思路：（1）把已知等式中切转化成弦，化简整理可求得sin²B=sinAsinC，进而根据正弦定理求得边的关系．
（2）求得b的长，进而根据余弦定理求得cosA的值，进而求得sinA，最后利用三角形面积公式求得答案．

（1）证明∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，
∴[sinAcosC+cosAsinA/cosAcosC]•sinB=[sinAsinC/cosAcosC]
∴sin（A+C）sinB=sinAsinC，
∴sin²B=sinAsinC，
∴b²=ac
（2）∵b²=ac，a=1，c=2，
∴b=
2，
∴cosA=
b2+c2−a2
2bc=
5
2
8，
∴sinA=
1−cos2A=

14
8
∴S=[1/2]bcsinA=[1/2]×
2×2×

14
8=

点评：
本题考点： 正弦定理；余弦定理．

考点点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，三角形恒等变换的应用．考查了学生基础知识的综合运用．

两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
sin2A=2sinA*cosA
三倍角公式
sin3a=3sina-4(sina)^3
cos3a=4(cosa)^3-3cosa
tan3a=tana*tan(π/3+a)*tan(π/3-a)
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)
和差化积
sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)
sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
积化和差公式
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
诱导公式
sin(-a) = -sin(a)
cos(-a) = cos(a)
sin(pi/2-a) = cos(a)
cos(pi/2-a) = sin(a)
sin(pi/2+a) = cos(a)
cos(pi/2+a) = -sin(a)
sin(pi-a) = sin(a)
cos(pi-a) = -cos(a)
sin(pi+a) = -sin(a)
cos(pi+a) = -cos(a)
tgA=tanA = sinA/cosA
万能公式
sin(a) = (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a) = (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a) = (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
其它公式
a*sin(a)+b*cos(a) = sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中,tan(c)=b/a]
a*sin(a)-b*cos(a) = sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中,tan(c)=a/b]
1+sin(a) = (sin(a/2)+cos(a/2))^2
1-sin(a) = (sin(a/2)-cos(a/2))^2
其他非重点三角函数
csc(a) = 1/sin(a)
sec(a) = 1/cos(a)
双曲函数
sinh(a) = (e^a-e^(-a))/2
cosh(a) = (e^a+e^(-a))/2
tgh(a) = sinh(a)/cosh(a)
公式一：
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
我们设三个角大小依次为A、B、C,设公差D,
则：A+（A+D）+（A+2D）=180度
所以：A+D=60度.
所以：A+C=A+（A+2D）=2（A+D）=120度
另外因为公式：tan(A+C)=(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)
已知：tanAtanC=2+√3
由以上三式的方程组：
tanA+tanC=3+√3
tanAtanC=2+√3
解方程得：
tanA=1 tanC=2+√3
所以：A=45度 又因A+D=60度,则D=15度
可知：B=60度
C=75度
下面的需画图,我这里没工具.不好意思,你自己画图吧!做顶点C的高,由已知条件顶点C的高等于4倍根号3
可解得：
AB=4+4√3 BC=8 AC=4√6
假设C角最小,A角最大时,方法同上,用到
tan75度=tan(45+30)度；
假设B角最大时,和B角最小时,好象没法解,也就是不存在那样的三角形!
从上大学到现在工作,已经9年没看过高中数学了,所以不敢肯定以上回答是否正确,更不敢奢求阁下的满意,仅供参考讨论之用.
如果错的话,希望您能告诉我正确的答案!
敬请赐教!

tanAtanC=2+√3
tanA+tanC=3+√3
解方程可得.
但较简单的方法是：
tanA+tanC=3+√3=1+2+√3=1+tanAtanC,
所以 tanAtanC-tanA-tanC+1=(tanA-1)(tanC-1)=0,
∴tanA=1或tanC=1,
当tanA=1,则A=45°,又B=60°,所以C=75°；
当tanC=1,则C=45°,又B=60°,所以A=75°.
现在理解了吧.

输入有误吧tan²B=tanAtanC,
tan(A+C)=(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)=(3√3-tanB)/(1-tan²B)
所以 -tanB=(3√3-tanB)/(1-tan²B)
所以 -tanB+tanBtan²B=3√3-tanB
所以 tanBtan²B=3√3
所以 tanB=√3
所以 B=60°

解1.∵ 在三角形ABC中,2∠B＝∠A＋∠C,
∴ ∠B＝60°,∠A＋∠C=120°.
∵ tanAtanC＝2＋√3,
而tanAtanC=sinA*sinC/cosA*cosC
=（cos（A-C）-cos（A+C））/(cos(A-C)+cos(A+C))
=（cos（A-C）-cos120°）/(cos(A-C)+cos120°)
=（2cos（A-C）+1）/(2cos(A-C)-1),
∴（2cos（A-C）+1）/(2cos(A-C)-1)=2＋√3.
∴ cos(A-C)=√3/2.
∴ ∠A-∠C=30°.
∵ ∠A＋∠C=120°
∴ ∠A=75°,∠C=45°.
即 △ABC的三个角分别是：∠A=75°,∠B＝60°,∠C=45°.
解2.∵ AB边上的高为CD＝4√3,
∴ 在直角△BCD中可求出边BC=8.
∵ 在△ABC中应用正弦定理可求出AB=8（√3-1）,AC=4√6（√3-1）,
∴ △ABC的三边分别是 a=8,b=4√6（√3-1）,c=8（√3-1）.

1证明
已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC,那么：
sinB(sinA/cosA + sinC/cosC)=(sinAsinC)/(cosAcosC)
即sinB(sinAcosC+cosAsinC)/(cosAcosC)=(sinAsinC)/(cosAcosC)
∴sinBsin(A+C)=sinAsinC
又sin(A+C)=sin(180°-B)=sinB,那么：
sin²B=sinAsinC
由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC可得：
b²=ac
∴a,b,c成等比数列
2题：
a=1,c=2,b=√2
cosB=(1+4-2)/(2*1*2)=3/4
sinB=√7/4
△ABC的面积
=1/2ac*sinB
=sinB
=√7/4
如果本题有什么不明白可以追问,

（1）
∵sinB(tanA+tanC)=tanAtanC
∴sinB(sinA/cosA+sinC/cosC)=sinAsinC/(cosAcosC)
∴sinB*(sinAcosC+cosAsinC)=sinAsinC
即sinB*sin(A+C)=sinAsinC
∵A+C=π-B
∴sin(A+C)=sin(π-B)=sinB
∴sin²B=sinAsinC
根据正弦定理
b²=ac
∴a,b,c成等比数列
（2）
∵a=1,b=2,∴c=4
这就有问题了,c-b=2>a了

1.由题意知： A+C=2B,A+B+C=180
得：B＝60°且A＋C＝120°

∴tan（A＋C）＝tan120°＝－√3
＝(tanA+tanC)/tanAtanC

又∵tanAtanC＝2＋√3
∴tanA＋tanC＝tan（A＋C)（1－tanAtanC）＝tan120°(1－2－√3 ）
＝－√3（－1－√3 ）＝3＋√3
∵tanA、tanC可作为一元二次方程x2－（3＋√3）x＋（2＋√3）＝0的两根
又∵0＜A＜B＜C＜π
∴tanA＝1, tanC＝2＋√3

即：A＝45°,C＝75°

答：A、B、C的大小分别为45°、60°、75°.

解题思路：（Ⅰ）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦，去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简，再由诱导公式变形求出cosB的值，即可确定出B的大小；
（Ⅱ）由cosB，b的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b以及b的值代入求出ac的值，再由cosB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

（Ⅰ）由2cosAcosC（tanAtanC-1）=1得：2cosAcosC（sinAsinCcosAcosC-1）=1，∴2（sinAsinC-cosAcosC）=1，即cos（A+C）=-12，∴cosB=-cos（A+C）=12，又0＜B＜π，∴B=π3；（Ⅱ）由余弦定理得：cosB=a2+c2−b22ac=...

点评：
本题考点： 余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．

考点点评： 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

A+C=2B
A+C+B=180°
2B+B=180°
B=60°
A+C=2B=120°
tanB=-tan(A+C)=-(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)
tanB=√3
tanAtanC=2+√3
√3 = -(tanA+tanC)/(1-2-√3) = (tanA+tanC)/(√3+1)
tanA+tanC = 3+√3
tanA、tanC相当于方程x^2-(3+√3）+（2+√3）的两个根
(x-1)(x-2-√3) = 0
tanA、tanC分别等于1,2+√3；或2+√3,1
即：A=45°,或C=45°
当A=45°时：
顶点C对边上的高为4√3
a = BC = 4√3/sinB = 4√3/sin60° = 4√3/(√3/2) = 8
b = AC = 4√3/sinA = 4√3/sin45° = 4√3/(√2/2) = 4√6
c = 4√3 /tanA + 4√3/tanB = 4√3 /tan45° + 4√3/tan60° = 4√3+4 = 4(√3+1)
当C=45°时：
tanC=1,tanA=2+√3,点C对边上的高为4√3
a = BC = 4√3/sinB = 4√3/sin60° = 4√3/(√3/2) = 8
c = 4√3 / tanA + 4√3 / tanB = 4√3/(2+√3) + 4√3/1 = 12√3-12 = 12(√3-1)
b = √(a^2+c^2-2accosB) = √{8^2+(12(√3-1))^2-2*8*12(√3-1)*cos60° } = 4√(46-24√3)

已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC,那么：
sinB(sinA/cosA + sinC/cosC)=(sinAsinC)/(cosAcosC)
即sinB(sinAcosC+cosAsinC)/(cosAcosC)=(sinAsinC)/(cosAcosC)
所以：sinBsin(A+C)=sinAsinC
又sin(A+C)=sin(180°-B)=sinB,那么：
sin²B=sinAsinC
由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC可得：
b²=a*c
所以边a,b,c成等比数列.
b²=ac
a=1,c=2,得b²=2
余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=3/4
∠B在ABC三角中,大小居中,只能为锐角
所以sinB=√7/4
根据面积公式,S=acsinB/2=√7/4

解题思路：（1）通过两向量平行，求得tanA和tanC的关系，求得tanB，进而求得B．
（2）利用余弦定理求得a和c的关系式，利用基本不等式的性质求得ac的最大值，进而利用三角形面积公式求得其最大值．

（1）∵m∥n，
∴tanA+tanC=
3(tanAtanC-1)，
∴
tanA+tanC
1-tanAtanC=-
3，即tan(A+C)=-
3，
∴tanB=-tan(A+C)=
3，
∵B∈（0，π），
∴B=
π
3．
（2）在△ABC中，由余弦定理有，cosB=
a2+c2-b2
2ac=
1
2，
∴a²+c²=ac+4，
∵a²+c²≥2ac，
∴ac≤4，当且仅当a=c=2时，取等，
∴△ABC的面积S=
1
2acsinB≤

3
4×4=
3，
故△ABC的面积的最大值为
3．

点评：
本题考点： 正弦定理；基本不等式．

考点点评： 本题主要考查了余弦定理的运用，向量数量积，基本不等式的基本性质．考查了学生推理和运算的能力．

∠A+∠C+∠B=3∠B=180
∠B=60
tanB=根号3
tanB=-tan(A+C)=-(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)=根号3
可以解出tanA+tanC=3+根号3
和tanAtanC=2+根号3联立可以解出tanA=1 tanC=2+根号3
A=45 C=75

因为A+B+C＝180度,而A+C=2B,所以3B＝180度,B＝60度.
跟tanAtanC=2+根号3没关系.

A+C=2B吧,否则,求出的A不是特殊角度
∠A+∠C+∠B=3∠B=180
∠B=60
tanB=根号3
tanB=-tan(A+C)=-(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)=根号3
可以解出tanA+tanC=3+根号3
和tanAtanC=2+根号3联立可以解出tanA=1 tanC=2+根号3
A=45 C=75

1）锐角三角形△ABC中,
A+B>π /2,π /2>A>π /2-B
sinA>sin（π /2-B）=cosB
所以sinA>cosB
sinB>cosA 同理可证
2)锐角三角形△ABC中
tanA>0,tanB>0
C=π-（A+B）
tanC=-tan（A+B）
=-（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）>0
因为：tanA+tanB>0
-（1-tanAtanB）>0
所以tanAtanB>1
同理可证tanAtanC>1,tanBtanC>1

tanAtanB=tanAtanC+tanCtanB,1/tanC=1/tanB+1/tanA,设三角形ABC的面积为S,AB边上的高h,AB=c=2,则S=h,1/tanC=1/tanB+1/tanA=c/h=2/S,S=2tanC；tanB=tanCtanA/(tanA-tanC),在三角形中.tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC,将tanB代入上式得：
tan²A(tan²C-1)-tanCtanA+tan²C=0,Δ=tan²C-4tan²C(tan²C-1)≥0,得：0≤tan²C≤5/4,则0≤S≤√5,三角形ABC面积的最大值√5.

已知A+C=2B
则A+C+B=3B=180° B=60°
若边AB上的高CH=4倍根号3
则BC=CH/sinB=4√3/sin60°=8
因tanB=-tan(A+C)=-(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)
tanAtanC=2+√3 (1)
所以tan60°=-(tanA+tanC)/(1-2-√3)
tanA+tanC=3+√3 (2)
设C>A
联立(1)(2)解得 tanA=1 A=45°
tanC=2+√3 C=75°
于是AC=CH/sinA=4√3/sin45°=4√6
AB=ACcosA+BCcosB=4√6cos45°+8cos60°=4√3+4

a=75,c=45
c=180-60-a
所以tanatanc=tanatan(180-60-a)
=tanatan(120-a)
解得tana=2+根号3
tanc=1
所以a=75 c=45

求面积吧
A+C=2B,B=60,tanAtanC=2+√3,A

A+C=2B,∴B=60°,A+C=120° tan(A+C)=(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)=(tanA+tanC)/(1-(2+√3))=tan120°=-√3 ∴tanA+tanC=3+√3 ∴tanA,tanC是方程 x-(3+√3)x+(2+√3)=(x-1)[x-(2+√3)]=0 ∴tanA=1,tanC=2+√3或tanC=1,tanA=2+√3 ∴A=45°,C=120°-A=75°或C=45°,A=120°-45°=75° 综上,A=45°,B=60°C=75°或a=75°,b=60°,c=45°

∵tanA+tanB+tanC=tan(A+B)×(1-tanAtanB)+tanC
=tan(180°-C)×(1-tanAtanB)+tanC
=-tanC×（1-tanAtanB)+tanC
=-tanC×1+tanAtanBtanC+tanC
=tanAtanBtanC
=3√3
∴tanAtanC=3√3／tanB
又∵tan^2B =tanAtanC
∴tan^3B=3√3 ＝√27＝√3^3
∴tanB=√3
∴∠B=60°